高一上学期开学考试数学.docx

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高一上学期开学考试数学

2019-2020年高一上学期开学考试（数学）

一、填空题（本题共14小题，每题3分，共计42分）

1.计算=;

2.若集合

，则集合;

3.若一元二次方程解为,则分解因式；

4.甲、乙两位同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，统计平均数，方差，则成绩较稳定的同学是（填“甲”或“乙”）；

5.一只不透明的袋子中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个球，则两次摸出的球颜色相同的概率是；

6.小明用下面的方法求出方程的解，请你仿照他的方法求出下面方程的解为；

方程

换元法得新方程

解新方程

检验

求原方程的解

令

则

t=2

t=2>0

所以x=4

7.如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，且的面积，则______；

8.已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上（如图所示），则；

9.如图，△ABC的3个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△的位置，且点、仍落在格点上，则线段AB扫过的图形面积是平方单位（结果保留π）；

10.的半径以为圆心，为半径的圆交于两点，则线段等于；

11.如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是；

第9题图第12题图

12.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是；（填写正确的序号）

①a＞0　②当x＞1时，y随x的增大而增大

③c＜0④3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根

13.如图，与均为等边三角形，为的中点，则的值为；

14.已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程

的整数根，则的值为．

二、解答题（本题共6小题，共计58分）

15.（本题9分）某校课外兴趣小组从我市七年级学生中抽取2000人做了如下问卷调查，将统计结果绘制了如下两幅统计图．

问卷

您平时喝饮料吗？

（）（A）不喝．（B）喝．

请选择B选项的同学回答下面问题：

请您减少喝饮料的数量，将节省下来的钱捐给希望工程，您愿意平均每月减少多少瓶？

（）（A）0瓶．（B）1瓶．（C）2瓶．（D）2瓶以上．

根据上述信息解答下列问题：

（1）求条形统计图中n的值．

（2）如果每瓶饮料平均3元钱，“少喝2瓶以上”按少喝3瓶计算．

①求这xx名学生一个月少喝饮料能节省多少钱捐给希望工程？

②按上述统计结果估计，我市七年级6万学生一个月少喝饮料大约能节省多少钱捐给希望工程？

16.（本题9分）

2011年3月10日，云南盈江县发生里氏5．8级地震。

萧山金利浦地震救援队接到上级命令后立即赶赴震区进行救援。

救援队利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度

。

（结果精确到0.1米，参考数据：

）

17.（本题共9分）如图，在△ACB中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 2，点P为线段CA（不包括端点）上的一个动点，以为圆心，1为半径作．

（1）连结，若，试判断与直线AB的位置关系，并说明理由；

（2）当线段PC等于多少时，与直线AB相切？

（3）当与直线AB相交时，写出线段PC的取值范围。

（第（3）问直接给出结果，不需要解题过程）

18.（本题9分）已知全集,集合，

集合

（1）是否存在实数使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

（2）设有限集合，则叫做集合的和，记做.若集合，集合的所有子集分别为求

（注：

）

19.（本题11分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

20.（本题11分）如图1，抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）

（1）求抛物线的解析式

（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图3，抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作直线，交线段于点，连接，使～，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

图1图2图3

答案：

一、填空题

1.3；2.；3.；4.甲；5.；6.3；

7.－4；8.；9.；10.；11.

；12.④

13.:

1；14.10

二、解答题

15.解：

（1）．

所以，条形统计图中．

（2）①．

所以，这2000名学生一个月少喝饮料能节省3420元钱捐给希望工程．

②．

所以，我市七年级6万名学生一个月少喝饮料大约能节省102600元钱捐给希望工程．

16.解：

如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D.

∵探测线与地面的夹角为30°和60°

∴∠CAD=30°，∠CBD=60°

在Rt△BDC中，

∴

在Rt△ADC中，

∴∵

∴∴

答：

生命所在点C的深度大约为2.6米。

17.解：

（1）过点P作PD⊥AB于点D，∵PA =PB，∴AD =BD，在Rt△ACB中，AC = 4，BC = 2，

∴AB = ，∴AD =，

∵tan∠CAB= ，∴PD =>1，

∴与直线AB相离；

（2）；

（3）

18.

（1）-2；

（2）48

19.解答：

解：

（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，BC=2，tan∠CFB=，即tan60=，解得BF=2，即3﹣t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1；

（2）当0≤t＜1时，S=2t+4；

当1≤t＜3时，S=﹣t2+3t+；

当3≤t＜4时，S=﹣4t+20；

当4≤t＜6时，S=t2﹣12t+36；

20解：

（1）设所求抛物线的解析式为：

，依题意，将点B（3，0）代入，得解得：

a＝－1∴所求抛物线的解析式为：

（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，

在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①

设过A、E两点的一次函数解析式为：

y＝kx＋b（k≠0），

∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线，得

∴点E坐标为（2，3）

又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D

∴当y＝0时，，∴x＝－1或x＝3

当x＝0时，y＝－1＋4＝3,

∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）

又∵抛物线的对称轴为：

直线x＝1，

∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②

分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：

解得：

过A、E两点的一次函数解析式为：

y＝x＋1

∴当x＝0时，y＝1

∴点F坐标为（0，1）

∴=2………………………………………③

又∵点F与点I关于x轴对称，

∴点I坐标为（0，－1）

∴………④

又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，

∴只要使DG＋GH＋HI最小即可

由图形的对称性和①、②、③，可知，

DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小

设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：

，

分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入，得：

解得：

过I、E两点的一次函数解析式为：

y＝2x－1

∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；

∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）

∴四边形DFHG的周长最小为：

DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI

由③和④，可知：

DF＋EI＝

∴四边形DFHG的周长最小为。

（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，

要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，

即：

………………………………⑤

设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得

△AMN∽△ABD，

∴

再由

（1）、

（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4

∴

∵，

∴⑤式可写成：

解得或（不合题意，舍去）∴点M的坐标为（，0）

又∵点T在抛物线图像上，

∴当x＝时，y＝∴点T的坐标为（，）.