第五章 平行线及其判定平行线的性质 同步教案.docx

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第五章平行线及其判定平行线的性质同步教案

第2讲平行线及其判定平行线的性质教案

5．2.1　平行线

教学目标：

了解平行线的概念、平面内两条直线相交和平行的两种位置关系，知道平行公理以及平行公理的推论．

重点难点：

重点

探索和掌握平行公理及其推论．

难点

对平行线本质属性的理解，用几何语言描述图形的性质．

教学设计：

一、创设情境，引入新课

教师提问：

两条直线相交有几个交点？

相交的两条直线有什么特殊的位置关系？

学生回答：

两条直线相交有且仅有一个交点．

在平面内，两条直线除了相交外，有其他的位置关系吗？

学生思考回答：

不相交的情况．

二、尝试活动，探索新知

教师演示教具：

顺时针转动木条b两圈，教师组织学生交流并达成共识．

学生思考：

把a，b想象成两端可以无限延伸的两条直线，顺时针转动b时，直线b与直线a的交点的位置将发生什么变化？

在这个过程中，有没有直线b与c不相交的情况？

可以想象一定存在一个直线b的位置，使它与直线a没有交点．

学生结合演示的结论，与教师共同用数学语言描述平行的定义：

同一平面内，存在一个直线a与直线b不相交的位置，这时直线a与b互相平行．换言之，同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与b是平行线，记作“∥”，这里“∥”是平行符号．

教师总结：

平行线的定义及表示方法．

教师应强调平行线定义的本质属性：

第一，同一平面内的两条直线；

第二，没有交点的两条直线．

同一平面内，两条直线的位置关系：

教师引导学生从同一平面内，两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系．

在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：

相交或平行，两者必居其一．

即两条直线不相交就是平行，或者不平行就是相交．

教师引导学生完成以下活动：

1．在转动教具木条b的过程中，有几个位置能使b与a平行？

直线b绕直线a外一点B转动，有且只有一个位置使a与b平行．

2．用直尺和三角尺画平行线：

已知：

直线a，点B，点C.

（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？

（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？

3．通过观察画图，归纳平行公理及其推论．

（1）学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论，并在充分交流后，归纳平行公理．

（2）在学生充分交流后，教师总结：

平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

（3）比较平行公理和垂线的第一条性质：

共同点：

都是“有且只有一条直线”，这表明过一点与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的．

不同点：

平行公理中所过的“一点”要在已知直线外；垂线性质中对“一点”没有限制，可在直线上，也可在直线外．

三、尝试反馈，理解新知

师生共同归纳平行公理的推论：

（1）学生直观判定过B点、C点的直线a的平行线b、c是互相平行的．

（2）从直线b、c作图的过程说明直线b∥直线c.

（3）学生用三角尺与直尺用平推的方法验证b∥c.

（4）师生用数学语言表达这个结论，教师总结：

两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

结合图形，教师引导学生用符号语言表达平行公理的推论：

如果b∥a，c∥a，那么b∥c.

四、课堂小结

本节课主要学习了平行线的概念及其表示方法，并学习了用直尺和三角尺画平行线，通过具体的操作活动，加深了学生对本节内容的理解，并能灵活运用．

5．2.2　平行线的判定

（1）

教学目标：

掌握两直线平行的判定条件，并能解决一些问题．

重点难点：

重点

探索并掌握直线平行的条件．

难点

掌握直线平行的条件．

教学设计：

一、创设情境，引入新课

教师出示有关的几个问题，复习巩固上节课的知识：

学生思考下列问题：

1．填空：

经过直线外一点，________与这条直线平行．

2．画图：

已知直线AB，点P在直线AB外，用直尺和三角尺画过点P的直线CD，使CD∥AB.

3．反思：

在用直尺和三角尺画平行线的过程中，三角尺起什么样的作用？

学生讲出是为画∠PHF，使所画的角与∠BGF相等．

教师指出：

既然两个角相等与两条直线平行能联系起来，那么这两个角具有什么样的位置关系，我们是否得到了一个判定两直线平行的方法？

这是本课要研究的内容之一．

二、尝试活动，探索新知

1．根据上图，分析问题．

（1）让学生先描述∠1、∠2的方位．

（2）教师指出像∠1、∠2这样分别位于直线CD、AB的下方，又在直线EF的右侧，也就是位置相同的两个角叫做同位角．

（3）让学生识别图中其他的同位角，并标记出它们，要求正确而又不遗漏．

2．归纳利用同位角判定两条直线平行的方法．

（1）学生根据同位角的意义以及平推三角尺画出平行线的活动，叙述判定两条直线平行的方法．

教师引导学生正确表达平行线的判定方法1，并总结：

方法1：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简单记为：

同位角相等，两直线平行．

（2）教师引导学生，结合图形用符号语言表述两直线平行的判定方法1：

如果∠1＝∠2，那么AB∥CD.

