八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球教师版.docx
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八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球教师版
入个有笔模型——搞走空间几何体的外接球与切祇
1.右关沱义
1.球的岌义：
空间中列定点的距富等于定长的点的集令（轨迹丿叫球面，荷称球・
2・外揍球的定义：
若一个多而体的冬个顶点都在一个球的球面上.刪称这个多面体是这个球的接多而体.这个球是这个多而体的外接球・
3.切球的支义：
若一个多面体的冬面都与一个球的球面相切,fi'J琼这个多而体是这个球的外2刀多而体.这个球是这个多而体的切球.
2.外接球的冇关知识与方法
1・性质：
性施1：
过球心的平面就球面所得圓是大圆，大圖的丰役与球的丰役相等；
性施2：
经过小S］的直役与小圖而垂直的平面必过球心，该平面截球所得E］是大圖；
性施3：
过球心与小圖圓心的直线垂直于小圖所疫的平面C类比：
圆的垂徑龙理丿；性施4：
球心在丸圖而和小圖而上的射形是相应圖的圓煜；
性施5：
在同一球中，过两相交圖的圖心垂直于相应的S］面的直线相交，交点是球心（类比：
疫同圆中,
而水1交弦的中垂线j交点旻圆心丿・
2.结论：
结论1：
长方体的外接球的球体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；
结论2：
若由长方体切得的多而体的所有顶点是虑长方体的顶点，刪所得多面体与虑长方体的外接球相同；
结论3：
长方体的外接球直役就是而对角统及与此而垂直的梭构成的直角三角形的外接圖圖心，换言之，
就是：
底而的一条对角统与一条高（梭丿构成的直角三角形的外接圖是丸圜；
结论4：
圆粒体的外接球球心疫上下两底而圓的圖心连一段中点戍；
结论5：
S］粒体軸超而矩形的外挂圓是大圆，该矩形的对角线（外接圖直径丿是球的直後；结论6：
直披柱的外接球与该梭柱外接圖柱体冇相同的外接球；
结论7：
S］铠体的外接球球心疫圆锥的爲所在的直线上；
结论8：
圜铠体軸紂而等牍三角形的外接圆是丸圖，该三角形的外揍圖直後是球的直徑；结论9：
側披相孑的檢锥的外揍球与该梭锥外接圖锥冇和同的外接球.
3.终奴利星：
勾股走理・正父理及余弦支理f解三角形求线段长度丿；
3.切球的有关知识与方比
1.若球与平面相切.則切6与球心连线与切面垂直・（与直线切圖的结论有一孜性丿•
2.切球球心刊多面体冬而的距富均相寻.外接球球心到多而体冬顶点的距富均相等•（类比：
与多边形的切圜丿・
3.正多面体的切球和外接球的球心重合.
4.正拔锥的切球和外接球球心押亦富线上，但不一灾重合.
5.基本方法：
（1丿构逡三角形利用相似比和勾股岌理；
（2）体积分制是求切球丰役的通用缴比（孑体积*）•凹■与台体相关的.此咯.
第一讲柱体背素的栈矍
⑶題・2（解答图）
方法：
找三条两両垂直的线段.直接用公^（2R）2=a2+h2+c2,即2R=\la2+b2+c2,求出R
例1ru已知冬顶点都在同一球面上的正凹拔柱的离为4.体积为16,則这个球的表而积是（C）A.16兀B.20龙C.24”D.32兀
鮮：
V=6/2/?
=16ra=2947?
]=/+/+/『=4+4+16=24.S=24兀，逸C；
（2）若三核锥的三个側面而両垂直.且側枚长均为也,则其外接球的表面积是9兀
解：
4/?
2=3+3+3=9,S=4嵌=9兀；
（3）淮.正三梭铠S—ABC中，M、N分别是披SC、BC的中乩且AM丄MAL若側拔$4=2血侧
正三梭锥S-ABC外接球的表面积是・36龙
解：
引理：
正三域催的对域互相姜直•证期如下：
如图（3）-L
取AB、BC的中§、D,E,连接AE,CQ,AE、CD灵于H，连接SH,则H旻底面正三角形ABC的中心.
SH丄平而ABC,:
.SH丄A3,
vAC=BC,AD=BD,:
.CD丄AB,..AB丄平&SCD,
・.AB丄SC,同理：
3C丄SA,AC丄SB,即正三核锥的对披互垂直，
本題图如图（3）2.vAM丄MN,SBHMN,
:
.AM丄SB,tAC丄SB,:
.SB丄平SAC.
