线性规划的常见题型及其解法.docx
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线性规划的常见题型及其解法
总课题线性规划的常见题型及其解法答案
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.
归纳起来常见的命题探究角度有：
1求线性目标函数的最值.
2.求非线性目标函数的最值.
3.求线性规划中的参数.
4.线性规划的实际应用.
本节主要讲解线性规划的常见基础类题型.
【母题一】已知变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的取值范围为（）
A.[7,23]B.[8,23]
C.[7,8]D.[7,25]
求这类目标函数的最值常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式：
y=—x+,通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值.
【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,
由目标函数z=2x+3y得y=—x+,平移直线y=—x知在点B处目标函数取到最小值，解方程组得所以B（2,1），zmin=2X2+3X1=乙在点A处目标函数取到最大值，解方程组得所以A（4,5）,zmax=2X4+3X5=23.
【答案】A【母题二】变量x,y满足
（1）设z=，求z的最小值；
（2）设z=x2+y2，求z的取值范围；
（3）设z=x2+y2+6x—4y+13,求z的取值范围.
点（x,y）在不等式组表示的平面区域内，=•表示点（x,y）和连线的斜率;x2+y2表示点（x,y）和原点距离的平方；x2+y2+6x—4y+13=（x+3）2+（y—2）2表示点（x,y）和点（一3,2）的距离的平方.
【解析】
（1）由约束条件作出（x,y）的可行域如图所示.
由解得A.
由解得C（1,1）.
由解得B（5,2）.
•••Z的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知zmin=x
（2）z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点0的距离的平方.
结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
dmin=|0C|=,dmax=|0B|=.
•••2（3）z=x2+y2+6x—4y+13=（x+3）2+（y-2）2的几何意义是：
可行域上的点到点（一3,2）的距离的平方.
结合图形可知，可行域上的点到（一3,2）的距离中，
dmin=1—（—3）=4,
dmax==8
•16=方花•技15========================
1.求目标函数的最值的一般步骤为：
一画二移三求.其关键是准确作出可
行域，理解目标函数的意义.
2.常见的目标函数有：
（1）截距型：
形如z=ax+by.
求这类目标函数的最值常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式：
y=—x
+,通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值.
（2）距离型：
形一：
如z=,z=，此类目标函数常转化为点（x,y）与定点的距离；
形二：
z=（x—a）2+（y—b）2,z=x2+y2+Dx+Ey+F,此类目标函数常转化为点（x,y）与定点的距离的平方.
（3）斜率型：
形如z=,z=,z=,z=，此类目标函数常转化为点（x,y）与定点所在直线的斜率.
【提醒】注意转化的等价性及几何意义.
角度一：
求线性目标函数的最值
1.（2014•新课标全国H卷）设x,y满足约束条件则z=2x—y的最大值为（）
A.10B.8
C.3D.2
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,
由z=2x—y得y=2x—z,作出直线y=2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A（5,2）时，对应的z值最大.故zmax=2X5—2=8.
【答案】B
2.（2015•高考xx卷）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为（）
A.3B.4
C.18D.40
【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示，当目标函数经过点（0,3）
时，z取得最大值18.
【答案】C
3.（2013•高考xx卷）若点（x,y）位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域，则2x—y的最小值为（）
A.—6B.—2
C.0D.2
【解析】如图，曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域如图中阴影部分，
~'/-'io'i
令z=2x—y，则y=2x—z,作直线y=2x，在封闭区域内平行移动直线y=2x，当经过点（一2,2）时，z取得最小值，此时z=2X（—2）—2=—6.
【答案】A
角度二：
求非线性目标的最值
4.（2013•高考xx卷）在平面直角坐标系xOyxx,M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线0M斜率的最小值为（）
A.2B.1
C.—D.—
【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,
显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x+2y—1=0和3x+y—8=0,解得A（3,—1），故OM斜率的最小值为—.
【解析】C
5.已知实数x,y满足则z=的取值范围.
【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示,
目标函数z==2+的取值范围可转化为点（x,y）与（1,-1）所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为（，1），则点（1,-1）与（，1）所在直线的斜率为2+2,点（0,0）与（1,-1）所在直线的斜率为—1,所以z的取值范围为（一乂，1]U[2+4,+乂）.