教师强调两直线平行判定方法1的条件中有两层意思：

第一层意思是这两个角是这两条直线被第三条直线所截而成的一对同位角；第二层意思是这两个角相等，两者缺一不可．

（3）简单应用

教师表演木工用角尺画平行线的过程，让学生说出用角尺画平行线的道理（结合课本图5.2－7）．

教师总结规范的说理过程：

因为∠DCB与∠FEB是直线CD、EF被直线AB所截而成的同位角，而且∠DCB＝∠FEB，即同位角相等，根据直线平行的判定方法，从而得CD∥EF.

三、尝试反馈，理解新知

1．探索两条直线平行的其他方法：

（1）演示教具，使学生体会当内错角相等时，两条直线平行．

（2）师生归纳判定两条直线平行的方法：

学生思考：

为什么内错角相等时，两条直线平行？

你能用学过的两直线平行的判定方法1来说明吗？

学生猜想、讨论，教师引导学生说理．

2．教师总结：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简单记为：

内错角相等，两直线平行．

学生思考、讨论：

同旁内角数量上满足什么关系时，两直线平行？

（1）因为∠4＋∠2＝180°，

而∠4＋∠3＝180°，根据同角的补角相等，

所以有∠3＝∠2，即内错角相等，

从而a∥b.

（2）因为∠4＋∠2＝180°，

而∠4＋∠1＝180°，根据同角的补角相等，

所以有∠2＝∠1，即同位角相等，

从而a∥b.

结合图形，用符号语言表达：

如果∠4＋∠2＝180°，那么a∥b.

3．师生归纳两条直线平行的判定方法：

教师总结：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行．

简单记为：

同旁内角互补，两直线平行．

四、提升练习

已知直线a、b被直线c所截，且∠1＋∠2＝180°，试判断直线a、b的位置关系，并说明理由．

【答案】

a∥b，可以用平行线的三种判定方法加以说明，其一：

因为∠1＋∠2＝180°，又∠3＝∠1（对顶角相等），所以∠2＋∠3＝180°，所以a∥b（同旁内角互补，两直线平行），其他略．

五、课堂小结

通过本节课的学习，你学习了什么知识？

你有什么收获呢？

你还有哪些困惑呢？

能谈一谈你的想法吗？

5．2.2　平行线的判定

（2）

教学目标：

探索两直线平行的条件，并能应用其解决一些实际问题．

重点难点：

重点

直线平行的条件的应用．

难点

选取适当的判定直线平行的方法进行说理．

教学设计：

一、复习引入

师：

我们学过哪些判定两直线平行的条件？

生：

同位角相等，两直线平行；

内错角相等，两直线平行；

同旁内角互补，两直线平行．

二、尝试活动，探索新知

【例】　在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？

为什么？

要判定两条直线是否平行，先考虑学过哪些判定平行线的方法，题中的条件与某种判定方法的条件是否相同？

学生先口述判断的理由，教师纠正，并规范总结两步推理的过程：

如图．

因为b⊥a，c⊥a，

所以∠1＝∠2＝90°，

从而b∥c.

教师说明：

这个说理过程有两个因为……，所以……，第一个“因为”、“所以”是根据垂直的定义，第二个只写出“所以”的内容b∥c，中间省略一个“因为”的内容，这个内容就是第一个“所以”中的∠1＝∠2.这样处理是使说理表达更简练，第二个“因为”、“所以”是根据同位角相等，两直线平行．

三、尝试反馈，理解新知

例题讲解后，师提问：

你还能利用其他方法说明b∥c吗？

教师鼓励学生模仿课本方法用图

（1）内错角相等的方法写出理由，用图

（2）同旁内角互补的方法写出理由．

如果∠1、∠2不是同位角，也不是内错角、同旁内角，如图（3），教师启发学生用化归思想将它转化为已知问题来解决，并且有条理地陈述理由：

如图（3），

因为a⊥b，c⊥a，

所以∠1＝90°，∠2＝90°.

