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小学奥数
牛吃草问题
历史起源:
英国数学家牛顿(1642—1727)说过:
“在学习科学的时候,题目比规则还有用些”因此在他的著作中,每当阐述理论时,总是把许多实例放在一起。
在牛顿的《普遍的算术》一书中,有一个关于求牛和头数的题目,人们称之为牛顿的牛吃草问题。
主要类型:
1、求时间
2、求头数
除了总结这两种类型问题相应的解法,在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。
基本思路:
①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后,已知头数求时间时,我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。
②已知天数求只数时,同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”,求出只数。
基本公式:
解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是∶
(1)草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`
(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度
第一种:
一般解法
“有一牧场,已知养牛27头,6天把草吃尽;养牛23头,9天把草吃尽。
如果养牛21头,那么几天能把牧场上的草吃尽呢?
并且牧场上的草是不断生长的。
”
一般解法:
把一头牛一天所吃的牧草看作1,那么就有:
(1)27头牛6天所吃的牧草为:
27×6=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
)
(2)23头牛9天所吃的牧草为:
23×9=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。
)
(3)1天新长的草为:
(207-162)÷(9-6)=15
(4)牧场上原有的草为:
27×6-15×6=72
(5)每天新长的草足够15头牛吃,21头牛减去15头,剩下6头吃原牧场的草:
72÷(21-15)=72÷6=12(天)
所以养21头牛,12天才能把牧场上的草吃尽。
第二种:
公式解法
有一片牧场,草每天都匀速生长(草每天增长量相等),如果放牧24头牛,则6天吃完牧草,如果放牧21头牛,则8天吃完牧草,假设每头牛吃草的量是相等的。
(1)如果放牧16头牛,几天可以吃完牧草?
(2)要使牧草永远吃不完,最多可放多少头牛?
解答:
1) 草的生长速度:
(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)
原有草量:
21×8-12×8=72(份)
16头牛可吃:
72÷(16-12)=18(天)
2) 要使牧草永远吃不完,则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数
所以最多只能放12头牛。
匀速生长:
1、一片青草地,每天都匀速长出青草,这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周,那么这片草地可供21头牛吃几周?
1、牧场上有一片草地,每天牧草都匀速生长。
这片牧草可供10头牛吃20天,或可供15头牛吃10天,问可供25头牛吃几天?
2、一片草地,每天都匀速长出青草。
如果可供24头牛吃6天,或20头牛吃10天吃完。
那么可供19头牛吃几天?
3、一片牧场长满草,每天匀速生长,这片牧场可供5头牛吃8天,可供14头牛吃2天,问可供10头牛吃几天?
4、某牧场上的草,若用17人去割,30天可以割尽,若用19人去割,则只要24天便可割尽,问用多少人割,6天可以割尽?
(草匀速生长,每人每天割草量相同)
匀速减少:
由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长多,反而以固定的速度在减少,照这样计算,某牧场草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天,那么,可供多少头牛吃10天?
1、因天气渐冷,牧场上的草以固定的速度减少。
已知牧场上的草可供33头牛吃5天,或可供24头牛吃6天。
照这样计算,这个牧场可供多少头牛吃10天?
2、天气逐渐变冷,牧场上的草每天以均匀的速度减少。
经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天。
那么可供11头牛吃几天?
一、和倍问题
和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系,求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意,弄清两种量彼此间的关系,常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系,以便于找到解题的途径。
和÷(倍数+1)=小数(1倍数),小数×倍数=大数或:
和-小数=大数
1、甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?
2、光明小学有学生760人,其中男生比女生的3倍少40人,男、女生各有多少人?
3、大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个,后来大白兔吃了20个,而小灰兔又采了10个,这时,大白兔的蘑菇是小灰兔的蘑菇的5倍,原来小灰兔采了多少个蘑菇?
4、甲、乙、丙、丁4个数的和是549,如果甲数加上2,乙数减少2,丙数乘以2,丁数除以2以后,则4个数相等.求4个数各是多少?
二、差倍问题
前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题,这种方法使分析的问题具体、形象,使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。
“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系,求这两个数。
差倍问题的解题思路与和倍问题一样,先要在题目中找到1倍量,再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应,相除后得到的结果是一倍量,然后求出另一个数,最后再写出验算和答题。
差÷(倍数-1)=小数(1倍数)小数×倍数=大数或:
小数+差=大数
5、光明小学开展冬季体育比赛,参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍,比踢踺子的多36人。
参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人?
6、已知两个数相除的商为4,相减的差是39,者两个数分别为多少?
7、仓库里存放大米和面粉两种粮食,面粉比大米多3900千克,面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。
仓库有大米和面粉各多少千克?
8、两根绳,第一根长64米,第二根长52米,剪去同样长后,第一根是第二根的3倍,每根绳剪去多少米?
9、有两个自然数相除,商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和等于2113,则被除数是多少
10、甲仓库存粮104吨,乙仓库存粮140吨,要使甲仓库是乙仓库的3倍,那么必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库?
11、有两根同样长的绳子,第一根截去12米,第二根接上14米,这时第二根长度是第一根长的3倍,两根绳子原来各长多少米?
列方程解应用题
1、小明从家到学校,如果每分钟走50米,则要迟到3分钟;如果每分钟走60米,则早到2分钟。
小明家到学校有多远?
