人教版初中数学讲义.docx

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第1章有理数

1、正数和负数

1、正数、负数：

大于零的数叫做正数，小于零的数叫做负数。

应用：

生产收入，海拔高低，气温的冷热，方位的指向，比赛的胜负，比例的增长等等。

2、有理数

1、概念：

整数和分数统称为有理数。

2、分类

或

注：

分数和小数可以互化，所以小数可以归为分数类。

3、“0”表示的意义：

（1）0既不是正数也不是负数

（2）0是整数（3）0不是表示没有，有时表示一种趋于正负的状态（4）0是最小的自然数，即是最小的非负整数（5）0不能作为分母（6）0等相反数是0（7）0的绝对值是0（8）0没有倒数（9）0乘以任何数都为0（10）0除以任何不为0的数都为0.

4、数轴：

通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴的三要素：

原点，正方向，单位长度。

数学中规定：

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

5、相反数：

只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

与原点距离相等的两个数互为相反数。

互为相反数的两个数相加得0（a，b互为相反数，则a+b=0）

6、绝对值：

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|

|a|=

两个负数，绝对值大的反而小。

3、有理数的加减法

1、有理数的加法：

（1）加法法则：

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.

一个数同0相加，仍得这个数。

（2）运算律：

加法交换律：

a+b=b+a；加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）

2、有理数的减法：

减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

a-b=a+（-b））

引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。

4、有理数的乘除法

1、有理数的乘法：

（1）乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0.

倒数：

乘积是1的两个数互为倒数。

多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘。

归纳：

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

（2）运算律：

交换律，结合律，分配律。

2、有理数的除法：

除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（乘积为1的两个数互为倒数）

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不为0的数都得0.

5、有理数的乘方

1、乘方：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在an中，a叫做底数，n叫做指数。

负数的奇数幂是负数，负数的偶数幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.