【答案】（―乂，1]U[2+4,+^）
6.（2015•xx质检）设实数x,y满足不等式组则x2+y2的取值范围是（）
A.[1,2]B.[1,4]
C[,2]D.[2,4]
【解析】如图所示，
不等式组表示的平面区域是△ABC的内部（含边界），x2+y2表示的是此区
域内的点（x,y）到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC的距
离，其值为1;最远的距离为AO其值为2,故x2+y2的取值范围是[1,4].
【答案】B
7.（2013•高考xx卷）设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点
与点（1,0）之间的距离的最小值为.
【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示,
则根据图形可知，点B（1,0）到直线2x—y=0的距离最小，d==，故最小距离为.
【答案】
8设不等式组所表示的平面区域是Q1,平面区域Q2与Q1关于直线3x—4y—9=0对称.对于Q1中的任意点A与Q2中的任意点B,|AB|的最小值等于（）
A.B.4
C.D.2
【解析】不等式组，所表示的平面区域如图所示，
2/
解方程组，得.点A（1,1）到直线3x—4y—9=0的距离d==2,则|AB|的最小值为4.
【答案】B
角度三：
求线性规划中的参数
9.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是（）
A.B.
C.D.
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示.
由于直线y=kx+过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y=kx+能平分平面区域.因为A（1,1）,B（0,4），所以AB中点D.当y=kx+过点时，=+,所以k=.
【解析】A
10.（2014•高考xx卷）若x,y满足且z=y—x的最小值为—4,则k的值
为（）
A.2B.—2
C.D.—
【解析】D作出线性约束条件的可行域.
当k>0时，如图①所示，此时可行域为y轴上方、直线x+y—2=0的右上方、直线kx—y+2=0的右下方的区域，显然此时z=y—x无最小值.
当kv—1时，z=y—x取得最小值2;当k=—1时，z=y—x取得最小值—2,均不符合题意.
当一1vkv0时，如图②所示，此时可行域为点A（2,0）,B,C（0,2）所围成
的三角形区域，当直线z=y—x经过点B时，有最小值，即一=—4?
k=—.
【答案】D
11.（2014•高考xx卷）x,y满足约束条件若z=y—ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）
A.或—1B.2或
C.2或1D.2或—1
【解析】法一：
由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A（0,2）,B（2,0）,C（—2,—2），则zA=2,zB=—2a,zC=2a—2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=—1或a=2.
法二：
目标函数z=y—ax可化为y=ax+z,令10:
y=ax,平移10,则当
10//AB或10//AC时符合题意，故a=—1或a=2.
【答案】D
12.在约束条件下，当3A.[6,15]B.[7,15]
C.[6,8]D.[7,8]
【解析】由得，贝胶点为B（4—s,2s—4）,y+2x=4与x轴的交点为
A（2,0）,与y轴的交点为C（0,4）,x+y=s与y轴的交点为C（0,s）.作出当s=3和s=5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图
（1）
（2）中阴影部分所示.
（1）
（2）
当3当4Ws<5时，可行域是△OAC及其内部，此时，zmax=&
综上所述，可得目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是[7,8].
【答案】D
13.（2015•通化一模）设x,y满足约束条件若z=的最小值为，则a的值
为.
【解析=1+,而表示过点（x,y）与（—1,—1）连线的斜率，xxa>0,
可作出可行域，由题意知的最小值是，即min===?
a=1.
【答案】1
角度四：
线性规划的实际应用
14.A,B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能
成为成品.已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时.在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时.A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是
.
【解析】设生产A产品x件，B产品y件，则x,y满足约束条件生产利
润为z=300x+400y.
画出可行域，如图中阴影部分（包含边界）内的整点，显然z=300x+400y在点A处取得最大值，由方程组解得则zmax=300X3+400X2=1700.故最大利润是1700兀.
【答案】1700
15.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.
（1）试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w（元）;
（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
【解析】
（1）依题意每天生产的伞兵个数为100-x—y，所以利润w=5x+6y+3（100—x—y）=2x+3y+300.
