例2、在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm两部分，求这个三角形各边的长.
答案：
各边长为10，10，1．
例3、
（1）不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜边条
（2）如图不具有稳定性的有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
（3）如图，已知AD、AE分别是△ABC的中线、高，且AB=5cm，AC=3cm，则△ABD与△ACD的周长之差为________，△ABD与△ACD的面积关系为_________.
（4）如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
（5）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE.
（6）△ABC中，AD是角平分线，DE//AC交AB于E，EF//AD交BC于F.试问：
EF是△BDE的角平分线吗？
说明理由.
提示：
（1）三角形是平面图形，照相机的三角架是三棱椎图形．
（2）第二个图形是由一个三角形和一个四边形组成，四边形不具备稳定性．
（4）直角三角形的两直角边是它的两条高，与第三条高交于直角顶点．
（6）只要说明∠BEF=∠FED就可以得出EF是△BED的角平分线．
答案：
（1）C
（2）B （3）2cm，相等 （4）B
（5）S△ABE＝1cm2 （6）EF是△BDE的角平分线．理由略
例4、
（1）如图，AD⊥BC，垂足为D，则AD是_______的高，______=______=90°.
（2）AE平分∠BAC，交BC于E点，则AE叫做∠BAC的________，______=______=
__________.
（3）若FA=FC，则△ABC的中线是__________，S△ABF=_________.
（4）若BG=GH=HF，则AG是_____________的中线，AH是_______________的中线.
答案：
（1）BC边，∠ADB,∠ADC
（2）角平分线，∠BAE，∠CAE，∠BAC
（3）BF，S△CBF
（4）△ABH的边BH上，△AGF的边GF上
一、填空题
1、已知在三角形ABC中，AB=2，BC=3，则AC的取值范围是________________.
2、三角形三边的比是3∶4∶5，周长是96cm，那么三边长分别是_________________.
3、若△ABC中，三边长a，b，c均为整数，且满足a>b>c，若a＝7，则满足条件的三角形共有_____________个.
4、如图，在△ABC中，BC边上的高为__________，AB边上的高是__________，AC边上的高是__________.
5、如图，则S△ABC=_________.
二、选择题
6、已知四组线段的长，其中能构成三角形的一组是（ ）
A．1、2、3 B．2、5、8
C．3、4、5 D．4、5、10
7、如线段a、b、c能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ）
A．1∶2∶4 B．1∶3∶4
C．3∶4∶7 D．2∶3∶4
8、如图，已知点D、E、F分别为BC、AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，S△BEF为（ ）
A．2cm2 B．1cm2
C．
cm2 D．
cm2
三、综合题
9、已知△ABC两边长为2，5，且第三边为奇数，求这个三角形的周长.
10、若a、b、c是△ABC的三边长，试化简|a－b－c|＋|－b＋a＋c|.
三角形的内角
一、知识归纳
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°．
三角形的内角和与三角形的大小、形状都没有关系．
二、例题讲解
例1、
（1）在△ABC中，若∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=_________．
（2）若一个三角形的三个内角之比为4∶3∶2，则这个三角形的最大内角为_________．
（3）在Rt△ABC中，∠A＋∠B=135°，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．90°
C．45°或90° D．不能确定
提示：
（1）三角形三个内角的和等于180°，题中为等腰三角形，已知顶角，可求出其中一底角．
（2）已知三个内角之比4∶3∶2，180°÷（4＋3＋2）＝20°，再按三个比值分别求出三个角，其中最大内角为20°×4＝80°．
（3）在不能确定哪个角是直角的情况下，那么∠B的度数有两个．
答案：
（1）65°
（2）80° （3）C
例2、
（1）△ABC中，∠A=
∠B=
∠C，则△ABC是_________三角形．
（2）不能判定三角形是直角三角形的条件是（ ）
A．∠A＋∠B=∠C B．∠A=∠B=
∠C
C．∠A=90°－∠B D．∠A－∠B=90°
（3）一个三角形中，至少有_________个角是锐角，至多有_________个角是钝角或直角．
提示：
（1）根据题中比例关系，用一元一次方程的方法建立方程解答．
（2）能判断三内角中有一个角是直角的是A、B、C，选D．
答案：
（1）钝角
（2）D （3）2 1
例3、如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4=_________．
（2）如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=_________．
答案：
（1）280°
（2）360° 提示：
三角形三个内角的和等于180°．把这六个角分到两个三角形求内角和．
例4、
（1）如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB等于（ ）
A．40° B．30°
C．20° D．10°
（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，EF//AB，∠1=50°，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．60°
C．30° D．40°
提示：
（1）折叠后的两个三角形对应的角、边都相等.
（2）利用“两直线平行内错角相等”的性质，可推出∠A＝∠1＝50°，便可以求出∠B.
