方程与方程组应用题.docx

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方程与方程组应用题

方程与方程组应用题

一：

【课前预习】

（一）：

【知识梳理】

1.列方程解应用题常用的相等关系

题型

基本量、基本数量关系

寻找思路方法

工作

（工程）

问题

工作量、工作效率、工作时间

把全部工作量看作1

工作量=工作效率×工作时间

相等关系：

各部分工作量之和=1

常从工作量、工作时间上考虑相等关系

比例问题

相等关系：

各部分量之和=总量。

设其中一分为

，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式

年龄问题

大小两个年龄差不会变

抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。

利息

问题

本息和、本金、利息、利率、期数关系：

利息=本金×利率×期数

相等关系：

本息和=本金+利息

行程问题

追击问题

路程、速度、时间的关系：

路程=速度×时间

1：

同地不同时出发：

前者走的路程=追击者走的路程

2：

同时不同地出发：

前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程

行程问题

追击问题

路程、速度、时间的关系：

路程=速度×时间

1：

同地不同时出发：

前者走的路程=追击者走的路程

2：

同时不同地出发：

前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程

相遇问题

同

上

相等关系：

甲走的路程+乙走的路程=甲乙两地间的路程

航行问题

顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度

逆水（风）速度=静水（风）速度－水流（风）速度

1：

与追击、相遇问题的思路方法类似

2：

抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系。

数字问题

多位数的表示方法：

是一个多位数可以表示为

（其中0＜a、b、c＜10的整数）

1：

抓住数字间或新数、原数间的关系寻找相等关系。

2：

常常设间接未知数。

商品利润

率问题

商品利润=商品售价－商品进价

首先确定售价、进价，再看利润率，其次应理解打折、降价等含义。

2.列方程解应用题的步骤:

（1）审题：

仔细阅读题，弄清题意；

（2）设未知数：

直接设或间接设未知数；

（3）列方程：

把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程；（4）解方程；（5）检验：

所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意；（6）答：

注意带单位．

（二）：

【课前练习】

1.某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对于进货价），则该商品的进货价是

2.甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：

4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为元和元

3.某公司1996年出口创收135万美元，1997年、1998年每年都比上一年增加a％，那么，1998年这个公司出口创汇万美元

4.某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万，则所列方程组为

5.一个批发与零售兼营的文具店规定，凡是一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用（m2－1）元（m为正整数，且m2－1>100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用（m2－1）元.设这个学校初三年级共有x名学生，则①x的取值范围应为②铅笔的零售价每支应为元，批发价每支应为元

（用含x，m的代数式表示）

二：

【经典考题剖析】

1.A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行

4千米，如果甲乙二人分别从A、B两地相向而行，甲比

乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，求甲乙二人

路程

时间

速度

甲

x

32

乙

x+4

32

的骑车速度．

分析：

设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时行程问题即为时间、路程、速度三者之间的关系问题，在分析题意时，先画出示意图（数形结合思想），然后设未知数，再列表，第一列填含未知数的量，第二列填题目中最好找的量，第三列不再在题目中找，而是用前面两个量表示，往往等量关系就在第三列所表示的量中．解完方程时要注意双重检验．

等量关系：

t甲-t乙=40分钟＝

小时，方程：

．

2.某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路。

为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？

工时

工作量

工效

原计划

x

1

实际

x-3

1

分析：

工程量不明确，一般视为1，设原计划完成这项工程用x个月，实际只用了（x-3）个月.等量关系：

实际工效=原计划工效×（1+12%）．

方程：

3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每

件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。

经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

分析：

（1）设每件衬衫应降价

元，则由盈利

可解出

但要

注意“尽快减少库存”决定取舍。

（2）当

取不同的

值时，盈利随

变化，可配方为：

求最大值。

但若联系二次函数的最值求解，可设：

结合图象用顶点坐标公式解，思维能力就更上档次了。

所以在应用问题中要发散思维，自觉联系学过的所有数学知识，灵活解决问题。

答案：

（1）每件衬衫应降价20元；

（2）每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最高。

4.某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的

．若提前购票，则给予不同程度的优惠，在5月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的

，零售票每张16元，共售出零售票数的一半．如果在6月份内，团体票要按每张16元出售，并计划在6月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？

分析：

这样的题文字一大堆，看到头就发胀，同学们不要怕，要有信心，一定要仔细读题，当你读懂题后事实上这类题还是比较简单的，学数学的目的就是解决现实生活中的实际问题．因为总票数不明确，所以看为1，设6月零售票每张定价

元．

团体票数

团体票收入

零售票数

零售票收入

5月

（张）

（元）

（张）

（元）

6月

（张）

（元）

（张）

（元）

等量关系：

5月总收入=6月总收入

方程

.