（2）约束条件为整理得
目标函数为w=2x+3y+300.
作出可行域.如图所示：
y
O
初始直线10:
2x+3y=0,平移初始直线经过点A时，w有最大值.由得
最优解为A（50,50）,所以wma=550元.
所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元.
=勤AO纟东目=========================
一、选择题
1.已知点（一3,—1）和点（4,—6）在直线3x—2y—a=0的两侧，则a的取值范围为（）
A.（—24,7）B.（—7,24）
C.（—X,—7）U（24，+*）D.（—x,—24）U（7,+~
【解析】根据题意知（一9+2-a）•（12+12-a）v0.即（a+7）（a-24）v0,解得—7vav24.
【答案】B
2.（2015•xx检测）若x,y满足约束条件则z=x-y的最小值是（）
A.—3B.0
C.D.3
【解析】作出不等式组表示的可行域（如图所示的△ABC的边界及内部）.
平移直线z=x-y,xx当直线z=x-y经过点C（0,3）时，目标函数z=x-y取得最小值，即zmin=-3.
【答案】A
3.（2015•xx质检）已知O为坐标原点，A（1,2），点P的坐标（x,y）满足约束条件则的最大值为（）
A.—2B.—1
C.1D.2
【解析】如图作可行域，z=•=x+2y，显然在B（0,1）处zmax=2.
【答案】D
4.已知实数x,y满足：
贝Sz=2x—2y—1的取值范围是（）
A.B.[0,5]
C.D.
【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线I:
2x—2y—1=0,平移I可知2X—2X—1【答案】D
5.如果点（1,b）在两条平行直线6x—8y+1=0和3x—4y+5=0之间，则b应取的整数值为（）
A.2B.1
C.3D.0
【解析】由题意知（6—8b+1）（3—4b+5）v0,即（b—2）v0,「.vbv2,•••b应取的整数为1.
【答案】B
6.（2014•xx模拟）已知正三角形ABC勺顶点A（1,1）,B（1,3）,顶点C在第一象限，若点（x,y）在厶ABC内部，则z=-x+y的取值范围是（）
A.（1-,2）B.（0,2）
C.（-1,2）D.（0,1+）
【解析】如图，根据题意得C（1+,2）.
-
作直线一x+y=0,并向左上或右下平移，过点B（1,3）和C（1+,2）时，z=—x+y取范围的边界值，即一（1+）+2【答案】A
7.（2014•xx二诊）在平面直角坐标系xOyxx,P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为（）
A.2B.
C.D.1
【解析】作出可行域如图所示，当点P位于的交点（1,1）时，（kOP）max=1.
【答案】D
8在平面直角坐标系xOyxx,已知平面区域A={（x,y）|x+y<1,且x>0,
y>0}，则平面区域B={（x+y,x-y）|（x,y）€A}的面积为（）
A.2B.1
C.D.
【解析】不等式所表示的可行域如图所示，
设a=x+y,b=x—y，则此两目标函数的范围分别为a=x+y€[0,1],b
=x—y€[—1,1]，又a+b=2x€[0,2],a—b=2y€[0,2]，二点坐标（x+y,x
—y），即点（a,b）满足约束条件作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S=x2X1=1.
【答案】B
9.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a>0,b>0）的最大值为4,则ab的取值范围是（）
A.（0,4）B.（0,4]
C.[4，+*）D.（4,+切
【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z=ax+
by（a>0,b>0）过点A（1,1）时取最大值，二a+b=4,ab<2=4,va>0,b>0,•••ab€（0,4].
【答案】B
10.设动点P（x,y）在区域Q:
上，过点P任作直线I，设直线I与区域Q的公共部分为线段AB,则以AB为直径的圆的面积的最大值为（）
A.nB.2n
C.3nD.4n
【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,
则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值S=nX2=4n.
【答案】D
11.（2015•xx三校联考）变量x,y满足约束条件若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（）
A.{—3,0}B.{3,—1}
C.{0,1}D.{—3,0,1}
【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示.
xx直线z=ax+y与x—y=2或3x+y=14平行时取得最大值的最优解有无
穷多个，即—a=1或—a=—3,二a=—1或a=3.
