电磁学第七章答案.docx
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电磁学第七章答案
电磁学第七章答案
【篇一：
大学物理答案（电磁学）许瑞珍】
t>7－1在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。
解：
如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力将相互抵消，单位正电荷所受的力为
f?
4?
?
0（
q22a）2
5q
（1?
4）＝,方向由q指向-4q。
2
2?
?
0a
习题7－1图
求棒的延长线上任一点p的场强；
（2）求通过棒的端点与棒垂直上任一点q的场强。
解：
（1）如图7－2图a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，dq＝?
d?
，设棒的延长线上任一点p与坐标原点0的距离为x，则
de?
?
d?
4?
?
0（x?
?
）2
?
?
d?
4?
?
0（x?
?
）2
dqd?
则整根细棒在p点产生的电场强度的大小为
e?
?
4?
?
0
?
l
d?
?
11
?
（?
）2
（x?
?
）4?
?
0x?
lx
方向沿?
轴正向。
习题7－2图a
?
＝
?
l
4?
?
0x（x?
l）
（2）如图7－2图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点q与坐标原点0的距离为y
de?
?
dx
4?
?
0r2
y
dey?
?
dx
cos?
，2
4?
?
0r
?
dx
dex?
sin?
4?
?
0r2
d?
y
r?
因x?
ytg?
dx?
y，
cos2?
cos?
代入上式，则
dx
习题7－2图b
x
ex?
?
?
dex?
?
?
4
?
?
0y?
0
?
?
?
0
sin?
d?
?
?
11
（1?
cos?
0）＝?
（?
），方向沿x轴负向。
224?
?
0y4?
?
0yy?
l
ey?
?
dey?
?
?
cos?
d?
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04?
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0y
?
?
?
l
sin?
0＝
224?
?
0y4?
?
0yy?
l
7－3一细棒弯成半径为r的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心o处的场强。
解：
如图，在半环上任取dl=rd?
的线元，其上所带的电荷为dq=?
rd?
。
对称分析ey=0。
dex?
?
rd?
sin?
4?
?
0r2
y
?
?
e?
?
dex?
sin?
4?
?
0r?
0
x
?
?
2?
?
0r
?
q2?
?
0r
2
2
习题7－3图
，如图，方向沿x轴正向。
e?
?
1
2?
?
0x
?
?
dx?
?
f?
?
df?
?
12?
12
2?
?
0x2?
?
0
dx?
ax
l
习题7－4图
?
1?
2a?
l
ln,如图，方向沿x轴正向。
2?
?
0a
7－5两个点电荷所带电荷之和为q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？
解：
设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为q－q，若它们间的距离为r，它们间的相互作用力为
f?
相互作用力最大的条件为
q（q?
q）
2
4?
?
0r
dfq?
2q
?
?
02dq4?
?
0r
由上式可得：
q=2q，q=q/2
解：
将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为
dq?
?
2?
rrd?
?
?
2?
r2sin?
d?
dq在o点产生的电场据（7－10）式为
de?
ydq
，y?
rcos?
4?
?
0r3
?
00
习题7－6图
e?
?
de?
?
?
2?
r3sin?
cos?
d?
3
4?
?
0r
?
2
20
?
?
2?
0
?
?
00
?
sin?
sin?
d（sin?
）?
2?
02
?
?
。
如图，方向沿y轴负向。
4?
0
7－7设匀强电场的电场强度e与半径为r的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。
解：
如图，设作一圆平面s1盖住半球面s2，成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0，即
e
?
?
?
?
?
?
e?
ds?
e?
ds?
e?
?
?
ds?
0
s
s1
s2
?
?
?
?
?
s1?
?
e?
ds?
?
?
e?
ds?
?
e?
r2
s1
s2
习题7－7图
7－8求半径为r，带电量为q的空心球面的电场强度分布。
解：
由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强e的大小相等，方向沿径向。
在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面s1与s2。
对s1与s2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为
?
?
e?
ds?
e4?
r2?
0
s1
r
得e内?
0（rr）
习题7－18图
?
?
e?
ds?
e4?
r2?
s2
q
?
0
e外?
q4?
?
0r
2
?
（rr）
r
解:
带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分街面上电场强度为零，取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。
对底面积为a，高度分别为xd/2和xd/2的高斯曲面应用高斯定理，有
?
?
e?
ds?
ea?
s1
?
ax
?
0
得e1?
?
?
?
dxi（x?
）?
02
?
a?
0
d
习题7－9图x
?