答案：
（1）D
（2）D
例5、如图所示，将三角形纸片ABC的一个角折叠，折痕为EF，若∠A=80°，∠B=68°，∠CFE=78°，求∠CEF的度数．
提示：
利用三角形内角和求出∠C的度数，而∠C又为图中两个三角形的公共角，已知∠CFE＝78°，即可得出∠CEF的度数．
答案：
70°
例6、如图所示，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的南偏东80°方向，求∠ACB的度数．
答案：
60°
例7、如图，DP平分∠CDA，BP平分∠ABC，则∠P、∠A、∠C之间的关系怎样，请说明理由．
提示：
根据三角形内角和定理，在类似如图八字形的三角形中，对顶角相等，另外两组内角之和也相等．
答案：
2∠P=∠C＋∠A
一、填空题
1、在△ABC中，若∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________；若∠A=90°，∠B－∠C=24°，则∠B=__________．
2、在△ABC中，若∠A＋∠B=∠C，则△ABC是___________三角形．
3、如图，若∠A=40°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4=_________．
4、如图，∠B＋∠C=100°，∠D=70°，则∠A=_________．
二、选择题
5、一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
6、在△ABC中，∠C=80°，∠A－∠B=20°，则∠B等于（ ）
A．20° B．30°
C．40° D．60°
7、如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC的度数为（ ）
A．45° B．100°
C．80° D．60°
三、综合题
8、在△ABC中，∠A=
∠B=
∠C，试判断△ABC的形状．
9、如图，在四边形ABCD中，AB//DC，P为BC上一动点，若点P在BC上运动，则∠CDP＋∠CPD的和一定等于∠B，试说明理由．
10、如图
（1）所示，有一个五角形ABCDE图案，你能说明∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=180°吗？
如果B点向下移动到AC上[如图
（2）所示]或AC的另一侧[如图（3）所示]，上述结论是否依然成立？
请说明理由．
三角形的外角
一、知识归纳
1、三角形的外角：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
如图，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角就是三角形的外角．
外角特征：
（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线．
2、性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
3、三角形的外角和为360°．
二、例题讲解
例1、
（1）如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．∠1>∠2>∠A B．∠1>∠A>∠2
C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠1>∠A
（2）如图，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3等于（ ）
A．55° B．65°
C．75° D．85°
（3）在△ABC中，∠A=53°，∠B=63°，那么△ABC的最小外角是（ ）
A．117° B．63°
C．116° D．53°
（4）如图，AD与BC相交于O，AB//CD，∠B=20°，∠D=40°，那么∠BOD的度数为__________．
（5）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为__________．
提示：
（1）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
（2）利用三角形的外角和为360°求出∠3的邻补角，从而得∠3的度数．
（3）利用三角形内角和定理求出∠C，最大内角的邻补角就是最小外角.
（4）因为AB∥CD，所以∠A＝∠D＝40°，∠B＝20°，由三角形内角和可求出∠AOB.
（5）注意分类讨论．
答案：
（1）A
（2）B （3）C （4）60° （5）40°或140°
例2、
（1）如图l1//l2，则下列式子中值为180°的是（ ）
A．α＋β－γ B．α＋β＋γ
C．β＋γ－α D．α－β＋γ
（2）如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________．
（3）如图为五角星，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=__________．
提示：
本题主要运用了三角形内角和定理及外角和的有关结论，把所求的五个角集中到一个三角形中来解决．
答案：
（1）A
（2）360° （3）180°
例3、如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F．若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°．求∠BDF的度数．
提示：
由已知条件∠B＝67°，∠ACB＝74°可求出∠A，然后用三角形的外角与内角关系∠BDF＝∠A＋∠AED求解．
答案：
87°
例4、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=∠C，∠4=∠5．求∠5的度数．
提示：
由已知条件得出：
△ABC、△BDC为等腰三角形，∠C为△ABC、△BDC的公共角，∠4＝∠5＝∠1＋∠2，由此等量关系，设未知数列出方程可求得.
