浙教版中考数学难题突破专题六平行四边形存在性问题含答案.docx

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浙教版中考数学难题突破专题六平行四边形存在性问题含答案

难题突破专题六　平行四边形存在性问题

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年各地中考的“热点”．解这类题目的一般思路是：

假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断；若导出矛盾，就做出不存在的判断．

类型1　已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形

1如图Z6－1，在平面直角坐标系中，已知点A（－3，4），B（－6，－2），C（6，－2），若以点A，B，C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点D的坐标，你的答案唯一吗？

图Z6－1

例题分层分析

（1）符合条件的点D有________个．

（2）如何进行分类？

2如图Z6－2，抛物线y＝x2－2x－3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N.

图Z6－2

（1）直接写出点A，C，N的坐标．

（2）在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

例题分层分析

（1）分别令________和________即可求得A，C两点的坐标，由抛物线的函数表达式即可求得顶点M的坐标，然后求出直线CM直线的函数表达式便可求得点N的坐标．

（2）根据例1的方法，先求出使得以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标，然后逐一代入抛物线的函数表达式验证得符合条件的点P.

解题方法点析

已知三定点，探求第四个点，使之构成平行四边形，可以按对角线进行分类，然后利用中点坐标公式求出点的坐标，再验证是否符合限制条件．

类型2　已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形

3如图Z6－3，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.

图Z6－3

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）求点D的坐标．

（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

例题分层分析

（1）由OA的长度确定出点A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式____________，将________的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线的函数表达式．

（2）设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，将点A，C的坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC的函数表达式，与____________联立即可求出点D的坐标．

（3）存在，分两种情况考虑：

①若AD为平行四边形的对角线，则有MD∥________，MD＝________；

②若AD为平行四边形的一边，则MN∥________，MN＝________，此时通过画图可知有两种情况．

4如图Z6－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（－2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17？

若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

图Z6－4

（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

例题分层分析

（1）由C（0，4），A（－2，0）和对称轴x＝1可得三个关系式，分别是①__________，②__________，③________，然后联立①②③，即可求得a，b，c，从而得到函数表达式．

（2）假设存在满足条件的点F，连结BF，CF，OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G.设点F的横坐标为t，则点F的坐标可表示为________，然后分别用t表示出△OBF，△OFC的面积，而△AOC的面积为________，然后根据四边形的面积为17，得到关于t的方程，解该方程即可判断是否存在符合条件的点F.

（3）先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式为________，再求出抛物线的顶点坐标为________，由点E在直线BC上，得到点E的坐标为________，从而求得DE＝________．若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，所以只需DE＝PQ.设点P的横坐标是m，则可表示出点P的坐标为______________，点Q的坐标是______________，然后再进行分类讨论．①当0＜m＜4时，PQ＝________________，②当m＜0或m＞4时，PQ＝______________，再根据DE＝PQ，即可得到关于m的方程，从而求得符合条件的点P的坐标．

解题方法点析

对于两个定点、两个动点的问题，一般思路是先用一个未知数假设一个相对较简单的动点坐标，然后把这三点看成定点，用该未知数表示另一个动点的坐标，最后再根据动点应满足的条件，求出相应点的坐标．

专题训练

1．[2017·临沂]如图Z6－5，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A（2，－3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.

（1）求抛物线的解析式．

（2）点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标．

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图Z6－5

2．[2017·泰安]如图Z6－6，是将抛物线y＝－x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A（－1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C.

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标．

（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝x＋的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，则这样的点P，Q是否存在？

若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．

图Z6－6

3.[2017·宜宾]如图Z6－7，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于A（－1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连结AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位长度，当点C落在抛物线上时，求m的值．

（3）在

（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上时记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究在抛物线上是否存在点Q，使以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图Z6－7

4．[2017·齐齐哈尔]如图Z6－8，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E.矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2－12x＋32＝0的两个根，且OA>OC.