因为∠3＝∠1＝90°，

所以∠3＝∠2.

从而b∥c（同位角相等，两直线平行）．

四、提升练习

已知：

如图，直线a、b被直线c所截，且∠1＋∠2＝180°，那么直线a与b平行吗？

为什么？

【答案】

a∥b，理由略．

五、课堂小结

通过本节课的学习，你学习了什么知识？

你有什么收获呢？

对于平行的判定是否有了一个清晰的思路？

5．3　平行线的性质

5．3.1　平行线的性质

（1）

教学目标：

掌握平行线的三个性质，并能用它们进行简单的推理和计算．

重点难点：

重点

探索并掌握平行线的性质，能用平行线的性质进行简单的推理和计算．

难点

能区分平行线的性质和判定方法，平行线的性质与判定的混合应用．

教学设计：

一、创设情境，引入新课

现在同学们已经掌握了利用同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补判定两条直线平行的三种方法．在这一节课里：

大家把思维的指向反过来：

如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又如何表达？

二、尝试活动，探索新知

教师引导学生进行画图活动：

用直尺和三角尺画出两条平行线a∥b，再画一条截线c与直线a、b相交，标出所形成的八个角（如图所示）．

学生测量这些角的度数，把结果填入表内．

角

∠1

∠2

∠3

∠4

度数

角

∠5

∠6

∠7

∠8

度数

　　学生根据测量所得的数据做出猜想．

图中哪些角是同位角？

它们具有怎样的数量关系？

图中哪些角是内错角？

它们具有怎样的数量关系？

图中哪些角是同旁内角？

它们具有怎样的数量关系？

在仔细分析后，让学生写出猜想．

学生由教师的引导进行小组活动：

再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗？

学生结合上图，用符号语言表达平行线的这三条性质，教师同时总结平行线的性质和平行线的判定方法．

师生共同归纳平行线的性质，教师总结：

性质1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简称为两直线平行，同位角相等．

性质2：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简称为两直线平行，内错角相等．

性质3：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简称为两直线平行，同旁内角互补．

三、尝试反馈，理解新知

教师引导学生理清平行线的性质与平行线的判定方法的区别．

交流后在小组内归纳：

两者的条件和结论正好相反．

平行线的性质　　　　　平行线的判定

因为a∥b,因为∠1＝∠4，

所以∠1＝∠4.所以a∥b.

因为a∥b,因为∠2＝∠4，

所以∠2＝∠4.所以a∥b.

因为a∥b,因为∠2＋∠3＝180°，

所以∠2＋∠3＝180°.所以a∥b.

四、提升练习

1．一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（　　）

A．先右转80°，再左转100°

B．先左转80°，再右转80°

C．先左转80°，再左转100°

D．先右转80°，再右转80°

2．如图，直线a∥b，∠1＝54°，那么∠2、∠3、∠4各多少度？

【答案】

1．B

2．∠2＝54°，∠3＝54°，∠4＝126°

五、课堂小结

通过本节课的学习，我们主要学习了平行线的性质与平行线的判定方法有什么区别和联系．你能区别清楚吗？

5．3.1　平行线的性质

（2）

教学目标：

能够综合运用平行线的性质和判定方法解题．

重点难点：

重点

平行线的性质和判定方法的综合应用．

难点

平行线的性质和判定方法的灵活运用．

教学设计：

一、创设情境，引入新课

已知：

如图，BE是AB的延长线，AD∥BC，AB∥CD，若∠D＝100°，则∠C＝________，∠A＝________，∠CBE＝________．

二、尝试活动，探索新知

1．已知：

如图，a∥c，a⊥b，那么直线b与c垂直吗？

为什么？

学生容易判断出直线b与c垂直．教师应引导学生正确规范的书写证明过程．

2．实践与探究

下列各图中，已知AB∥EF，点C任意选取（在AB、EF之间，又在BF的左侧）．请测量各图中∠B、∠C、∠F的度数并填入表格．

∠B

∠C

∠F

∠B与∠F度数之和

图

（1）

图

（2）

　　通过上述实践，试猜想∠B、∠F、∠C之间的关系．写出这种关系，试加以说明．

教师投影题目：

学生依据题意，画出类似图

（1）、图

（2）的图形，测量并填表，并猜想：

∠B＋∠F＝∠C.