有理数混合运算的顺序：

先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

2、科学计数法：

把一个大于10的数表示为a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学计数法。

3、近似数

从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

第二章整式的加减

1、整式

1、概念：

单项式和多项式统称为整式。

2、单项式：

含有数或字母的积的式子。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的系数：

单项式中的数字因数。

单项式的次数：

单项式中所有字母的指数的和。

3、多项式：

几个单项式的和。

多项式的项：

每个单项式叫做多项式的项。

不含字母的项叫做常数项。

多项式的次数：

多项式里次数最高项的次数。

多项式的升降幂排列

2、整式的加减

1、同类项：

所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，称为同类项。

几个常数项也是同类项。

2、一般步骤：

去括号，合并同类项，将多项式进行升降幂排列。

合并同类项后所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。

第3章一元一次方程

1、一元一次方程

1、等式：

用等号来表示相等关系的式子。

等式的性质：

1、等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

2、等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

方程：

含有未知数的等式。

2、一元一次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的方程。

2、解一元一次方程

1、解一元一次方程：

求一元一次方程中使等号左右两边相等的未知数的值的过程。

2、一元一次方程的求解：

主要方法：

去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一。

3、实际问题与一元一次方程

列举主要的实际问题：

销售中的盈亏，油菜种植的计算，球赛积分表问题

第4章图形的初步认识

1、多次多彩的图形

启发学生联系生活，发挥想象，主动介绍出自己所了解的图形。

1、几何图形：

从实物中抽象出来的各种图形统称为几何图形。

立体图形：

各部分不都在同一平面内的几何图形。

如长方体，正方体，圆柱，圆锥，球等。

平面图形：

各部分都在同一平面内的几何图形。

如线段，角，三角形，长方形，圆等。

展开图：

2、点，线，面，体

几何体也简称体，包围着体的是面。

点动成线，线动成面。

几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。

2、直线、射线、线段

1、直线：

性质：

经过两点有一条直线，并且只要一条直线（两点确定一条直线），表示

2、射线：

性质，表示

3、线段：

性质：

两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短），表示

连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

让学生学会在复杂的图形中准确找出直线、射线和线段，并能够正确表示。

3、角

1、概念：

两条有公共端点的射线所组成的图形叫做角；一条射线绕着端点旋转所形成的图形叫做角。

角度制：

以度，分，秒为单位的角的度量制，叫做角度值。

2、角的比较与运算：

角的平分线：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

3、余角和补角：

两个角的和等于90o，就说这两个角互为余角。

两个角的和等于180o，就说这两个角互为补角。

等角的余角相等，等角的补角相等。

一个角的余角+90o=这个角的补角

4、作角：

（加强动手能力）

第五章相交线、平行线

一、相交线

1、相交线

邻补角：

有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角称为邻补角。

对顶角：

有一个公共顶点，两边互为反向延长线的两个角称为对顶角。

对顶角相等。

2、垂线：

两条直线互相垂直，其中一条直线就叫做另一条直线的垂线。

它们的交点叫做垂足。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

二、平行线及其判定

1、平行线

平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

2、平行线的判定：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

即同位角相等，两直线平行。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

即内错角相等，两直线平行。

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

即同旁内角互补，两直线平行。

三、平行线的性质

1、平行线的性质

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

2、命题、定理：

判断一件事情的语句叫做命题。

经过推理证实其正确性的命题叫做定理。

四、平移

第六章平面直角坐标系

一、平面直角坐标系

1、有序数对：

把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对。

记作（a，b）

2、平面直角坐标系：

横轴，纵轴，原点，坐标，象限。

二、坐标方法的简单应用

1、用坐标表示地理位置

2、用坐标表示平移

第七章三角形

一、与三角形有关的线段

1、三角形的边：

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形

三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。

2、三角形的高、中线与角平分线

3、三角形的稳定性

二、与三角形有关的角

1、三角形的内角

三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180o

2、三角形的外角：

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

三、多边形及其内角和

1、多边形

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

各角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形。

2、多边形的内角和

n边形内角和等于（n-2）·180o，多边形的外角和等于360o

四、课题学习——镶嵌

第八章二元一次方程组

一、二元一次方程组

1、二元一次方程：

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：

两个具有相同未知数的二元一次方程的组合。

2、二元一次方程的解：

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值。

二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的公共解。

二、消元——二元一次方程组的解法

1、消元：

将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想。

代入法：

把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

加减法：

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

三、实际问题与二元一次方程组

四、三元一次方程组

第9章不等式与不等式组

1、不等式

1、不等式及其解集

2、不等式的性质

（1）不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变

（2）不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。

三角形两边的差小于第三边。

2、实际问题与一元一次不等式

3、一元一次不等式组

第10章数据的收集、整理与描述

1、统计调查

用问卷调查的方法收集数据。

统计中经常用表格整理数据。

描述数据：

条形图，扇形图。

1、全面调查：

考察全体对象的调查。

2、抽样调查：

抽取部分进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况。

要考察的全体对象称为总体，组成总体的每一个考察对象称为个体，被抽取的那些个体组成一个样本。

样本中个体的数目称为样本容量。

3、简单随机抽样：

总体中的每一个个体被抽取机会相等的抽样。

2、直方图

绘制频数分布直方图的步骤：

1、计算最大值与最小值（算）2、决定组距与组数（定）3、列频数分布表（列）4、画频数分布直方图（画）

三、课题学习——从数据谈节水

小长方形面积=组距×

=频数

第11章全等三角形

1、全等三角形

1、全等形：

能够完全重合的两个三角形。

全等三角形：

能够完全重合的两个三角形。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2、全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

2、三角形全等的判定

1、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）

2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）

3、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（ASA）

4、两个角和其中一个角的对应边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）

5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）

3、角的平分线的性质

1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

第12章轴对称

1、轴对称

1、轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

2、图形轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂有直平分线。

3、线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2、作轴对称图形

1、作轴对称图形

2、用坐标表示轴对称

3、等腰三角形

1、等腰三角形

性质：

等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）；顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（等角对等边）

2、等边三角形：

三个内角都相等，并且每一个角都等于60o。

三个角都相等的三角形是等边三角形。

有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形。

3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

第13章实数

1、平方根

1、一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

A的算术平方根记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。

规定：

0的算术平方根是0.

2、一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

2、立方根

一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

3、实数

1、实数

或实数

2、数a的相反数是-a，a表示任意一个实数。

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

第14章一次函数

1、变量与函数

1、变量：

数值发生变化的量。

常量：

数值始终不变的量。

2、函数：

因变量，自变量，函数值

3、函数的图象

2、一次函数

1、正比例函数：

一般地，形如y=kx（k是常数，k

0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

K>0时，直线y=kx经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线y=kx经过二、四象限，y随x的增大而减小。