.-.SB丄SA,SB丄SC,•/SB丄SA,BC丄£4,
/-SA丄平面SBC>/.SA丄SC>
故三核锥S—A3C的三核条側披商両互和垂直・
/.（2/?
）2=（2^）2+（2^3）2+（2^3）2=36,印4疋=36..••正三核锥
S-ABC外接球的农而孩是36龙・
s.
（4丿在©面体S-ABC中，S4丄平面4BC,ABAC=\20\SA=AC=2.AB=1,«i该s面体的外接
球的表面积为（D）
AA\7tBlnC.—7TD.—7T
33
鮮：
A.AABC中，BC1=AC2+AB2-2AB-BCcosl20°=7>BC=J7,AABC的外接球直役为
2r=———=^=,/.（2R）2=（2r）2+SA2=（^Z）2+4=—,S=—,选D
sinABACy3V3巧33
~T
（5丿如果三披锥的三个側面両而垂直，它们的面积分别为6.4.3,那么它的外接球的痕面积是
鮮：
由己知得三条側拔两両垂直，设三条側核长分别为gb、c（u,b,cwR+）,刪
ab=12
he=8,/.abc=24,a=3>Z?
=4>c=2>（2/?
）2=a2+b2+c2=29,S=4^/?
2=29/r,ac=6
（6）己知荼几何体的三视图如图所承.三视国是展长为1的寻腹直角三角形和边长为1的正方形.刪该几
翼型二■对檢杓孑棋矍C补形为长方体丿题谡：
三核權C即闻面体丿中》已知旦俎对枚分剧相齐求外換球半段=AD=BC9AC=BD）弟一步：
色出一个长方体，标出三组互为异而直线的对拔；
弟二步：
沒出长方体的长宽翥分别为gb、c,AD=BC=x9
AB=CD=y,AC=BD=zr刃方程组，
a2+b2=x2222
'b~+c2=y2=>（27?
）2=a~+b2+c2=；一一'-,
r2+/=722
补丸：
®2-1中，V“CD=ubc—-abcx4=-abc.
63
弟三步虫砒角壯体二如+宀”匸tr+二疋上兰+匚尺匚+才+三，Y28V8
求出/?
・
思考：
如何求核长为d的正B面体体积，如何求其外接球体积？
例2（]）如下图所承三枚稚A-BCD.其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,flj该三按锥外接
球的表面积为■
鮮：
对拔相寻，补形为长方体，如图2-b设长宽离分别为abc,2（/+，+。
2）=25+36+49=110.
a2+b2+c2=55f4/?
2=55,S=55龙
（2）A.^MA-BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3.AC=BD=4.则三披確A—BCD外接29
球的表面积为・一7t
2
如图2」，设补形为长方体.三个长度为三对而的对角线长，设长宽壽分别为abc,则/+庆=9.
I）1+c2=4,c2+a2=16/.2（/+，+疋）=9+4+16=29,2（/+，+疋）=9+4+16=29,
（3）正b面体的各条披长却为迈,则该正面体外接球的体欣为
7迺，―爲.迈=逅
2382
鮮：
正0面体对按相等的模式.放入正方体中，2R=y[3
（4）拔长为2的正5而体的0个顶点都疫同一个球而上，若过该球球心的一个就而如下图，刪因中三
角形（正b而体的槪面）的而欣是・
鮮：
如解篆图，将■正b面体放入正方体中，蓟而为APCO,＞面积是佢.
邈设：
如因3丄图3-2＞图3・*史三核柱揍于球（同时直拔柱也接于SHi,拔柱的上下底而可以是任龛三
角形）
弟~步：
确走球心、O的住逍，0［是△ABC的外心》则OO［丄平而ABC；
弟二步：
算出小圆0|的半AOx=r,OO{=-A\=-h（AA}=h是圆杜的高丿；
22
笫三步：
勾敲岌理：
Q42=O|A'+O］O2=＞/?
'=（£）2+尸二＞R={尸+（£）',鮮出/?
