平方差公式与完全平方公式试题含答案.docx
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平方差公式与完全平方公式试题含答案
仁（2-1）
=16
乘法公式的复习
一、复习：
（a+b）（a-b）=a2-b2（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：
①位置变化，（X4yy+Xpx2_y2②符号变化，（以+yX4_y”_xj_y2=x2_y2
③指数变化，（X2*y2）（x2-y2尸x4y④系数变化，（2a+b[2a—b）=4a2_b2
5换式变化，Ry飞z+mp[xy_（z+m）Hxy）-（z+mj=X2y2-（z2+2zm+m）=x2y2—z2—2zmn^
6增项变化，（x-y+z胚―y—zrx—yj_z2以2-2xy+y2-z2
7连用公式变化，xyx_yx2y2=x2_y2x2y2=x^y4
8逆用公式变化，（X-y+z匚（X4y-Z$=[[x-y+z）飞x+y-z卩耿-y+z卜（x+y-z）]
=2x（_2y+2z）一4xy+4xz
例1已知a•b=2，ab=1，求a2b2的值。
解：
T（ab）2=a22abb2二a2b2=（ab）2-2ab
Iab=2，ab=1二a2b2=22_21=2
例2•已知a=8，ab=2，求（a-b）2的值。
解：
•••（ab）2=a22abb2（a-b）2二a2-2abb2
2222
（ab）「（a-b）=4ab二（ab）-4ab=（a-b）
22
■/ab=8，ab=2•（a-b）2=82-42=56
例3:
计算199*2000X1998
〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1，正好符合平方差公式。
解：
19992-2000X1998=19992-（1999+1）X（1999-1）
=19992-（19992-12）=199口19992+1=1
例4：
已知a+b=2,ab=1，求a2+b2和（a-b）2的值。
〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
222
解：
a+b=（a+b）-2ab=4-2=2
22
（a-b）=（a+b）-4ab=4-4=0
例5:
已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x2-z2的值。
〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积
得来的，所以只要求出x-z的值即可。
解：
因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x-z=（x+z）（x-z）=14X4=56。
例6:
判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？
1解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。
观察到
和上式可构成循环平方差
24
（2-1）（2+1）（2+1）
4096
因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幕的个位数字都是6,所以上式的个位
数字必为6。
例7•运用公式简便计算
（1）1032
（2）1982
解：
（1）1032弋100+3）2=1002+2勺00><3+32=10000*600^=10609
2222
（2）198弋200-2）=200-2汉200汉2+2=40000-800+4=39204
例8•计算
（1）a4b-3ca-4b-3c
（2）3xy-23x-y2
解：
（1）原式a-3c4bIIa-3c-4bba-3c2-4b2二a2-6ac9c2-16b2
2
12341=25=5
2
3451=121=11
2
4561=361=19
……得猜想：
任意四个连续自然数的乘积加上1,都是平方数。
n1,n2,n・3是四个连续自然数
n3n12,3n都是整数二n2+3n+1—定是整数
二四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。
（1）、套用:
这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例1.计算：
5x23y25x2-3y2
22
解：
原式二5x^i3y225x4-9y4
（2）、连用：
连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2.计算：
1-aa1a21a41
解：
原式二1-a21a21a4
例3.计算：
3x2y-5z近-3x2y-5z-1
解：
原式-丨2y-5z〕亠i「3x1]l2y-5zi「3x1了I
三、逆用：
学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
22
例4.计算：
5a7b-8c］［5a-7b8c
解：
原式-I5a7b-8c5a-7b8cJI5a7b-8c-5a-7b8c1
四、变用：
题目变形后运用公式解题。
例5.计算：
x^2zxy6z
解：
原式-Ixy2z］；-4z|lxy2z-4z1
五、活用：
把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，
可得如下几个比较有用的派生公式：
灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例6.已知a-b=4,ab=5，求a2b2的值。
解:
a2+b2=（a—bf+2ab=42+2x5=26
例7.计算：
（a+b+c-df+e+c+d-af
解：
原式-丨b•c］亠［a-d丨•丨b•c卜［a-df
三、学习乘法公式应注意的问题
（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”.
例1计算（-2x2-5）（2x2-5）
分析：
本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的a,而“2x2”则是公式中的b.
222224
解：
原式=（-5-2x）（-5+2x）=（-5）-（2x）=25-4x.
例2计算（-a+4b）2
分析：
运用公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a,“4b”就是公式中的b；若将题目变形为（4b-a2）2时，则“4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b.（解略）
（2）、注意为使用公式创造条件
例3计算（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）.
分析：
粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、
“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式.
解：
原式=〔（2x+5）+（y-z）〕〔（2x+5）-（y-z）〕=（2x+5）2-（y-z）2=4x2+20x+25-y+2yz-z2.
248
例5计算（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）.
分析：
此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题
化繁为简.
2482248448
解：
原式=（2-1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）=（2-1）（2+1）（2+1）（2+1）=（2-1）（2+1）（2+1）
=（28-1）（28+1）=216-1
（3）、注意公式的推广
计算多项式的平方，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可推广得到：
（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.可叙述为：
多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍.