（1）求线段OA，OC的长．

（2）证明△ADE≌△COE，并求出线段OE的长．

（3）直接写出点D的坐标．

（4）若F是直线AC上的一个动点，在平面直角坐标系内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？

若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

图Z6－8

参考答案

类型1　已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形

例1　【例题分层分析】

（1）3　

（2）分别以AB，BC，AC为平行四边形的对角线．

解：

答案不唯一，有三种情况：

若AB为平行四边形的对角线，则点D的坐标为（－15，4）；若BC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为（3，－8）；若AC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为（9，4）．

例2　【例题分层分析】

（1）y＝0　x＝0

解：

（1）A（－1，0），C（0，－3），N（－3，0）．

（2）存在．若AC为平行四边形的对角线，则点P的坐标为（2，－3）；若AN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为（－4，3）；若CN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为（－2，－3）．把这三个点的坐标分别代入验证，得点P（2，－3）在该抛物线上，因此存在符合条件的点P，点P的坐标为（2，－3）．

类型2　已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形

例3　【例题分层分析】

（1）y＝a（x－2）2＋3　点A

（2）抛物线的函数表达式

（3）AD　AD　AN　AN

解：

（1）设抛物线的顶点为E，根据题意，得E（2，3）．

设抛物线的函数表达式为y＝a（x－2）2＋3，

将（4，0）代入，得0＝4a＋3，即a＝－，

∴抛物线的函数表达式为y＝－（x－2）2＋3＝－x2＋3x.

（2）设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），

将（4，0），（0，3）代入，

得解得

故直线AC的函数表达式为y＝－x＋3，

将直线AC的函数表达式与抛物线的函数表达式联立，

得解得或

∴点D的坐标为.

（3）存在，分两种情况考虑：

Ⅰ.若AD为平行四边形的对角线，则有MD∥AN，MD＝AN.

由对称性得到M1，即DM1＝2，故AN1＝2，

∴点N1的坐标为（2，0）．

Ⅱ.若AD为平行四边形的一边，则MN∥AD，MN＝AD.

①当点M在x轴上方时，如图①所示．

由Ⅰ知AN2＝2，

∴点N2的坐标为（6，0）．

②当点M在x轴下方时，如图②所示，过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M3作M3P⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△N3M3P，

∴M3P＝DQ＝，N3P＝AQ＝3，

∴点M3的纵坐标为－.

将yM＝－代入抛物线的函数表达式，得－＝－x2＋3x，解得xM＝2－或xM＝2＋，

∴xN＝xM－3＝－－1或－1，

∴N3，N4（－1，0）．

综上所述，满足条件的点N有4个，N1（2，0），N2（6，0），N3（－－1，0），N4（－1，0）．

例4　【例题分层分析】

（1）①c＝4　②0＝4a－2b＋c　③b＝－2a

（2）（t，－t2＋t＋4）　4

（3）y＝－x＋4　（1，）　（1，3）　　（m，－m＋4）　（m，－m2＋m＋4）　（－m2＋m＋4）－（－m＋4）＝－m2＋2m　（－m＋4）－（－m2＋m＋4）＝m2－2m

解：

（1）由抛物线经过点C（0，4）可得c＝4，①

∵对称轴为直线x＝－＝1，

∴b＝－2a，②

又抛物线经过点A（－2，0），

∴0＝4a－2b＋c，③

由①②③得a＝－，b＝1，c＝4，

∴抛物线的函数表达式是y＝－x2＋x＋4.

（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF，CF，OF.过点F分别作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G.

设点F的坐标为（t，－t2＋t＋4），其中0＜t＜4，

则FH＝－t2＋t＋4，FG＝t，

∴S△OBF＝OB·FH＝×4×（－t2＋t＋4）＝－t2＋2t＋8，

S△OFC＝OC·FG＝×4×t＝2t，

∴S四边形ABFC＝S△AOC＋S△OBF＋S△OFC＝4－t2＋2t＋8＋2t＝－t2＋4t＋12.

令－t2＋4t＋12＝17，

即t2－4t＋5＝0，则判别式＝（－4）2－4×5＝－4＜0，

∴方程t2－4t＋5＝0无解，故不存在满足条件的点F.

（3）设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b′（k≠0），

∵直线经过点B（4，0），C（0，4），

∴解得

∴直线BC的函数表达式是y＝－x＋4.

由y＝－x2＋x＋4＝－（x－1）2＋，得D（1，）．

∵点E在直线BC上，

∴点E的坐标为（1，3），于是DE＝－3＝.

若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，∵DE∥PQ，∴只需DE＝PQ.

设点P的坐标是（m，－m＋4），

则点Q的坐标是（m，－m2＋m＋4）．

①当0＜m＜4时，PQ＝（－m2＋m＋4）－（－m＋4）＝－m2＋2m，

由－m2＋2m＝，解得m＝1或3.