教师分析后，学生先推理说明，师生交流，教师给出说理过程．

作CD∥AB，因为AB∥EF，CD∥AB，所以CD∥EF（两条直线都与第三条直线平行，这两条直线也互相平行），

所以∠F＝∠FCD（两直线平行，内错角相等）．

因为CD∥AB，

所以∠B＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．

所以∠B＋∠F＝∠BCF.

三、例题讲解

【例】　右图是一块梯形铁片的剩余部分，量得∠A＝100°，∠B＝115°，梯形另外两个角分别是多少度？

解：

因为梯形上、下底互相平行，所以∠A与∠D互补，∠B与∠C互补．

于是∠D＝180°－∠A＝80°，∠C＝180°－∠B＝180°－115°＝65°，所以梯形的另外两个角的度数分别是80°、65°.

四、提升练习

请结合图形，根据所给定的平行线填入所需的角，并说明理由．（能否找出所有的情况）

1．∵AB∥CD，

∴∠________＝∠________（　　　　　　　）．

2．∵AD∥BC，

∴∠________＝∠________（　　　　　　　）．

3．∵AE∥CF，

∴∠________＝∠________（　　　　　　　）．

【答案】

1．BAC　DCA　两直线平行，内错角相等

2．DAC　ACB　两直线平行，内错角相等

3．EAC　ACF　两直线平行，内错角相等

五、课堂小结

归纳本节课的知识点：

平行线的性质与判定方法在实际问题中的应用．

5．3.2　命题、定理、证明

教学目标：

了解命题的概念，并能区分命题的题设和结论．

重点难点：

重点

理解命题的概念和区分命题的题设与结论．

难点

区分命题的题设和结论．

教学设计：

一、创设情境，引入新课

教师出示下列问题：

1．平行线的判定方法有哪些？

2．平行线的性质有哪些？

学生能积极地思考教师所出示的各个问题，复习巩固有关的知识点，为本节课的学习打下良好的基础．

学生回答．

二、尝试活动，探索新知

了解命题和它的构成，教师给出下列语句：

1．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

2．等式两边都加上同一个数，结果仍是等式．

3．对顶角相等．

4．如果两条直线不平行，那么同位角不相等．

思考：

你能说一说这4个语句有什么共同点吗？

并能总结出这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断．初步感受有些数学语言是对某件事作出判断的．

教师给出命题的定义：

判断一件事情的语句，叫做命题．

命题的组成：

命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．

命题通常写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．

有的命题没有写成“如果……那么……”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题判断了什么事情，有什么已知事项，再改写成“如果……那么……”的形式．

判断语句“画AB∥C'D”有没有判断成分，是不是命题．学生能举例说明是命题和不是命题的语句．

与同组同学共同分析上述四个命题的题设和结论，重点分析第2、3个语句．

第2个命题中，“存在一个等式”而且“这等式两边加同一个数”是题设，“结果仍是等式”是结论．

第3个命题中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论．

真命题与假命题：

教师出示问题：

1．如果两个角相等，那么它们是对顶角．

2．如果a>b，b>c，那么a>c.

3．如果两个角互补，那么它们是邻补角．

你认为这几句话对吗？

它们是不是命题？

教师定义：

真命题：

如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题．假命题：

如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题．

三、尝试反馈，理解新知

明确命题有正确与错误之分：

命题的正确性是我们经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，作为真命题，定理也可以作为继续推理的依据．

1．“等式两边乘同一个数，结果仍是等式”是命题吗？

它的题设和结论分别是什么？

2．命题“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”正确吗？

命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”正确吗？

再举出一些命题的例子，判断它们是否正确．

学生能由教师的讲解理解命题有真有假，并能通过举反例说明命题的错误．

解答：

1.是命题，题设是“等式两边乘同一个数”，结论是“结果仍是等式”．

2．第一个命题正确，第二个命题错误，举例略．

四、例题讲解

【例】　如图，已知直线b∥c，a⊥b.求证a⊥c.

证明：

∵a⊥b（已知），

∴∠1＝90°（垂直的定义）．

又b∥c（已知），

∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等），

∴∠2＝∠1＝90°（等量代换），

∴a⊥c（垂直的定义）．

判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）．它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．

五、课堂小结

总结本节课所学习的知识并能把本节课的知识形成知识网络