例6计算（2x+y-3）2
22222
解：
原式=（2x）+y+（-3）+2•2x•y+2•2x（-3）+2•y（-3）=4x+y+9+4xy-12x-6y.
（4）、注意公式的变换，灵活运用变形公式
例7
（2）已知：
x+2y=7，xy=6，求（x-2y）的值.
分析：
粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：
x2+y2=（x+y）2-2xy,
x3+y3=（x+y）3-3xy（x+y），（x+y）2-（x-y）2=4xy，问题则十分简单.
222
解：
（2）（x-2y）=（x+2y）-8xy=7-8x6=1.
例8计算（a+b+c）2+（a+b-c）2+（a-b+c）+（b-a+c）2.
分析：
直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出
（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2），因而问题容易解决.
解：
原式=[（a+b）+c]2+[（a+b）-c]2+[c+（a-b）]2+[c-（a-b）]2=2[（a+b）2+c2]+2[c2+（a-b）2]
=2[（a+b）2+（a-b）2]+4c2
=4a2+4b2+4c2
（5）、注意乘法公式的逆运用
例9计算（a-2b+3c）2-（a+2b-3c）2.
分析：
若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得
多.
解：
原式=[（a-2b+3c）+（a+2b-3c）][（a-2b+3c）-（a+2b-3c）]=2a（-4b+6c）=-8ab+12ac.
22
例10计算（2a+3b）-2（2a+3b）（5b-4a）+（4a-5b）
分析：
此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便.
解：
原式
=（2a+3b）2+2（2a+3b）（4a-5b）+（4a-5b）2=[（2a+3b）+（4a-5b）]2=（6a-2b）2=36a2-24ab+4b2.
四、怎样熟练运用公式：
（1）、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：
符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.
（2）、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算（x+2y—3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a—b）2=a2—2ab+b2来解了。
（3）、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点.
常见的几种变化是：
1、位置变化女口（3x+5y）（5y—3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.
2、符号变化女如（—2m—7n）（2m—7n）变为—（2m+7n）（2m—7n）后就可用平方差公式求解了（思考：
不变或不这样变，可以吗？
）
3、数字变化女口98x102,9纟，912等分别变为（100—2）（100+2,（100-1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化如（4m^）（2m-n）变为2（2m+-）（2m—-）后即可用平方差公式进行计算了.
2444
5、项数变化女如（x+3y+2z）（x—3y+6z）变为（x+3y+4z—2z）（x—3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了
（4）、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算（a2+1）2•（a2—1）2,若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便.即原式=[（a2+1）（a2—1）]2=（a4—1）2=a8—2a4+1.
对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用.如计算
（1—'）（1—丄）（1—2）•••（1—丄）（1—），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计
234910
算繁难，而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题.
即原式=（1—1）（1+1）（1—1）（1+1）x-x（1—丄）（1+丄）=丄x2x?
x上x-x2x卫2233101022331010
=1x11=11
21020
有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：
a2+b2=
（a+b）2—2ab，a2+b2=（a—b）2+2ab等.
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效.
2222
如已知m+n=7，mn=—18，求nn+n，m—mr+n的值.
面对这样的问题就可用上述变式来解，
即m+n2=（m+n）2—2mn=72—2x（—18）=49+36=85
=103.
ml—mn+n2=（n+n）2—3mn=72—3x（—18）
下列各题，难不倒你吧？
！
2的值.
（232+1）（264+1）+1的末位数字.
1、若a+L=5,求
（1）a2+4，
（2）（a—丄）
aaa
2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
（答案：
1.
（1）23;
（2）21.2.6）五、乘法公式应用的五个层次
乘法公式：
（a+b）（a—b）=a2—b2,（a±b）=a2±2ab+b2,（a±b）（a2±ab+b2）=a3±b3.
第一层次一一正用
f21W4211
—abl—a—ab+™b
u2）\934
即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用.例1计算
（2）
-2x—y）（2x-y）.
（
（2）原式=[（—y）—2x][（—y）+2x]=y2—4x2.
第二层次一一逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用.
例2计算
⑵
（1）19982—1998•3994+19972;
222
解
（1）原式=1998—2•1998•1997+1997=（1998—1997）=1
第三层次一一活用：
根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式.
例3化简：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1.
分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2-T便可连续应
用平方差公式，从而问题迎刃而解.
解原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
224816
=（2-1）（2+1）（2+1）（2+1）+仁2.
例4计算：
（2x—3y—1）（-2x—3y+5）
分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符.于是可创造条件一“拆”
数：
-
-1=2—3,5=2+3,使用公式巧解.
解原式=（2x—3y—3+2）（—2x—3y+3+2）
=[（2—3y）+（2x—3）][（2—3y）—（2x—3）]=（2—3y）2—（2x—3）2=9y2—4x2+12x—12y—5.