例3（］）一个正六核粒的底面上正六边形.其側檢垂直于底面.己知该六披柱的顶点都A同一个球面上，
9
且该六拔柱的体积为底而周长为3.則这个球的体积为
鮮：
设正六边形边长为—正六枚柱的為为h,底面外接圜的半役为r,则“=丄・
2
正六梭柱的底面积为S=6・f（丄）'=n,V.：
=Sh=^^-h=—,:
.h=y/3,4R2=l2+（a/3）2=4428f88
也可R‘=（-^—）2+（—）2=1AR=\,球的体积为匕=—；
22/3
（2丿直三拔柱ABC-AQC］的冬顶点都在同一球而上.若AB=AC=AA}=2.ABAC=\20°,刪此球
的表面积等于・
解：
BC=2a/3>2r=————=4,r=2,R=应,S=20/r；sin120°
（3）“AEAB所疫的平面与矩形ABCD所疫的平面互相垂直，
EA=EB=XAD=2,ZAEB=^,则多而体E-ABCD的外接球
的哀面积为・16龙
鮮：
折金型法一：
AEAB的外接圖半後为斤=巧”OO}=1,/?
=J1+3=2；
Fy/io313
法二：
0}M=—,=O^D=>/?
2=-+—=4,R=2,»=16龙；
2■■244‘
出三：
补形为直三披柱，可改支直三核柱的放置方式为立丸.算出可同上，略•换一科方式通过算圆柱的轴就而的对角线长来求球的直後：
（2/?
）2=（2>/3）2+22=16,S农=16”；
（4）在直三按柱ABC—AlBiCl中，AB=4,AC=6,A=—,A£=4,fij直三披柱ABC—AiB]Cl的外接
第二讲權体背素的侯墾
1.如图4・1,平而PAC丄平面A3C\且A3丄BC（即AC为小圖的直徑几且P的射彩赴AABC的外心O三按锥P—ABC的三条側核相寻O三梭P—43C的底®AABCA®的底上，顶点P点也是圜锥的顶点.
弟一步：
确走球心O的佞置.取MBC的外心0「则P,O,O］三点共线;
弟二步：
丸算出小圆0］的丰役AO］=厂.再算出梭锥的為PO\=h（也旻圓锥的爲丿;
弟三步：
勾股灾理：
OA2=OXA2+O}O2=>/?
2=（h-R）2+r2,解出/?
；
爭卖上.AACP的外搖S］就旻丸SH直接用正秋丸現也可求鮮出/?
•
2・如團4・2,平面P4C丄平面ABC,且A3丄3C（即AC为小圖的直役人且P4丄AC,则
利用勾厦岌理求三梭锥的外接球半径：
（D（2R）2=PA2+（2r）2<=>2R=yjPA~+（2r）2；
②RSOO；OR=&2+00：
3.如團4・3,平面P4C丄平面ABCf且A3丄3C（即AC为小圖的直役丿
0C2=0lC2+0i02<^>R2=r2+0i02oAC=2jR1-0l02
4.題设：
如图4-4,平而PAC丄平©ABC,且A3丄3C（即AC为小圖的直徑丿
弟一步：
易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圖是大圖，丸求出小S］的直^AC=2r；
弟二步：
技APAC中，可根据正孩沱理一^―=—^―=—=2/?
求出/?
・
sinAsinBsinC
例4Cl丿正b後锥的顶点都A同一球面上，若该技锥的离为1,底而边长为2J亍，则该球的表而积为
解：
出一：
由正孩支理（用大圖求外揍球直径丿；出二：
找球心联合勾股岌理，
2/?
=7,S=47tf?
2=49”；
（2）^^MS-ABCD的底面边长和各側披长都为冬顶点都心同一球面上，刪此球体孩为鮮：
方法一：
找球心的伐.2.易知厂=1,/z=1>/?
=/•,故球心在正方形的中・=ABCD处，7?
=1,V=——
3方出二：
丸圆是轴就而所的外接SH即大S］是A5AC的外接圖・此处苗殊，Rt^SAC的斜边是球半後.
4/r
2R=2,R=\,V=—.
3
（3）-个正三技锥的四个顶点押疫丰役为1的球而上，其中底而的三个顶点A该球的一个大圖上.则该正三枚锥的体积是（）
A.婕B.互C.迺D.迪
43412
毎:
鬲h=R=l,底面外接圓的丰径为/?
=1，直径为2/?
=2,
很底面边长为"，則2R=—=2,a=y[3,S=—a2=—,三拔链的体积^V=-Sh=—；
sin60°4434
（4丿疫三枚锥P-ABC中，PA=PB=PC=忑.側梭P4与底而ABC所成的角为60°,则孩三檢锥外
（5）已知三核锥S-43C的所冇顶点都A球O的求面上•△ABC是边.长为1的正三角形、SC为球O的直役•且SC=2,刪此梭锥的体积为（）A
池吒c*o.f
1c/1巧2拆V2—□//=—・•=
33436
翼型五.墓面撲型（一条直袋農直于一个平面丿
1.幾设：
如图5,PA丄平而ABC.求外接球丰役.