当m＝1时，线段PQ与DE重合，m＝1舍去，

∴m＝3，此时P1（3，1）．

②当m＜0或m＞4时，PQ＝（－m＋4）－（－m2＋m＋4）＝m2－2m，由m2－2m＝，

解得m＝2±，

经检验符合题意，此时P2（2＋，2－），P3（2－，2＋）．

综上所述，满足条件的点P有3个，分别是P1（3，1），P2（2＋，2－），P3（2－，2＋）．

专题训练

1．解：

（1）令x＝0，由y＝ax2＋bx－3得y＝－3，

∴C（0，－3），∴OC＝3.

又∵OC＝3OB，∴OB＝1，

∴B（－1，0）．

把点B（－1，0）和A（2，－3）的坐标分别代入y＝ax2＋bx－3，

得

解得

∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.

（2）过点B作BE⊥x轴，交AC的延长线于点E.

∵∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°，

∴Rt△BDO∽Rt△BAE，

∴OD∶OB＝AE∶BE，

∴OD∶1＝3∶3，

∴OD＝1，

∴D点坐标为（0，1）或（0，－1）．

（3）存在．M1（0，－3）；M2（－2，5）；M3（4，5）．

2．解：

（1）由题意，设抛物线的函数表达式为y＝－（x－1）2＋k，

把（－1，0）代入，得0＝－（－1－1）2＋k，解得k＝4，

∴抛物线的函数表达式为y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3.

（2）当x＝0时，y＝－（0－1）2＋4＝3，

∴点C的坐标是（0，3），∴OC＝3.

∵点B的坐标是（3，0），∴OB＝3，

∴OC＝OB，则△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OCB＝45°.

过点N作NH⊥y轴，垂足为H.

∵∠NCB＝90°，∴∠NCH＝45°，∴NH＝CH，

∴HO＝OC＋CH＝3＋CH＝3＋NH，

设点N为（a，－a2＋2a＋3），

∴a＋3＝－a2＋2a＋3，

解得a＝0（舍去）或a＝1，

∴点N的坐标是（1，4）．

（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，

∴PQ＝OA＝1，且PQ∥OA.

设P（t，－t2＋2t＋3），则Q（t＋1，－t2＋2t＋3）．

将点Q（t＋1，－t2＋2t＋3）代入y＝x＋，得－t2＋2t＋3＝（t＋1）＋，

整理得2t2－t＝0，解得t1＝0，t2＝，

∴－t2＋2t＋3的值为3或，

∴P，Q的坐标分别是（0，3），（1，3）或（，），（，）．

3．解：

（1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1，0），B（5，0）两点，

∴解得

∴y＝－x2＋4x＋5.

（2）∵点C的纵坐标为8，∴令－x2＋4x＋5＝8，

解得x1＝1，x2＝3，

当x＝1时，m＝1－（－6）＝7；当x＝3时，m＝3－（－6）＝9.

综上所述，将△ADC沿x轴向右平移7个或9个单位长度时，点C落在抛物线上．

（3）由

（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝2，

即点P的横坐标为xP＝2，由

（2）得点E（1，8）．

若以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，

则分两类情况讨论：

①以BE为一边的平行四边形，如图①，②，则＝4，

解得xQ＝6或xQ＝－2，∴Q（6，－7）或Q（－2，－7）；

②以BE为对角线的平行四边形，如图③，

则xQ＝xB＋xE－xP＝5＋1－2＝4，∴Q（4，5）．

综上所述，使得以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形的点Q的坐标为（6，－7）或（－2，－7）或（4，5）．

4．解：

（1）解x2－12x＋32＝0得x1＝8，x2＝4.

∵边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2－12x＋32＝0的两个根，且OA>OC，

∴OA＝8，OC＝4.

（2）∵把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，

∴AD＝AB＝CO，∠ADE＝∠ABC＝∠COE，

又∵∠AED＝∠CEO，

∴△ADE≌△COE（AAS），

∴CE＝AE＝OA－OE＝8－OE.

在Rt△OEC中，由勾股定理得OE2＋OC2＝CE2，

即OE2＋42＝（8－OE）2，

∴OE＝3.

（3）如图所示，作DM⊥x轴于点M，

则△COE∽△CMD，

∴＝＝，

即＝＝，

∴OM＝，DM＝，

∴点D的坐标为（－，）．

（4）存在．

如图①所示，点P的坐标为（，）；

①②

如图②所示，点P的坐标为（4，5）；

如图③所示，点P的坐标为P3（，3－2）；

③④

如图④所示，点P的坐标为P4（－，3＋2）．