5.要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m，

（1）求鸡场

的长与宽各为多少？

（2）题中墙的长度a对题目的解

起着怎样的作用？

三：

【课后训练】

1.如图是某公司近三年的资金投放总额与利润统计

意图，根据图中的信息判断：

①2001年的利润率比

2000年的利润率高2％；②2002年的利润率比2001年的利润率高8％；③这三年的利润率14％；④这三年中2002年的利润率最高。

其中正确的结论共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，

自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时，求列车提速前的速度（只列方程）．

3.2003年春天，在党和政府的领导下，我国进行了一场抗击“非典”的战争．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只加浓抗病毒口罩的任务，为使抗病毒口罩早日到达防疫第一线，开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务，该厂原计划每天加工多少万只口罩？

4.一水池有甲、乙两水管，已知单独打开甲管比单独打开乙管灌满水池需多用10小时．现在首先打开乙管10小时，然后再打开甲管，共同再灌6小时，可将水池注满，如果一开始就把两管一同打开，那么需要几小时就能将水池注满？

5.某公司向银行贷款40万元，用来生产某种新产品，已知该贷款的年利率为15％（不计复利，即还贷前每年息不重复计息），每个新产品的成本是2.3元，售价是4元，

应纳税款为销售额的10％。

如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润（利润＝销售额－成本－应纳税款）用来归还贷款，问需几年后能一次还清？

6.某商店1995年实现利税40万元（利税＝销售金额－成本），1996年由于在销售管理上进行了一系列改革，销售金额增加到154万元，成本却下降到90万元，

（1）这个商店利税1996年比1995年增长百分之几？

（2）若这个商店1996年比1995年销售金额增长的百分数和成本下降的百分数相同，

求这个商店销售金额1996年比1995年增长百分之几？

1.分别用公式法和配方法解方程：

分析：

用公式法的关键在于把握两点：

①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。

用配方法的关键在于：

①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。

2.选择适当的方法解下列方程：

（1）

；

（2）

（3）

；（4）

分析：

根据方程的不同特点，应采用不同的解法。

（1）宜用直接开方法；

（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。

3.已知

，求

的值。

分析：

已知等式可以看作是以

为未知数的一元二次方程，并注意

的值应为非负数。

4.解关于

的方程：

分析：

学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当

＝1时，是一元一次方程；当

≠1时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解作进一步讨论。

5.阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．

已知：

m是关于x的方程mx2－2x＋m＝0的一个根，求m的值．

解：

把x=m代人原方程，化简得m3=m，两边同时除以m，得m2=1，所以m=l，

把=l代入原方程检验可知：

m=1符合题意，答：

m的值是1．

三：

【课后训练】

1.如果在－1是方程x2+mx－1=0的一个根，那么m的值为（）

A．－2B．－3C．1D．2

2.方程

的解是（）

3.已知x1，x2是方程x2－x－3=0的两根，那么x12+x22的值是（）

A．1B．5C．7D、

4.关于x的方程

的一次项系数是－3，则k=_______

5.关于x的方程

是一元二次方程，则a=__________.

6.飞机起飞时，要先在跑道上滑行一段路程，这种运动在物理中叫做匀加速直线运动，其公式为S=

at2，若某飞机在起飞前滑过了4000米的距离，其中a=20米／秒，求所用的时间t．

7.已知三角形的两边长分别是方程

的两根，第三边的长是方程

的根，求这个三角形的周长。

8.解下列方程：

；

9.在一个50米长，30米宽的矩形荒地上，要设计一全花坛，并要使花坛所占的面积恰好为荒地面积的一半，试给出你的设计。

10.已知△ABC的两边AB、AC的长是关于

的一元二次方程

的两个实数根，第三边BC的长是5。

（1）

为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）

为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。