解題步骤：
弟一步：
将AA3C屍在小圖而上.A为小圓直蚣的一个端点，作小圖的直径连挂PD,mjPD必过球心0；
弟二步：
0、为AABC的外心，所以OO]丄平而ABC,算出小圆0|的丰役O]D=厂（三角形的外U®A径算出：
利用正孩支理，得一=°=—-—=2r）9OO}=—PAi
sinAsin3sinC2
弟三步：
利用勾股岌理求三核锥的外摟球半徑：
®（2R）2=PA2+（2r）2<^>2R=^P^+（2r）2；
②F=『+oo：
。
R=Jd+oof.
2.題设：
如图5-1至5-8这七个图形，P的射彩是AABC的外心O三域锥P—ABC的三条制披相寻O三拔锥P-ABC的底面A4BC疫圓锥的底上.顶APA弟一步：
确定球心的住置•取A4BC的外心则£0,0］三点共线;
弟二步：
丸算出小圆。
］的丰後AO］=厂.再算出梭锥的POX=h（也赴圓锥的高丿;
弟三步：
勾股岌理：
OA2=O}A2+O}O2=>/?
2=（/?
-/?
）2+r2,解出/?
二：
小圖直徑洪与构凌大圖，用正热殳理求大圖直役得球的直役.
例5—个几何体的三視国如图所示，則该几何体外接球的仪面衣为（）C
*?
：
选C,
出一：
（勾股岌理丿利用球心的後近求球丰後，球心心圆锥的离线上，
（j3-/?
）2+l=/?
\/?
=X,S=4^?
2=—^；
y/33
出二：
（丸圓出求外接球直蚣丿如图，球燈AS1锥的高线上，故S］锥的軸札而三角形PMN的外接圖是丸
24
跖于是叫品矿TTf
第三讲二面角背素的模熨
真型六、折金棋型
题很：
商个全孑三角形戎孑廉三角形拼农一起，或羡形新金（如段6）
弟一步：
丸西出如图6所示的图形，将△3CD西A小圖上，找出ABCZ）和MBD的外心H甘©H?
；
弟二步：
过丹］和分别作平而3CD和平而A'BD的垂线，而垂线的交点即为球心0,连接OEOC；
弟三步：
州HOEH、.算出OH「ARtAOCH［中.勾旗岌理：
OH：
+CH；=OC?
心A几仍+时+如弓R卑
面体/V—3CD,使平面A'BD丄平面3CD＞若切面体A!
—BCD的顶点疫同一个球而上，則该顼球
的表面积为4”
鮮：
如国・易知球心在EC的中点处，S（＜=4^；
而体S-ABC的外揍球表面积为6兀
cosZSO\B=cos（ZC?
（?
1O2+—）=
2
sinZ.OO}O2=,cosZ.OOXO2=-,
°°1=cosX1a=T,心i冷弓s=4心g
出二：
延长B0［刊D使DO、=BOX=斤,由余弦定理得SB=V6,SD=y/2.大圆直徑为2R=SB=y［^；
（4丿疫边长为2馆的羡形ABCD中，ZBAD=609,沿对角坂ED折成二面角A—3D—C为120°的s
而体ABCD,则此国面体的外接球表面欣为28^
鮮：
如图•取3D的中点M>AABD和△CBD的外接圆半径为斤=巧=2・AABD和△CBD的外心QQ?
刊孩BQ的距青（孩心距丿为〃］=〃2=1，
法一：
©边形OOxMO2的外搖圖直OM=2,R=y/1,S=28k；
出二:
OO{=V3,R=y/1;
出三：
作出ACBD的外樓圖直CE.fl*jAM=CM=3,CE=4,ME=1,AE=V7,AC=3>/3,
⑸花叭雅ABCD中，ZBDA=120\ZB£）C=150°,AD=BD=2,CD=&,二而角A-BD-C的平面角的丸小为120°,则此b面体的外接球的体积为
解：
如国.过两小圖圆心作相应小圖所疫平面的垂线确主球心,
AB=2-^3,r2=2,itJfeO2M=y[3,BC=>/\3,r}=V13~,弦心距O}M=2>/3,
•55"為
：
.R2=OD2=MD2+OM2=29,R=x/29,V,,=116^29/7
法二：
OO^=OM2-O2M2=25,:
.R2=OD2=r；+OO~=29,/?