第四层次一一变用：
解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2+b2=（a
+b）2—2ab，a3+b3=（a+b）3—3ab（a+b）等，则求解十分简单、明快.
例5已知a+b=9，ab=14,求2a2+2b2和a3+b3的值.
解：
ta+b=9,ab=14，A2a2+2b2=2[（a+b）2—2ab]=2（92—2•14）=106，
3333
a+b=（a+b）—3ab（a+b）=9—3•14•9=351
第五层次——综合后用：
将（a+b）2=a2+2ab+b2和（a—b）2=a2—2ab+b2综合，
可得（a+b）2+（a—b）2=2（a2+b2）;（a+b）2—（a—b）2=4ab;
等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷.
例6计算：
（2x+y—z+5）（2x—y+z+5）.
121
解：
原式=丄[（2x+y-z+5）+（2x-y+z+5）]2-丄[（2x+y-z+5）-（2x-y+z+5）]
44
=（2x+5）2—（y—z）2=4x2+20x+25—y2+2yz—z2
六、正确认识和使用乘法公式
1、数形结合的数学思想认识乘法公式：
对于学习的两种（三个）乘法公式：
平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2、完全平方公式：
（a+b）2=a2+2ab+6；（a-b）2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。
假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。
如图1,两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为（a+b）（a-b），通过左右两图的对照，即可得到平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为（a+b）2与（a-b）2,通过面积222222
的计算方法，即可得到两个完全平方公式：
（a+b）=a+2ab+b与（a-b）=a-2ab+b。
2、乘法公式的使用技巧：
1提出负号：
对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。
例1、运用乘法公式计算：
（1）（-1+3x）（-1-3x）;
（2）（-2m-1）2
解：
（1）（-1+3x）（-1-3x）=[-（1-3x）][-（1+3x）]=（1-3x）（1+3x）=12-（3x）2=1-9x2.
2222
（2）（-2m-1）=[-（2m+1）]=（2m+1）=4m+4m+1.
2改变顺序：
运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.
例2、运用乘法公式计算：
111a2
（1）（^a-；b）（-4b-3）;
（2）（x-1/2）（x+1/4）（x+1/2）
s111a1111
解：
（1）（^a-^b）（-^b-3）=（-4b+3a）（-4b-3a）
11
=（4b-3a）（
⑵（x-1/2）（x=（x2-1/4）（x
③逆用公式
11121212124b+3a）=（4b）-（3a）=i6b-9a
2+1/4）（x+1/2）=（x-1/2））（x+1/2）（x2+1/4）=x2-1/16.
2+1/4）
（2）（a-1/2）2（a2+l/4）2（a+1/2）2
2=[（x/2+5）+（x/2-5）][（x/2+5）-（x/2-5）]
•10=10x.
2
22
-（x+y）
将幕的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2=（a+b）（a-b），逆用积的乘方
在解题时常会收到事半功倍的效果。
公式，得anbn=（ab）:
等等，
例3、计算：
（1）（x/2+5）2-（x/2-5）解：
（1）（x/2+5）2-（x/2-5）
=（x/2+5+x/2-5）（x/2+5-x/2+5）=x
（2）（a-1/2）2（a2+1/4）2（a+1/2）=[（a-1/2）（a2+1/4）（a+1/2）]2=[（a-1/2）（a+1/2）（a2+1/4）]2
2224284
=[（a-1/4）（a+1/4）]=（a-1/16）=a-a/8+1/256.
④合理分组：
对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
计算：
（1）（x+y+1）（1-x-y）;
（2）（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）.
解：
（1）（x+y+1）（1-x-y）=（1+x+y）（1-x-y）=[1+（x+y）][1-（x+y）]=1
2222
=1-（x+2xy+y）=1-x-2xy-y.
（2）（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）=（2x+5+y-z）（2x+5-y+z）=[（2x+5）+（y-z）][（2x+5）-（y-z）]
22222
=（2x+5）-（y-z）=（4x+20x+25）-（y-2yz+z）
222222
=4x+20x+25-y+2yz-z=4x-y-z+2yz+20x+25.
七、巧用公式做整式乘法
整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。
尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。
一.先分组，再用公式
例1.计算：
（a-bc-d）（-a-b-c-d）
简析：
本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。
通过观察，将整式（a-b•c-d）运用加法交换律和结合律变形为（-b-d）•（ac）；将另一个整式（-a-b-c-d）变形为（七-d）-（ac），则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。
解：
原式=&一b-d）+（a+c）一b-d）-（a+c）】
且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数法公式。
解：
原式=24x4x-丫丨
<4八4
x的系数成倍数，y的系数也成倍数，而
2出来，变为2；4x+：
j，则可利用乘
三•先分项，再用公式
例3.计算：
2x3y22x-3y6
简析：
两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x的系数
相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。
进而分析如何将常数进行变化。
若将2分解成4与-2的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。
解：
原式=l（2x•4）一（2—3y）II2x•4•2—3y]四•先整体展开，再用公式
例4.计算：
（a2b）（a_2b1）
简析：
乍看两个多项式
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