2、一次函数

一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k

0）的函数，叫做一次函数。

当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。

3、用函数观点看方程（组）与不等式

1、一次函数与一元一次方程

2、一次函数与一元一次不等式

3、一次函数与二元一次方程（组）

4、课题学习——选择方案

1、用哪种灯省钱

2、怎样租车

3、怎样调水

第15章整式的乘除与因式分解

1、整式的乘法

1、同底数幂的乘法：

am

an=am+n（m，n都是正整数）。

即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、幂的乘方：

（am）n=am+n（m，n都是正整数）即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

3、积的乘方：

（ab）n=anbn（n为正整数）即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

4、整式的乘法：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

2、乘法公式

1、平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2

2、完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2

3、去括号法则：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

3、整式的除法

1、同底数幂的除法：

am÷an=am-n（a

0,m，n都是正整数，并且m>n）.即同底数幂相除，底数不变，指数相减。

规定：

任何不等于0的数的0次幂都等于1。

a0=1（a

0）

2、整式的除法：

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

4、因式分解：

1、把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、分解因式的主要方法：

（1）提公因式法：

（2）公式法：

平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）

完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2

（3）十字相乘法：

（4）分组分解法：

第十六章分式

1、分式

1、从分数到分式：

一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

叫做分式。

2、分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

3、最简分式：

分子与分母没有公因式的分式。

最简公分母：

各分母的所有因式的最高次幂的积为最简公分母。

2、分式的运算

1、分式的乘除

乘法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

除法法则：

分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方要把分子分母分别乘方。

2、分式的加减：

分式的加减法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；以分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

3、整数指数幂：

运算性质：

（1）am

an=am+n（m，n是正整数）

（2）（am）n=amn（m，n是正整数）

（3）（ab）n=anbn（n是正整数）

（4）am÷an=am-n（a

0,m，n都是正整数，m>n）

（5）（

）n=

（n是正整数）

3、分式方程：

1、分式方程：

分母中含有未知数的方程。

分式方程的检验：

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

第十七章反比例函数

1、反比例函数

1、反比例函数的意义：

一般地，形如y=

（k为常数，k

0）的函数称为反比例函数。

2、反比例函数的图象和性质：

反比例函数的图象属于双曲线。

当k>0时，双曲线的两支分别位于第一，第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；

当k<0时，双曲线的两支分别位于第二，第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

2、实际问题与反比例函数

第18章勾股定理

1、勾股定理

命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2

2、勾股定理的逆定理

命题2如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

第19章四边形

1、平行四边形

1、平行四边形的性质：

平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。

2、平行四边形的判定：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

对角线互相平分的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3、三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

4、两平行线间的距离：

2、特殊的平行四边形：

1、矩形：

性质：

两个角都是直角；对角线相等。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：

有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。

2、菱形：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

性质：

四条边都相等；两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

判定：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。

3、正方形：

四条边都相等，四个角都是直角。

既是矩形又是菱形，既有矩形的性质，又有菱形的性质。

3、梯形：

1、梯形：

一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。

2、分类：

等腰梯形，直角梯形。

3、等腰梯形的性质：

同一底边上的两个角相等；两条对角线相等。

判定：

同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

4、课题学习——重心

线段的重心是线段的中点；平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；三角形的重心是三条中线的交点。

第二十章数据的分析

1、数据的代表：

1、平均数：

加权平均数：

（补充）P127

2、中位数和众数：

2、数据的波动

1、极差：

一组数据中的最大值与最小值的差叫做这组数据的极差。

2、方差：

P139

方差越大，数据的波动越大；方差越小。

数据的波动越小。

3、课题学习——体质健康测试中的数据分析

1、收集数据

2、整理数据

3、描述数据

4、分析数据

5、填写调查报告

6、交流

第二十一章二次根式

1、二次根式

1、二次根式：

一般地，我们把形如

（a

0）的式子叫做二次根式。

当a>0时，

表示a的算术平方根，因此

>0；当a=0时，

表示0的算术平方根，因此

=0，这就是说

（a

0）（是一个非负数）。

2、相关公式：

（

）2=a（a

0）；

=a（a

0）

3、代数式：

用基本的运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式。

2、二次根式的乘除：

1、

=

（a

0，b

0）；

=

（a

0，b>0）

2、最简二次根式：

被开方数不含有分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

3、二次根式的加减：

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

第二十二章一元二次方程

1、一元二次方程

1、等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一般形式：

ax2+bx+c=0（a

0），ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。

3、一元二次方程的根：

一元二次方程的解。

2、降次——解一元二次方程

1、配方法：

2、公式法：

一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a

0）的根的判别式，通常用希腊字母

表示它，即=b2-4ac。

求根公式：

当

0时，方程ax2+bx+c=0（a

0）的实数根可写为x=

3、因式分解法：

先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。

归纳：

配方法是先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程，总之，解一元二次方程的基本思路是：

将二次方程化为一次方程，即降次。

4、一元二次方程的根与系数的关系：

，

为方程的两根，a，b，c为方程的系数，则有：

。

3、实际问题与一元二次方程

第二十三章旋转

1、图形的旋转

1、旋转、旋转中心、旋转角：

2、旋转的性质：

对应点到旋转中心的距离相等；

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

旋转前、后的图形全等。

2、中心对称

1、中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180o，如果它能够与另一