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顺风向结构风致响应一般计算方法
顺风向结构风致响应公式推导
0引言
近些年来,由于全球气候变暖,风灾变得更为频繁,在所有自然灾害中,风灾造成的经济损失已经跃居各种自然灾害之首。
每年造成全球经济损失达数百亿甚至千亿美元,而我国东南沿海地区又是受风灾影响比较严重的区域。
同时,随着土木工程结构向着高、大跨、柔、轻质和低阻尼方向发展,结构对风的敏感性大大增强,与结构损坏有关的风灾屡见不鲜,风荷载正在逐渐成为结构设计时的控制荷载之一,国内外工程技术人员对建筑物的抗风设也计越来越重视。
在研究风对结构的作用时,一般将其分为平均风和脉动风。
本文主要讨论顺风向的结构风致响应。
顺风向的结构风致响应是在平均风和脉动风共同作用下产生的。
我国建筑和在规范规定,对于高度高于30m且高宽比大于的房屋结构,对于基本自振周期不大于的塔架、桅杆、烟囱等高耸结构,应考虑到风压脉动引起的结构动力效应。
由于脉动风的卓越周期在一分钟左右,而高、柔、大跨度结构的基本周期也只在几秒这个数量级,因此结构愈柔,基本周期愈长,顺风向的风致响应就愈大。
目前关于结构顺风向风致响应的计算方法一般是基于加拿大Davenport在20世纪60年代提出并不断发展完善的。
依据该方法,顺风向的结构总风致响应由平均风响应、脉动风响应组成,其中脉动风响应包括背景响应和共振响应。
图0-1(A)表示了时域内的平均响应r、背景响应rB和共振响应rR,图0-1(B)表示了频域内的背景均方响应rB2、前三阶共振均方响应rR21、rR22和rR23。
下面主要探讨下单自由度和多自由度结构的顺风向风致响应。
图0-1平均、背景和共振响应
1单自由度结构顺风向风振响应
结构的自由度数等于确定其各部分位置所需参数的数目。
有很多结构,将其假定为单自由度结构,在计算其顺风向动力响应时能获得合力准确的计算结果。
在计算结构的顺风向响应时,仅考虑顺风向部分的湍流速度分量u,其他湍流分
量对结构的振动响应影响不显著
一般单自由度结构可视为点状结构,计算模型可假定为质量为m的质点支承在刚度系数为k的弹簧上,同时与弹簧平行的方向有阻尼系数为c的黏滞阻尼。
位移u的运动方程为:
mucukuFtot()
式中,Ftot为作用在结构上的顺风向荷载。
荷载Ftot的表达式为:
1.2
Ftot2CDA(Uvu)2()
式中,CD为空气阻力系数;A是垂直平均风方向的结构受荷载面积。
顺风
向荷载取决于风与结构的相对速度,即与结构振动的速度u有关系。
因为,一般情况下平均风速U比纵向湍流的速度v要大得多,所以有如下近似:
(Uvu)2U22Uv2Uu()
全部的风荷载可分为三部分:
平均风荷载Fq、由湍流产生的脉动荷载Ft及气动阻尼所产生的荷载Fa:
Ftot
Fq
Ft
Fa
()
Fq
1CD
A
U2
()
2D
Ft
t
CDA
U
v
()
Ft
CDA
U
ucau
()
ca
CDA
U
()
气动阻尼常数ca与结构自身阻尼c相加可得合租尼c0:
c0cac
所以有平均风位移响应:
结构位移的自谱S(n)表达式为:
S(n)|H(n)|2SF(n)
式中,H(n)为结构的频率响应函数;SF(n)为函数自谱。
风荷载自谱可由下式确定:
SF(n)(CAAU)2Su(n)4UF2qSu(n)()
因此,位移u的方差可通过对式()中的自谱积分求得:
k2qUu20k2|H(n)|2Su(n)dn
k2|H(n)|2Su(n)dn
所以,总的风致响应:
2Iuk2|H(n)|2Su(n2)dn
0
顺风向的结构总风致响应由平均风响应、脉动风响应组成,其中脉动风响应包括背景响应和共振响应。
一、平均风响应
在顺风向,平均风致响应可通过平均风荷载与影响函数得到
H
r(z)0p(zi)i(z,zi)dzi
(1)
式
(1)中:
r(z)表示在结构z高度处的某一响应均值
p(zi)表示作用于结构高度zi处的线平均风力
i(z,zi)表示在zi高度处作用一单位力在z高度处产生的某一响应值,也称影响函数,包括位移、剪力和弯矩影响函数等,其任意高度z的表达式如下:
j(z)*j(zi)第j阶位移
K*j
i(z,zi)1或0剪力(当ziz时,取1;当ziz时,取0)
(2)
zi-z或0弯矩(当ziz时,取zi-z;当ziz时,取0)
式
(2)中,j(z)和j(zi)表示某高度处的第j阶阵型坐标,K*j代表第j阶广义刚度。
在竖向悬臂结构中,一般考虑第一阶阵型的影响。
在
(2)中,最为关心的是顶部(z=H)位移、底部(z=0)剪力与弯矩的影响函数。
二、脉动风响应
一竖向悬臂结构,在与风垂直的迎风表面xz上,M1点和M2点的坐标分别为(x,z)和(x',z'),准定常假定成立,作用于迎风面上这两点的脉动风压分别为w(x,z,t)和w(x',z',t),其表达式为
w(x,z,t)CD(M1)(z)(z,t)(a)