?
e?
ds?
ea?
s2
?
?
?
de2＝di（x?
）
2?
02
7－10一半径为r的无限长带电圆柱，其体电荷密度为?
?
求场强分布。
解：
据高斯定理有
?
?
1
e?
ds?
e2?
rl?
s
?
?
0v
k
?
dv
r
r
r?
r时：
e2?
rl?
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0
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r?
2?
r?
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r
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2dr?
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kr2?
2?
lkr3e2?
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e?
en
?
033?
0
习题7－10图
r?
r时：
e2?
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k
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0
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r?
2?
r?
ldr?
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r
2?
lk
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0
?
r
r?
2dr?
?
kr3?
2?
lkr3
e2?
rl?
?
e?
en
?
033?
0r
7－11带电为q、半径为r1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内、外半径为r2、
r3。
（1）球壳的电荷及电势分布；
（2）把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布；（3）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。
解：
（1）静电平衡，球壳内表面带－q，外表面带q电荷。
据（7－23）式的结论得：
v1?
q4?
?
0
（
111?
?
）（r?
r1）,
r1r2r3
v2?
111（?
?
）（r1?
r?
r2）;4?
?
0rr2r3
q4?
?
0r3
（r2?
r?
r3）,
q
q
v3?
v4?
q4?
?
0r
（r?
r3）.
q4?
?
0
11
?
）（r?
r1）,r1r2
习题7－11图
（2）u1?
（
v2?
11
（?
）（r1?
r?
r2）;v3?
0（r2?
r?
r3）,v4?
0（r?
?
r3）.4?
?
0rr2
q
（3）再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q/，球壳内表面带－q/，外表面带q/－q。
v1?
14?
?
0
（
q?
q?
q?
?
q?
?
）（r?
r1）,r1r2r3
r1r2q
r2r3?
r1r3?
r1r2
得：
q?
?
v3?
（r1?
r2）qq?
?
q
?
（r2?
r?
r3）
4?
?
0r34?
?
0（r2r3?
r1r3?
r1r2）
7－12一均匀、半径为r的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r（2rr），试证明球形空腔中任意点的电场强度为匀强电场，其方向沿带电球体球心o指向球形空腔球心o/。
证明：
利用补缺法，此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为r的大球和一个半径为r与大球电荷密度异号完整的小球组成，两球在腔内任意点p产生的电场分别据〔例7－7〕结果为
e1?
?
r1?
r2
e2?
?
3?
03?
0
e=e1+e2=
?
r1?
r2
?
3?
03?
0?
oo3?
0
?
习题7－12图
上式是恒矢量，得证。
【篇二：
第七章第一节】
一、电流
电流是由大量电荷作定向运动形成的。
电荷的携带者可以是自由电子、质子、正负离子，这些带电粒子亦称为载流子。
载流子定向运动形成的电流叫做传导电流。
在金属导体内，自由电子移动的方向是由低电势到高电势。
但历史上人们把正电荷从高电势向低电势移动的方向规定为电流的方向，因而电流方向与金属导体内自由电子的移动方向恰好相反。
如图所示，在截面积为s的一段导体中，有正电荷从左向右运动。
若在时间间隔dt内，通过截面s的电荷为dq，则在导体中的电流i等于通过截面s的电荷随时间的变化率。
即
i?
dq
dt（9-1）
如果导体中的电流不随时间而变化，这种电流叫做恒定电流。
电流i的单位名称为安培，其符号为a，1a?
1c?
s，常用的电流单位还有微安和毫安。
1?
a?
10?
3ma?
10?
6a
?
1
应当指出。
电流是标量而不是矢量。
虽然人们在实际应用中常说“电流的方向”这只是指一群“正电荷的流向”而已。
人物简介：
安培
安培（a.m.ampere，1775~1836）法国物理学家，出生贫苦，靠自学成才。
1814年任法国科学院院士，1827年被选为伦敦皇家学会会员。
在电磁学领域获得杰出成就。
二、电流密度
当电流在大块导体中流动时，导体内各点的电流分布将不再均匀分布，由图可以看到，在半球形电极附近，电流的分布较为集中。
为了细致地描述导体内各点电流分布的情况，引人电流密
?
度矢量j，规定电流密度的大小等于单位时间内通过该点附近垂直于正电荷运动方向的单位面积
j?
?
i?
i
?
?
s?
?
scos?
（9-2）
?
?
?
i?
?
s?
j（9-3a）
对通过导体任意有限截面s的电流为
i?
