半角模型专题专练.docx

1、半角模型专题专练半角模型例题已知，正方形ABCD,/ EAF两边分别交线段 BC DC于点E、F,且/ EAF= 45结论 1： BE+ DF= EF结论2： Sabe + Sa adf= Sa aef结论 3: AH= AD结论4:ACEF的周长=2倍的正方形边长=2AB结论5:当BE= DF时， CEF的面积最小结论 6： bM+ dN = mN结论7:三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论8: EA卩人是厶CEF的外角平分线结论9:四点共圆结论10: ANEPA AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论11: MN= _EF （可由相似得至U） 结论12: SAAEF= 2SAA

2、MN（可由相似的性质得至U） 结论5的证明：设正方形ABCD勺边长为1贝U Saef= 1 S1 - S2 S31 1=云孑xy所以当x = y时， AEF的面积最小结论6的证明：将厶ADNI顺时针旋转90使AD与AB重合 DN= BN易证 AMIA AMN MN= MN在Rt BMN中，由勾股定理可得：bM + BN2= MN2即 bM+ dN = mN结论7的所有相似三角形:已知：正方形EAF 45，AE、AF平分 DFE .A D AMN DFN结论8的证明：因为 AMNA AFE/ 3=Z 2因为 AMNA BAN-Z 3=/ 4-Z 2=/ 4因为AB/ CD/1=/4/1=/2结论

3、9的证明：因为/ EAN=/ EBN= 45 A、B、E、N四点共圆（辅圆定 理：共边同侧等顶角）同理可证C、E、N、F四点共圆A M F、D四点共圆C、E、M F四点共圆*必会结论 图形研究正方形半角模型ABCD， E、F分别在边 BC、CD上，且 AF分别交BD于H、G，连EF .、全等关系(1)求证： DF BE EF :DG+ BH= HG; AE平分 BEF ,、相似关系(2) 求证： CE 2DG ; CF . 2BH ; EF . 2HG .(3) 求证： AB2 BG DH : AG2 BG HG ; 业匹-.CE CF 2三、垂直关系(4)求证： AG EG; AH FH :

4、 tan HCF 竺BE(5)、和差关系求证： BG DG 2BE ， AD DF 2DH ； | BE DF | , 2 | BH DG |.例1、在正方形 ABCD中，已知/ MANH 45，若 M N分别在边 CB DC的延长线上移动，1试探究线段MN BM、DN之间的数量关系.2.求证：AB=AH.例 2、在四边形 ABC中, Z B+Z D= 180, AB=AD 若 E、F分别 在边BC CD上，且满足EF=BE +DF.求证：Z EAF-Z BAD例 3、在厶 ABC中, AB=AC Z BAC=Z DAE=120，若 BD=5CE=8求DE的长。例4、请阅读下列材料： 已知：如

5、图1在Rt ABC中，BAC 90，AB AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若 DAE 45 .探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED， 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；(2) 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，中探 究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.例5、探究:(1)如图1,在正方形ABCD中, E、F分别是BC CD上的点，且/ EAM45,试判断BE、DF

6、与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ;(2) 如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形 ABCD中AB= AD / B+Z D= 180, E、F分别 是边BC CD上的点，且Z EAF=L Z BAD，则(1)问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证2明，若不成立，请说明理由；(3) 在(2)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化， 请给出结论并予以证明.练习巩固1:如图，在四边形 ABCD中, Z B=Z D= 90, AB= AD,若E、F分别在边BC CD上的点，且Z

7、 EAFjZ BAD .求证：EF=BE +DF.练习巩固2:如图，在五边形 ABCD中，AB= BC= CD= DE= EA,A练习巩固3: 已知：正方形ABCD中，MAN 45。，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB DC (或它们的延 长线)于点M N.(1)如图1,当 MAN绕点A旋转到BM DN时，有BM DN MN 当 MAN 绕点A旋转到BM DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请 说明理由；(2)AB= AD Z B=Z D= 90当 MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写 出你的猜想，并证明

8、.(3)(5).如图17,正方形ABCD E、F分别为BC CD边上一点.(1)若/ EAF= 45o.求证：EF= BE+ DF.(2)若厶AEF绕A点旋转，保持/ EAF= 45o,问/ CEF的周长是否随 AEF位置的变化而变化？(3)已知正方形 ABCD勺边长为1,如果/CEF的周长为2.求/ EAF 的度数.练习巩固5、如图，已知在正方形 ABCD中， MAN= 45，连接BD与AM AN分别交于E、F两点求证：(1)MN= M申 DN(2)点A到MN的距离等于正方形的边长；(3)VCMN勺周长等于正方形 ABCD边长的2倍;(5)若 MAB= 20，求 AMN(6) 若 MAB 0

9、 p p 45o，求 AMN；(7)EF EE? DF2;(8)VAEN与VAFM是等腰三角形；(9)sVAEFSVAMN练习巩固6、在等边 ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M ,N ,D为ABC外一点，且 MDN 60，BDC120， BD CD，探究：当点M ,N分别爱直线AB , AC上移动时,BM，BN，MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.DN时，BM ,NC ,MN之间的数量关系式DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(3)如图，当点M ,N分别在边AB ,CA的延长线上时，若AN x，则Q (用x ,L表示)练习巩固7、

10、女口图所示， ABC是边长为1的等边三角形， BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶 点作一个60的/ MDN点M N分别在AB, AC上，求 AMN勺周长练习巩固8女口图，在正方形 ABC冲，BE=3 EF= 5，DF= 4,求/ BA曰/DCF为多少度巩固练习9、如图 1，Rt ABCRt EDF / ACB=Z F= 90,/ A=Z E= 30。厶 EDF 绕着边 AB的中点 D旋转，DE DF分别交线段.AC于点M K.如图 2、图 3,当/ CDF= 0 或 60 时，AM+ CK MK填 “”，“” 或“=”).如图 4,当/ CDF= 30 时，AM+ CK_MK只填“”或“”). 猜想：如图1，当0Z CDR60时，AW CK M，证明你所得到的结论.AM如果MK2 CK2 AM2，请直接写出/ CD的度数和竺的值.fc图1B