w(x,z,t)CD(M2)(z)(z,t)(b)
由强风观察结果分析得出,式(a)和式(b)中的流脉动风速(z,t)和(z',t)大体上服从正态分布规律,脉动风速的均值E()0,并且由前述脉动风的记录可近似作为平稳各态历经的随机过程。
1、运动方程
工程中受风敏感的高层建筑或高耸结构,属竖向一维悬臂结构,这类结构沿竖向的质量和刚度分布可以不均匀,随高度发生变化,现将其抽象为一维悬臂的无限自由度体系。
由随机振动的振型分解方法,任意高度z处的水平位移yd(z,t)可表示为
yd(z,t)ydj(z,t)j(z)qj(z)(3)
j1j1
式中ydj(z,t)——第j振型的动位移;
j(z)——第j振型z高度处的坐标;
qj(z)——第j振型的广义坐标。
假设振型j(z)对质量分布和刚度分布正交,阻尼项采用瑞雷阻尼,可得第
j振型的运动方程:
qi(t)2j(2nj)qj(t)(2nj)2qi(t)Fj(t)(4)
1HB(z)
式中,Fj(t)*00w(x,z,t)j(z)dxdz(5)
Mj
式中w(x,z,t)——脉动风压;
Bz——建筑物z高度处的迎风面宽度;
H——建筑物总高;
Mj——建筑物第j振型的广义质量,其表达式如下:
H*2
M*jm(z)j(z)dz(6)
0
式中,m(z)为建筑物z高度处单位长度的分布质量
2、位移响应根方差
由维纳-辛钦关系式,第j振型和第k阶振型广义力互谱密度SFF(n)由其互相关函数RFjFk(x,x',z,z',)得到:
Fj(t)Fk(t)ei2nd(7)
''i2n
SFjFk(n)RFjFk(x,x,z,z,)ed由式(5)和(7)可进一步写作
HB(z)
SFjFk(n)[00w(x,z,t)j(z)dxdz0
B(z)''
0w(x,z,t
)k(z)dxdz
Mj
Mj
]ei2nd
''i2n
w(x,z,t)w(x',z',t)]ei2nd''
**dx'dxdz'dz
M*jM*j
S(x,x',z,z',n)Rxz(M1,M2,n)S(x,z,n)S(x',z',n)(11)
Rxz(M1,M2,n)S(n)S(n)Rxz(M1,M2,n)S(n)
将式(10)连同式(11)带入式(8)中,可得:
1HHB(z)B(z')'2'''
SFjFk(n)M*M*0000(z)j(z)k(z')2CD(M1)CD(M2)(z)(z')S(n)Rxz(M1,M2,n)dx'dxdz'dz(12)
忽略交叉项后,式(12)写为
22
J(n)
2CD(M1)CD(M2)S(n)H2M*j2
13)
式(13)中,CD(M1)和CD(M2)分别为M1和M2的平均压力系数,
(z)H(z),(z')H(z),这里,H为来流在建筑物顶部高度的平均风速。
按阵型分解随机振动理论,结构水平动位移响应的功率谱密度Sy(z,n)为
mm
Sy(z,n)j(z)k(z)Hj(-in)Hk(in)SFjFk(n)(14)
j1j1
Hj(-in)
1
2n2n(2nj)2[1(n)2i2jn]jnjjnj
Hk(in)
响应y的方差为
2
y(z)0Sy(z,n)dn
mm
j1j1
j(z)k(z)Hj(-in)Hk(in)SFjFk(n)dn(15)
2yj(z)
式(16)
当忽略交叉项后,第j阶振型响应的方差为:
2
2j(z)0Hj(in)SFj(n)dn(16)
中,频响函数为
18)可进一步改写如下:
12njnj
0
212jj2
2yj(z)(21n)j2(z)0SFj(n)dnSFj(n)j2(z)
12
(21n)j2(z)0SFj(n)dnSFj(n)
(2nj)
njnj
nn
jj
2
2
Hj(in)dn
2j(z)0Hj(in)dn
(19)
式(19)右端第一项,背景风响应B(z)为
mm1
B(z)Bj(z)[14j2(z)0SFj(n)dn]2(20)
j1j1(2nj)0j
右端第二项,共振响应Rj(z)为
2
由此可将自
R2j(z)SFj(nj)j2(z)0Hj(in)dn(21)风致响应谱在结构自振频率处具有与结构传递函数类似的尖峰,振频率附近的响应谱值按白噪声假定简化计算。
222
R2j(z)SFj(nj)2j(z)Hj(in)j(22)
式(22)中,j为假定的白噪声带宽。
比较(21)和(22)得
2
0Hj(in)dnj0j2jnj(23)
Hj(in)
由式(23),可得
由式(21)和(24)得
212
Rj(z)33SFj(nj)j(z)(25)
64njjj
竖向悬臂结构的风振共振响应以第一振型为主,忽略第二振型,可得:
26)
三、总的风致响应结构的总的风致(峰值响应)应是平均风响应和峰值脉动风响应的叠加,按平方和在开方(SRSS)的方法计算:
22
rmaxr(z)[gBB(z)]2[gRR(z)]2
(27)
gB、gR分别为背景风致因子和共振峰值因子;B(z)、R(z)分别为背景响应和共振响应的均方差。
由
(1)(20)(26)带入(27)可得到风致振动响应公式