?
s
?
?
j?
ds
（9-3b）
从导电机制看，金属中存在着大量的自由电子和正离子。
正离子构成金属的晶格，而自由电子则在晶格间作无规则热运动，并不断地与晶格相碰撞。
在没有外电场的情况下，电子无规则的热运动不会在导体中形成宏观电流。
当导体两端存在电势差时，在导体的内部就有电场存在，在?
e电场力的作用下，自由电子沿着与电场强度相反的方向相对于晶格作定向运动。
自由电子在
电场力作用下产生的定向运动的平均速度称作电子的漂移速度，用符号移在导体中形成宏观电流。
?
vd
表示。
电子的定向漂
?
vd
?
vd
，在导体内取一面积
nvd?
t?
s
子电荷为?
e，由电流和电流密度的定义可得
?
i?
envd?
s
（9-4）
?
?
j?
envd（9-5）
上述两式表明，金属导体中的电流和电流密度均与自曲电子数密度和自由电子的漂移速率成正比。
式（9-4）和式（9-5）对一般导体或半导体也可适用，只不过把电子电荷换成载流子的电荷，把自由电子的漂移速率换成载流子的平均定向运动速率。
例题
例
（1）设每一个铜原子贡献一个自由电子，问铜导线中自由电子的数密度为多少?
（2）
在民用供电线路中，半径为0.81mm的铜导线，容许通过的电流最大值为15a，试问在这种情况下，电子漂移速率是多少?
（3）假设铜导线中电流均匀分布，此时电流密度的大小为多少?
3?
3?
3?
1
解
（1）铜的质量密度?
?
8.95?
10kg?
m，铜的摩尔质量m?
63.5?
10kg?
mol，
铜导体内自由电子的数密度为
n?
na?
?
8.48?
1028m?
3
m
（2）由式（9-4）可得自由电子漂移速率为
vd?
i
?
5.36?
10?
4m?
s?
1?
2m?
h?
1
nse
自由电子的漂移速率比蜗牛的爬行速率还要略慢一些。
（3）电流密度则为
j?
三、电流的连续性方程恒定电流条件
i
?
7.28?
106a?
m?
2s
考虑如图所示的闭合曲面，并规定曲面上任意点的法线方向总是向外。
这样在单位时间内，从闭合曲面内向外流出的电荷，即通过闭合曲面向外的总电流为
?
?
dq
?
i?
j?
ds
sdt
然而，根据电荷守恒定律，在单位时间内通过闭合曲面向外流出的电荷应等于此闭合曲面内单位时间减少的电荷，则有
dqdq
?
?
idtdt
两式比较得
?
?
?
dqi
?
j?
dssdt（9-6）
上式表明通过闭合曲面向外流出的电流等于此时闭合曲面内电荷的减少。
这就是通常所说的电流的连续性，式（9-6）叫做电流的连续性方程。
我们在导体中取一任意闭合曲面s，如果此闭合曲面内的电荷不随时间增减，则电荷分布不随时间变化，空间的电场是稳恒电场。
由式（9-6）可得
【篇三：
电磁学第四次作业解答】
>第七章静电场中的导体和电介质
两球相距很远．若用细导线将两球相连接．求
（1）每个球所带电荷；
（2）每球的
1电势．（?
9?
109n?
m2/c2）4?
?
0
解：
两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响．球上电荷均匀分布．设两球半
径分别为r1和r2，导线连接后的电荷分别为q1和q2，而q1+q2=2q，则两球电
q1q2势分别是u1?
，u2?
4?
?
0r14?
?
0r2
两球相连后电势相等，u1?
u2，则有
q1q2q1r11?
?
r1r2q2r22
2q?
9?
6.67?
10c由此得到q1?
3
4q?
13.3?
10?
9cq2?
3
两球电势u1?
u2?
q1?
6.0?
103v4?
?
0r1
7-2如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带
有电荷q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求：
（1）球壳内外表面上的电荷．
（2）球心o点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．
（3）球心o点处的总电势．
解：
（1）由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q+q．
（2）不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离o点的
距离都是a，所以由这些电荷在o点产生的电势为
dq?
q?
?
u?
q?
4?
?
0a4?
?
0a
（3）球心o点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在o点
产生的电势的代数和
uo?
uq?
u?
q?
uq?
q
?
qqq?
qq111q?
?
（?
?
）?
?
4?
?
0r4?
?
0a4?
?
0b4?
?
0rab4?
?
0b
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