2、学校图书室里的故事书的本数是科技书的2倍。
每班借14本故事书和10本科技书,科技书借完时,故事书还有144本,求图书室原有故事书、科技书各多少本?
3、两个数相除,商是22,余数是8,被除数、除数、商与余数的和是866,被除数是多少?
4、甲仓库有粮44吨。
乙仓库有粮食83吨。
现在甲仓库每天存入3吨,乙仓库每天存入7吨。
几天后乙仓库的总吨数是甲仓库的2倍?
5、甲、乙、丙、丁四人共做零件370个,如果甲多做10个,乙少做20个,丙做的个数乘以2,丁做的个数除以2,那么这四个人所做的零件恰好相等。
试问:
乙实际做了多少个零件?
6、一艘轮船所带的燃料最多可用9小时,轮船从一码头顺流而下每小时可行150千米,返回时逆流而上每小时行驶120千米,这艘轮船最多开出多少千米就必须返回?
7、某农民养鸡若干只,已知鸡比兔多13只,鸡的脚比兔的脚多16只。
问鸡和兔各有多少只?
8、某校有100名学生参加第四届小学“祖冲之杯”数学竞赛,平均分是63分,其中参赛男同学的平均分为60分,女同学的平均分为70分,那么该校参加比赛的男同学比女同学多多少人.
9、一个商人估计,假如1公斤苹果卖1.2元,就得赔2元,假如1公斤苹果卖1.5元,就可赚4元,他想快点出手,以不赔不赚的价格出卖,每公斤苹果应卖多少元?
10、在一次数学竞赛中,甲队的平均分为75分,乙队的平均分为73分,两队全体同学的平均分为73.5分。
又知乙队比甲队多6人,那么乙队有多少人?
逻辑推理
1、已知四人中只有一人说真话,请根据下面四人说的话,判断是哪名同学修好的桌凳。
(1)许兵说:
“桌凳不是我修的。
”
(2)李平说:
“桌凳是张明修的。
”
(3)刘成说:
“桌凳是李平修的。
”
(4)张明说:
“我没有修过桌凳。
”
后经了解,四人中只有一人说的是真话。
请问:
桌凳是谁修的?
2、小华、小红、小明三人中,有一人在数学竞赛中得了奖。
老师问他们谁是获奖者,小华说是小红,小红说不是自已,小明也说不是自己。
如果他们当中只有一人说了真话,那么,谁是获奖者?
3、一位警察,抓获四个盗窃嫌疑犯A,B,C,D,他们的供词如下:
A说:
“不是我偷的。
”
B说:
“是A偷的。
”
C说:
“不是我。
”
D说:
“是B偷的”
他们四人中只有一人说的是真话。
你知道谁是小偷吗?
4、有500人聚会,其中至少有一人说假话,这500人里任意两人总有一人说真话。
说真话的有多少人,说假话的有多少人?
5、虹桥小学举行科技知识竞赛,同学们对贯刻苦学习、爱好读书的4名学生的成绩进行了如下估计:
(1)丙得第一,乙得第二。
(2)丙得第二,丁得第三。
(3)甲得第二,丁得第四。
比赛结果一公布,果然是这4名学生获得前4名。
但以上三种估计,每一种只对了一半。
请问他们各得第几名?
6、甲、乙、丙、丁四人同时参加一次数学竞赛。
赛后,他们四人预测名次的谈话如下:
甲:
“丙第一,我第三。
”
乙:
“我第一,丁第四。
”
丙“丁第二,我第三。
”
丁:
没有说话。
最后公布结果时,发现甲、乙、丙三人的预测都只对了一半。
请你说出这次竞赛中甲、乙、丙、丁四人的名次。
7、某小学最近举行一次田径运动会,人们对一贯刻苦锻炼的五名学生的短跑成绩进行了如下的估计:
A说:
“第二名是D,第三名是B。
”
B说:
“第二名是C,第四名是E。
”
C说:
“第一名是E,第五名是A。
”
D说:
“第三名是C,第四名是A。
”
E说:
“第二名是B,第五名是D。
”
这五名学生每人说对了一半。
请你猜猜这五名学生的名次。
8、某次考试考完后,A,B,C,D四名同学猜测他们的考试成绩。
A说:
"我肯定考得最好。
”
B说:
"“我不会是最差的。
”
C说:
“我没有A考得好,但也不是最差的。
”
D说:
“可能我考得最差。
”
成绩一公布,只有一人说错了。
请你按照考试分数由高到低排出他们的顺序。
简便计算
一、分配律的灵活运用。
课堂练习1
1、333387
×79+790×66661
2、3.5×
+125%+1
÷
3、9
×425+4.25÷
4、0.9999×0.7+0.1111×2.7
2、换元法解题
换元法又叫变量替换法,是对一些比较复杂的式子将其中的一部分看成一个整体,用新字母代替的方法,利用换元法,可以化繁为简,化难为易。
换元法技巧:
1、出现()×()±()×()形式往往采用换元法
2、设最常出现的部分为a或b
2、设短不设长
课堂练习2
1、(0.1+0.21+0.321)×(0.21+0.321+0.4321)-(0.1+0.21+0.321+0.4321)×(0.21+0.321)
2、(
)×(
)-(
)×(
)
3、(1+3.4+5.7