答案：
72°
例5、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC（∠C>∠B）．试说明∠EAD=
（∠C－∠B）．
答案：
∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝
∠BAC＝
（180°－∠B－∠C）．
∵AD⊥BC，∴∠DAC＝90°－∠C，
∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC
＝
（180°－∠B－∠C）－（90°－∠C）
＝
（∠C－∠B）．
一、选择题
1、如图，图中∠1=___________．
2、△ABC的三个外角比为2∶3∶4，则△ABC的三个内角分别为___________．
3、在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°，高AD与角平分线BE交于点F，则∠BFD=___________．
二、选择题
4、把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所成的角为（ ）
A．165° B．155°
C．15° D．165°或15°
5、如图，∠1，∠2，∠3，∠4应满足的关系式是（ ）
A．∠1＋∠2=∠3＋∠4 B．∠1＋∠2=∠4－∠3
C．∠1＋∠4=∠2＋∠3 D．∠1＋∠4=∠2－∠3
6、如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为180°，则这个外角为（ ）
A．60° B．45°
C．30° D．90°
7、如图，直线a//b，则∠A的度数为（ ）
A．28° B．31°
C．39° D．42°
8、任何一个三角形的三个内角中至少有（ ）
A．两个锐角 B．三个锐角
C．一个钝角 D．一个直角
三、综合题
9、如图，∠B=45°，∠A=30°，∠C=25°，求∠ADC的度数．
10、如图，已知DE分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．
多边形及其内角和
一、知识归纳
1、多边形：
在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．
（1）多边形的一些要素
边：
组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：
每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：
多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角．
外角：
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
（2）在定义中应注意
①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；
②首尾顺次相连，二者缺一不可；
③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况，即空间多边形.
2、正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
要点诠释：
各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形．
3、n边形的内角和等于（n－2）·180°．多边形的外角和等于360°．
4、对角线：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
从n边形的一个顶点出发有（n－3）条对角线，n边形共有
条对角线．
二、例题讲解
例1、
（1）如图所示，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为___________cm．
（2）如图，△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，若AB=4，则图形ABCDEFG外围的周长是（ ）
A．12 B．15
C．18 D．21
提示：
（1）折叠后的阴影部分图形的周长转化为三角形周长.
（2）根据等边三角形的性质找出三个三角形边长之间的关系．
答案：
（1）3
（2）B
例2、
（1）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是_________．
（2）若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于_________度．
（3）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°．这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
（4）一个多边形的每个外角都相等，且比它的内角小140°，这个多边形是_________边形．
（5）过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角为（ ）
A．1620° B．1800°
C．1980° D．2160°
提示：
（1）n边形的内角和等于（n－2）·180°＝1260°．求出n＝9即为多边形的边数．
（2）多边形的外角和等于360°，
360°÷30°＝12，（n－2）·180°＝（12－2）×180°＝1800°．
（3）（4）都根据多边形定理公式求解：
“过n边形一个顶点连对角线，可以得（n－3）条对角线”，“n边形的内角和等于（n－2）·180°，多边形的外角和等于360°”．
答案：
（1）9
（2）1800 （3）C （4）十八 （5）B
例3、
（1）如图，分别以四边形ABCD的四个顶点为圆心，半径为R作四个互不相交的圆，则图中阴影部分的面积之和是_________．
（2）如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走_________m．
答案：
（1）πR2
提示：
阴影部分为四个扇形，求扇形面积就要先知道扇形的圆心角度数和圆的半径，已知四个小扇形半径R相等，而四个圆心角之和实际就是四边形内角之和360°，由此可得πR2.
（2）240
提示：
小亮从A点出发再走回A点就是转了一圈，那么就是转了360°.360°÷15°×10＝240.
例4、四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，∠A＝∠D．求这个四边形四个内角的度数．
提示：
四边形内角和为360°，根据四个角的比例关系设未知数，列一元一次方程求解.
答案：
∠A＝120°，∠B＝80°，∠C＝40°，∠D＝120°
例5、已知两个多边形的内角总和为1800°，且两多边形的边数之比为2∶5．求这两个多边形的边数．
答案：
设两个多边形的边数分别为2x和5x，
（2x－2）·180°+（5x－2）·180°＝1800°
得x＝2．
2x＝4，5x＝10．
所以这两个多边形的边数分别为4和10．
例6、一个同学在进行多边形内角和计算时，求得内角和为2750°，当发现错了之后，重新检查，发现少加了一个内角．问这个内角是多少度？
求这个多边形的边数．
解：
设这个内角是α度，这个多边形的边数为n，则
（n－2）·180°=2750°＋α，
∴n－2=15＋
．
∵n－2是正整数且0<α<180°，
∴α=130°，n=18．
∴这个内角是130°，这个多边形的边数是18．
一、填空题
1、已知正n边形的周长为a，则它的边长为__________．
2、从n边形的一个顶点引对角线，把这个多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数为__________．
二、选择题
3、关于正多边形的说法正确的是（ ）
A．每个内角相等的多边形是正多边形
B．每边相等的多边形是正多边形
C．正四边形一定是正方形
D．正五边形的每个内角为100°
4、已知从多边形的一个顶点可引出三条对角线，则它是（ ）
A．五边形 B．六边形
C．七边形 D．八边形
5、一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10 B．11
C．12 D．以上都有可能
6、已知多边形每个内角等于120°，则从此多边形的一个顶点出发可引出对角线（ ）
A．5条 B．4条
C．3条 D．2条
7、如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△
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