押题第5道 运用数形结合思想探究函数零点问题解析版.docx
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押题第5道运用数形结合思想探究函数零点问题解析版
高考数学核心难点痛点之名师押题40道【江苏版】
押题第1道运用数形结合思想探究函数零点问题
【押题背景】
运用数形结合思想探究函数零点问题历来是高考的热点与难点,解决此类问题的难点是函数形式的有效选择.本专题主要研究运用数形结合思想探究函数零点问题,并在解决问题的过程中感悟数学思想方法的灵活运用.
【押题典例】
典例1已知函数,且在上的最大值为,若函数有四个不同的零点,则实数的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
若,则在上递增,有最小值,不合题意,,要使在的最大值为,如果,即,则,得矛盾,不合题意;如果,则,,,若有四个零点,则与有四个交点,只有开口向上,即,当与有一个交点时,方程有一个根,得,此时函数有三个不同的零点,要使函数有四个不同的零点,与有两个交点,则抛物线的开口要比的开口大,可得,,即实数的取值范围为,故答案为.
典例2、设为偶函数,且当时,;当时,.关于函数的零点,有下列三个命题:
①当时,存在实数m,使函数恰有5个不同的零点;
②若,函数的零点不超过4个,则;
③对,,函数恰有4个不同的零点,且这4个零点可以组成等差数列.
其中,正确命题的序号是_______.
【答案】①②③
【解析】当时又因为为偶函数可画出的图象,如下所示:
可知当时有5个不同的零点;故①正确;
若,函数的零点不超过4个,即,与的交点不超过4个,
时恒成立,又当时,,在上恒成立,在上恒成立,,由于偶函数的图象,如下所示:
直线与图象的公共点不超过个,则,故②正确;对,偶函数的图象,如下所示:
,使得直线与恰有4个不同的交点点,且相邻点之间的距离相等,故③正确.
故答案为:
①②③
【押题匹配】
1、(2020·江苏省高三月考)已知,若函数有4个零点,则实数k的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意有4个零点即有4个零点,设,则恒过点,函数与的图象有4个交点,在同一直角坐标系下作出函数与的图象,如图,由图象可知,当时,函数与的图象至多有2个交点;当函数过点和时,,此时函数与的图象恰有3个交点;当函数与的图象相切时,设切点为,,,,解得,,此时函数与的图象恰有3个交点;当时,两函数图象至多有两个交点;若要使函数有4个零点,则.故答案为:
.
【押题变式】
1、(2020·江苏省高考模拟)定义在R上的奇函数满足,且在区间上,则函数的零点的个数为___.
【答案】5
【解析】由题知函数的周期为4,又函数为奇函数,∴,即故f(x)关于(2,0)中心对称,又g(x)=为偶函数,则画出f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示:
故交点有5个故答案为5
2.(2020·江苏省高三期中)若函数恰有2个零点,则的取值范围是______.
【答案】,.
【解析】根据题意,在同一个坐标系中作出函数和的图象,如图:
若函数恰有2个零点,即函数图象与轴有且仅有2个交点,则或,即的取值范围是:
,
3.(2020·江苏省金陵中学高三开学考试)已知是定义在上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是.
【答案】
【解析】函数在区间上有互不相同的10个零点,即函数与的图象有10个不同的交点,在坐标系中作出函数在一个周期内的图象,可知.
4.(2020·江苏省扬州市高三期末)已知f(x)是定义在R上且周期为的周期函数,当x∈时,f(x)=1-.若函数y=f(x)-logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4个互不相同的零点,则实数a的值________.
【答案】
【解析】当x∈时,得f(x)=1-=且f(x)是定义在R上且周期为的周期函数,∵函数y=f(x)-logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4个互不相同的零点,∴函数y=f(x)与y=logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4个不同的交点,分别画出两函数图象如图510所示,由图可知,当x=时,有log=1,所以a=.故答案为.
5.(2020·江苏省西亭高级中学高三月考)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点,则k的取值范围是________.
【答案】(-∞,0)∪
【解析】作出函数图象如图57所示,易得k的取值范围是(-∞,0)∪.
6.(2020·南京市中华中学高三月考)已知若函数,,若函数)恰有两个不相等的零点,则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由得,设
设,作出和的图象如图:
,
当时,即时,,此时,即此时两个函数有个交点,不满足条件.
当时,即时,要使两个函数有两个交点,则此时只需要满足,即此时
当时,即时,此时时,两个函数一定有一个交点,
则此时只要在时有一个交点即可,
此时当,此时只要满足,即即可,
综上所述,实数的取值范围是或,故答案为:
.
7.(2020·苏州市相城区陆慕高级中学高三月考)函数在区间上有两个零点,则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由题意得,得,设,可得在区间上单调递增;在区间上单调递减,所以当时,函数取得极小值,同时也是最小值,因为当时,,当时,,所以要使得函数在区间上有两个零点,所以实数的取值范围是.
8.(2020·江苏省如皋中学高三月考)定义在R上的偶函数满足,且当时,;当且时,有,则函数在是的零点个数是_______
【答案】4
【解析】∵,∴函数是周期函数,周期为.当且时,有,则时,,递减,时,,递增,
当时,,且是偶函数,周期为2,在同一坐标系中作出的大致图象和的图象,由图可知,在上的零点个数为4.故答案为:
4.
9.(2020·江苏省高三开学考试)已知函数f(x)=t∈R.若函数g(x)=f(f(x)-1)恰有4个不同的零点,则t的取值范围为________.
【答案】[-4,0)
【解析】当x<0时,f′(x)=-3x2+6x=-3x(x-2)<0,所以f(x)在x<0时单调递减,如图,作出函数
f(x)=的图象,设f(x)-1=m,则f(x)=1+m①,f(m)=0②.
若t≥0,则函数g(x)=f(f(x)-1)恰有1个或2个不同的零点,不合题意,所以t<0.
由②得,m=0或m=m1<0,
当m=0时,由①得,f(x)=1,此时f(x)=1有2个不同的根;
当m=m1<0时,由①得,f(x)=1+m1,此时f(x)=1+m1也必须有2个不同的根,
所以1+m1≥0,所以-1≤m1<0,又-m+3m+t=0,所以t=m-3m,且t=m-3m在
-1≤m1<0时单调增,所以t的取值范围为[-4,0).
10、(2020·南京二模)已知f(x)=若函数g(x)=|f(x)|-3x+n有三个零点,则实数n的取值范围是______.
【答案】(-∞,-6)∪
【解析】令g(x)=0,即|f(x)|=3x-n,设函数y=|f(x)|,y=3x-n,分别作出两个函数的图象如图所示,问题转化为所作的两个函数有三个不同的交点,求n的取值范围问题.当x≥0时,直线y=3x-n过原点,即n=0时,两曲线恰有三个交点,当直线y=3x-n(n<0)与y=4x-x2相切时,两条曲线有2个交点,即方程x2-x-n=0的判别式Δ=1+4n=0,即n=-,所以当-<n≤0时,g(x)=0有三个零点.当x<0时,直线y=3x-n(n<0)与y=-相切时,两曲线有2个交点,当直线y=3x-n与y=-相交时,两曲线有3个交点,即方程3x2-nx+3=0的判别式Δ=n2-36>0,解得n<-6,当n<-6时,g(x)=0有三个零点.综上所述,当n∈(-∞,-6)∪时,g(x)=0有三个零点.