=^29,/.V,,U6y/2<）7r
真型七.角直角三角形拼換盛一起（斜边和岡•也可看作矩形诰对角戏新起所得三枚策）棋晏
邈设：
如图7,ZAPB=ZACB=90\求三gP—ABC外接球半色（分析：
取公共的斜边的中60,
决接OPQC■fl]OA=OB=OC=OP=-ABf..O为三^P-ABC外接球球心.然后疫OCP中
2
求出半役几生看作矩形沿对角线折起所得三披锥时与折起成的二而角大小无关.只要不是平角球半笑都为岌值.
例7
（1）A矩形ABCD中，AB=4.BC=3,洛AC将矩形ABCD折成一个直二面角3-AC—Q,
）
125
C.——7t
6
125125龙
的外接球的表面积为・
鮮：
的中点是球心O,2R=BD=\[\3,S=4欣~=13兀.
第呵讲多面体的切球问题模矍
翼型入.催体的切卓问题
1.题设：
如图8、三按锥P-A3C上正三枚锥，求其切球的丰径・
弟一步：
丸现出切球的範面图.分别是两个三角形的外心；
笫二步：
求DH=-BD,PO=PH-r,PD是側板MEP的高；OEPO
弟三步：
由APOE和似于MDH,建立寻丸：
——=——,鮮出厂DHPD
2.題很：
如图8-2,P-ABC是正b拔锥，求其切球的半役
弟一步：
丸现出切球的蓟面图.P、O、H三&共线；
弟二步：
求FH=-BCfPO=PH-r9PF是側面APCD的執
2
“OGPO
弟三步：
由APOG柚似于APFH,建立寻式j：
=,鮮出
HFPF
3.邈设：
三披锥P-ABC是任意三按锥，求其的◎球半径
方出:
孑体韓廉，即切球球心与©个面构成的四个三枚推的体衣之和相等弟一步：
丸西出5个農面的面积和整个锥体体枳；弟二步：
设切球的丰径为I龙立寻些：
VP^ABC=VO^ABC+VO^PAB+VO^PAC+VO^PBC=>^P-ABC=—Smbc•厂+亍SpAB•/■+—Sp,\c-r+-SpBC■r=—（SmBC+S^PAB+SpAC+SfBc）-r
笫三步：
鮮出「-3vp-AHC
S（）-ABC+S—pab+^O-PAC+S（）-PBC
（2）正叭锥S—ABCD的鼠面迦长为2,側披长为3,则其切球的半役为
側面斜需=2J㊁>正凹樓锥S—ABCD的表面积为Si-=4+8>/2»
另一表达体积的方式是Vp.ABC=+S农尸=十［7+4
JJ
号题：
1.若三^S-ABC的三条側枚两两垂直，且$4=2,SB=SC=4,則该三按雒的外接球丰後为C丿A.3B.6C.36D.9
鮮：
［A］（2町=J4+16+16=6,R=3
【三梭锥冇一側拔垂直于底面.且底面是直角三角形】【共而种】
2・三枚锥S-ABC中，側核$4丄平面ABC.底ABC是边长为的正三角形，$4=2、代，则该三
鮮：
2r=———=2,（2/?
）2=4+12=16,7?
2=4,R=2,外接球体衣纟;r・8=±=sin60°33
【外心比（加中垂线J找球心；正孩良理求球小圖半径】
3.正三拔锥S-ABC中，康面ABC是边长为J了的正三角形，側梭长为2,则该三枚锥的外接球体孩寻于・
242
鮮：
AABC外接圖的丰径为,三梭铠S-ABC的直径为2R=.“J=f‘外接球4^/?
=—,sin60J3y/3
^R~=（/?
->/3）2+1,R=亍,外揍球体积V=i3^3=~~-7y~'*
4.三拔锥P_AEC中.平而PAC丄平而ABCf△PAC边长为2的正三角形.A3丄BC,则三檢铠
P-ABC外樓球的丰径为
242
鮮:
△PAC的外揍圆是丸圖》2R==—产>R=―—>
sin60°y/3y[3
5.P-ABC中.平面P4C丄平而ABC.AC=2>PA=PC=3,AB丄BC,则三拔稚
P-ABC外接球的丰役为•
卫/nPA2+PC2-AC29+9-47../Dt7.16-2./D4^2
詹:
cosZP===—,sirrZP=1—（―）~=,sinZP=,
2PAPC2-3-399819
2R亠罕匹宀
4迈2a/248
9
6.三核雄P—ABC中，平而P4C丄平面ABC.AC=2.PA丄PC,A3丄BC,P-ABC
外接球的卑径为・
鮮：
AC是小共的斜边AC的中点是球心O,球半校为R=\
s.
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