定积分练习习题及标准标准答案doc.docx

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定积分练习习题及标准标准答案doc

第五章

定积分

（A层次）

1．2sinxcos3xdx；

2．x2

a2

x2dx；3．

3

dx

；

a

0

0

1

x

2

1

x

2

1

4．

1

xdx

；

4

5．

54x

1

dx

；

1

dx

；

x1

6．3

1

x1

4

e2

7．

1

dx

；

0

dx

；9

．

1cos2xdx；

8．

x

2

2x2

x1lnx

2

0

10．

x4sinxdx；

11

．24cos4xdx；

12

．

3

sin

2

x

dx；

5

x

2

5x4

2x2

1

13．3

x

dx；

14

．

4lnx

dx；

15

．

1

xarctgxdx；

2

1

0

4sin

x

x

16．2e2xcosxdx；

17

xsinx2dx；18

e

．

0

．

1

sinlnxdx；

0

19．2

cosx

cos3

xdx；20

．4

sinx

dx；21．

xsinx

dx；

4

0

1

sinx

0

1cos2

x

1

1

x

1

x2

2

xln

dx；

23

．

24

．

2

lnsinxdx

；

22．0

1

x

1

x

4dx；

0

25．

dx

dx

0。

1

x

2

1

x

0

（B层次）

y

t

x

所决定的隐函数

对

的导数dy。

1．求由

cos

0

y

x

edt

0

0

tdt

dx

2．当x为何值时，函数I

x

xtet2

dt有极值？

0

3．d

cosx

2

dt。

cost

dx

sinx

4．设fx

x

1,

x

1

2

，求

fxdx。

1

2

x

1

0

2

x

x

arctgt

2

5．lim

0

dt

。

x2

x

1

6．设fx

1sinx,

0

x

，求x

x

2

ftdt。

0,

其它

0

1

当x

0时

2

7．设f

x

1

x

，求

fx1dx。

1

当x

0时

0

1

ex

8．lim

1

n

2n

2

n

2

n

。

n

k

n

en

9．求lim

。

2k

n

k1

nen

n

10．设f

x

是连续函数，且f

x

x

1

ftdt，求fx。

2

0

11．若

2ln2

dt

，求x。

et

x

1

6

1

1

12．证明：

2e2

12ex2

dx

2。

2

x

a

x

13．已知lim

a

4x2e2xdx，求常数a。

x

x

a

14．设fx

1x

2

x0，求

3

fx2dx。

x

1

e,

x

0

15．设f

x

有一个原函数为

1

sin2

x，求

2xf2xdx。

0

16．设f

x

ax

b

lnx，在

1,3上f

x

0，求出常数a，b使

3

fxdx最小。

1

17．已知f

x

ex2

，求

1

f

xf

xdx。

0

18．设fx

x2

2

1

xfxdx2fxdx，求fx。

0

0

19．

fcosxcosx

fcosxsin2

xdx。

0

20．设x

0时，F

x

x

x2

t2

ftdt的导数与x2是等价无穷小，试求f0。

0

（C层次）

1．设fx是任意的二次多项式，gx是某个二次多项式，已知

fxdx

1

f04f1

f1，求

gxdx。

1

b

0

6

2

a

2．设函数f

x

在闭区间a,b

上具有连续的二阶导数，则在

a,b内存在

，使得

fxdx

bafab

1baf

。

b

3

a

2

24

3．

fx在

a,b

上二次可微，且fx

0

，fx

0

。

试证

bafa

fxdxbafb

fa。

b

a

2

4．设函数f

x

在a,b

上连续，f

x

在a,b

上存在且可积，f

a

f

b

0

，试证

1

b

fx

fxdx（axb）。

2

a

5．设

f

x

在

0,1

上连续，

1

0

，

1

，求证存在一点x，

，

0

f

xdx

xfxdx

1

0

x

1

0

使fx

4。

6．设f

x可微，f0

0

，f

0

1

，F

x

x

x2

t

2dt，求lim

F

x

。

tf

0

x0

x4

7．设f

x

在a,b

上连续可微，若f

a

f

b

0，则

4

b

f

x

dx

max

f

x

。

b

a

2

a

a

x

b

8．设fx

在A,B

上连续，A

a

b

B，求证lim

bf

x

k

f

x

dx

f

b

f

a。

a

k

k0

9．设f

x

为奇函数，在

内连续且单调增加，

F

x

x

x

t

ftdt

，证明：

0

3

（1）Fx为奇函数；

（2）F

x在0,

上单调减少。

10．设f

x可微且积分

1

f

x

xf

xt

dt的结果与x无关，试求f

x

。

0

11．若f

x在0,

连续，f

0

2

，f

1，证明：

f

x

f

x

sinxdx

3。

0

12．求曲线y

x

1

t

2dt在点（0,0）处的切线方程。

0

t

13．设f

x为连续函数，对任意实数a有

a

xdx

0，求证f

2

x

f

x

sinxf

。

a

x

y

2

2y。

14．设方程2x

tgx

y

0

sec2tdt，求d

dx

15．设f

x

在a,b

上连续，求证：

lim

1

x

ft

h

ftdt

f

x

fa（a

x

b）

h

a

h

0

16．当x

0时，f

x连续，且满足

x21

x

tdt

x，求f

2

。

0

f

17．设f

x

在

0,1连续且递减，证明

1

f

xdx

f

xdx，其中

0,1

。

0

0

18．设f

x

连续，

x

，f0

0

，fa

1，试证：

Fx

f

t

f

a

tdt

0

2

F2a2Fa

1。

19．设gx

是a,b上的连续函数，f

x

x