【答案】B
12.（2014•新课标全国I卷）设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值
为7,则a=（）
A.—5B.3
C.—5或3D.5或—3
【解析】法一：
联立方程解得代入x+ay=7xx，解得a=3或一5,当a=—5时，z=x+ay的最大值是7;当a=3时，z=x+ay的最小值是7.
法二：
先画出可行域，然后根据图形结合选项求解.
当a=—5时，作出不等式组表示的可行域，如图
（1）（阴影部分）.
图
（1）图
（2）
由得交点A（—3，—2），则目标函数z=x—5y过A点时取得最大值.zmax=—3—5X（—2）=7不满足题意，排除A,C选项.
当a=3时，作出不等式组表示的可行域，如图
（2）（阴影部分）.
由得交点B（1,2），则目标函数z=x+3y过B点时取得最小值.zmin=1+3x2=乙满足题意.
【答案】B
13.若a>0,b>0,且当时，xx有ax+by<1,则由点P（a,b）所确定的
平面区域的面积是（）
A.B.
C.1D.
【解析】因为ax+by<1xx成立，则当x=0时，by<1xx成立，可得y<（b工0）xx成立，所以0wb<1;同理0wa<1.所以由点P（a,b）所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1.
【答案】C
14.（2013•高考xx卷）设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点
P（x0,y0），满足x0—2y0=2.求得m的取值范围是（）
A.B.
C.D.
【解析】当m>0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P（x0,y0）满足x0—2y0=2,因此RK0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.
」
'vj=2jc+1
i
L咏,
rjn
要使可行域内包含y=x—1上的点，只需可行域边界点（—mm）在直线y=x—1的下方即可，即m<—n—1,解得rk—.
【答案】C
15.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=ax的图象上存在区域
D上的点，贝Sa的取值范围是（）
A.（1,3]B.[2,3]
C.（1,2]D.[3,+乂）
【解析】平面区域D如图所示.
x+y-ll=Q
要使指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点，所以1va<3.
【解析】A
16.（2014•高考xx卷）已知圆C:
（x—a）2+（y—b）2=1,平面区域Q:
若圆心C€Q，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）
A.5B.29
C.37D.49
【解析】由已知得平面区域Q为AMNP内部及边界.J圆C与x轴相切，二b=1.显然当圆心C位于直线y=1与x+y—7=0的交点（6,1）处时，amax=6.二a2+b2的最大值为62+12=37.
【解析】C
17.在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的
取值范围是（）
A.（—X,—1）B.（1,+切
C.（—1,1）D.（—x,—1）U（1,+工）
【解析】已知直线y=k（x—1）—1过定点（1,—1），画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示.
当直线y=k（x—1）—1位于y=—x和x=1两条虚线之间时，表示的是一一个三角形区域.所以直线y=k（x—1）—1的斜率的范围为（一x,—1），即实数k的取值范围是（—x,—1）.当直线y=k（x—1）—1与y=x平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k>1时，也可形成三角形，综上可知kv—1或k>1.
【答案】D
18.（2016•xx中学期中）已知实数x,y满足则z=2x+y的最大值为（）
A.4B.6
C.8D.10
【解析】区域如图所示，目标函数z=2x+y在点A（3,2）处取得最大值，最
大值为8.
【答案】C
19.（2016•xx中学期末）当变量x,y满足约束条件时，z=x-3y的最大值为8,则实数m的值是（）
A.—4B.—3
C.—2D.—1
【解析】画出可行域如图所示，目标函数z=x—3y变形为y=—,当直线过点C时，z取到最大值，
又C（mm）,所以8=m—3m,解得m=—4.
【答案】A
20.（2016•xx质检）已知0为坐标原点，A,B两点的坐标均满足不等式组
则tan/AOB勺最大值等于（）
A.B.
C.D.
【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域,
【解析】C
二、填空题
21.（2014•高考xx卷）不等式组表示的平面区域的面积为
【答案】4
22.（2014•高考xx卷）若实数x,y满足则x+y的取值范围是
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