半角模型专题专练.docx
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半角模型专题专练
半角模型例题
已知，正方形ABCD^,/EAF两边分别交线段BCDC于点E、F,且/EAF=45
结论1：
BE+DF=EF
结论2：
S^abe+Saadf=Saaef
结论3:
AH=AD
结论4:
ACEF的周长=2倍的正方形边长=2AB
结论5:
当BE=DF时，△CEF的面积最小
结论6：
bM+dN=mN
结论7:
三角形相似，可由三角形相似的传递性得到
结论8:
EA卩人是厶CEF的外角平分线
结论9:
四点共圆
结论10:
△ANE^PAAMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）
结论11:
MN=_EF（可由相似得至U）结论12:
SAAEF=2SAAMN（可由相似的性质得至U）结论5的证明：
设正方形ABCD勺边长为1
贝US^aef=1—S1-S2—S3
11
=云—孑xy
所以当x=y时，△AEF的面积最小
结论6的证明：
将厶ADNI顺时针旋转90°使AD与AB重合
•••DN=BN
易证△AMI^AAMN
•••MN=MN
在Rt△BMN中，由勾股定理可得：
bM+BN2=MN2
即bM+dN=mN
结论7的所有相似三角形:
已知：
正方形
EAF45，AE、
AF平分DFE.
AD
△AMN^DFN
结论8的证明：
因为△AMN^AAFE
•••/3=Z2
因为△AMN^ABAN
•-Z3=/4
•-Z2=/4
因为AB//CD
•/1=/4
•/1=/2
结论9的证明：
因为/EAN=/EBN=45°
•A、B、E、N四点共圆（辅圆定理：
共边同侧等顶角）
同理可证C、E、N、F四点共圆
AMF、D四点共圆
C、E、MF四点共圆
**必会结论图形研究正方形半角模型
ABCD，E、F分别在边BC、CD上，且AF分别交BD于H、G，连EF.
、全等关系
（1）求证：
①DFBEEF:
②DG+BH=HG;③AE平分BEF,
、相似关系
（2）求证：
①CE2DG;®CF..2BH;@EF.2HG.
（3）求证：
④AB2BGDH:
⑤AG2BGHG;®业匹-.
CECF2
三、垂直关系
（4）求证：
①AGEG;②AHFH:
③tanHCF竺
BE
（5）
、和差关系
求证：
①BGDG2BE•，②ADDF2DH；
③|BEDF|,2|BHDG|.
例1、在正方形ABCD中，已知/MANH45°，若MN分别在边CBDC的延长线上移动，
1•试探究线段MNBM、DN之间的数量关系.
2.求证：
AB=AH.
例2、在四边形ABC［中,ZB+ZD=180°,AB=AD若E、F分别在边BCCD上，且满足EF=BE+DF.
求证：
ZEAF^-ZBAD
例3、在厶ABC中,AB=ACZBAC=ZDAE=120，若BD=5
CE=8求DE的长。
例4、请阅读下列材料：
已知：
如图1在RtABC中，BAC90，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE45.探
究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是：
把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）
当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？
请说明你的猜想并给予证明.
例5、探究:
（1）如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BCCD上的点，且/EAM45°,试判断BE、DF与
EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：
;
（2）如图2,若把
（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中AB=AD/B+ZD=180°,E、F分别是边BCCD上的点，且ZEAF=LZBAD，则
（1）问中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证
2
明，若不成立，请说明理由；
（3）在
（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BCCD延长线上时，
如图3所示，其它条件不变，则
（1）问中的结论是否发生变化？
若变化，请给出结论并予以证明..
练习巩固1:
如图，在四边形ABCD中,ZB=ZD=90°,AB=AD,若E、F分别
在边BCCD上的点，且ZEAF^jZBAD.
求证：
EF=BE+DF.
练习巩固2:
如图，在五边形ABCD中，AB=BC=CD=DE=EA,
A
练习巩固3:
已知：
正方形ABCD中，MAN45。
，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CBDC（或它们的延长线）于点MN.
（1）如图1,当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BMDNMN•当MAN绕点A旋转到
BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？
如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）
AB=ADZB=ZD=90
当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？
请写出你的猜想，并证明.
（3）
（5）.如图17,正方形ABCDE、F分别为BCCD边上一点.
（1）若/EAF=45o.求证：
EF=BE+DF.
（2）若厶AEF绕A点旋转，保持/EAF=45o,问/CEF的周长是否随
△AEF位置的变化而变化？
（3）已知正方形ABCD勺边长为1,如果/CEF的周长为2.求/EAF的度数.
练习巩固5、
如图，已知在正方形ABCD中，MAN=45°，连接BD与AMAN分别交于E、F两点
求证：
（1）MN=M申DN
（2）点A到MN的距离等于正方形的边长；
（3）VCMN勺周长等于正方形ABCD边长的2倍;
（5）若MAB=20°，求AMN
（6）若MAB0pp45o，求AMN；
（7）EFEE?
DF2;
（8）VAEN与VAFM是等腰三角形；
（9）
s
VAEF
S
VAMN
练习巩固6、
在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M,N,D为ABC外一点，且MDN60，
BDC
120，BDCD，探究：
当点M,N分别爱直线AB,AC上移动时,
BM，BN，MN之间的数量
关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.
DN时，BM,NC,MN之间的数量关系式
DN时，猜想
（1）问的两个结论还成立吗？
写出你
的猜想并加以证明；
（3）如图③，当点M,N分别在边AB,CA的延长线上时，若ANx，则Q（用x,L表示）
练习巩固7、
女口图所示，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的/MDN点MN分别在AB,AC上，求△AMN勺周长
练习巩固8
女口图，在正方形ABC冲，BE=3EF=5，DF=4,求/BA曰/DCF为多少度
巩固练习9、
如图1，Rt△ABC^Rt△EDF/ACB=ZF=90°,/A=ZE=30°。
厶EDF绕着边AB的中点D
旋转，DEDF分别交线段.AC于点MK.
⑴①如图2、图3,当/CDF=0°或60°时，AM+CKMK填“>”，“<”或“=”）.
②如图4,当/CDF=30°时，AM+CK___MK只填“〉”或“<”）.
⑵猜想：
如图1，当0°AM
⑶如果MK2CK2AM2，请直接写出/CD的度数和竺的值.
fc
图1
B
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