结构力学第五章力法课程复习.docx

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结构力学第五章力法课程复习

第五章 力法

一、基本内容及学习要求

本章内容包括：

力法的基本概念，超静定次数的确定和力法的典型方程，力法计算超静定刚架，超静定结构的位移计算和最后内力图校核，对称性的利用以及单跨超静定梁的杆端内力等。

重点是力法的基本原理。

作为解算超静定结构的基本方法之一，力法十分重要。

通过本章的学习应达到：

（1）掌握力法的基本原理。

对基本结构的作用和选取、力法典型方程的建立及其物理意义、方程系数和自由项的含义有清楚的理解。

（2）熟练掌握荷载作用下用力法计算超静定刚架的方法和步骤。

（3）掌握利用对称性简化计算的方法。

（4）掌握超静定结构的位移计算及最后内力图的校核方法。

二、学习指导

（一）超静定结构的两个特征

教材§5—1指出：

超静定结构的静力特征是具有多余约束力（简称多余力），即仅凭静力平衡条件无法求出结构的全部反力和内力；其几何组成特征是几何不变且具有多余约束。

这两个特征存在密切的内在联系。

由于约束和约束力的对应关系，多余约束和多余力的数量相等，它的存在使超静定结构独立未知量的数目大于独立平衡方程的数目。

图5．1所示结构为具有一个多余约束的超静定刚架，总计4个支座反力仅能列出3个独立平衡方程，说明存在一个未知的多余力，只用静力平衡方程不可能求出全部支座反力，也无法确定各截面内力。

超静定结构的静力特征由其几何组成决定。

为解算超静定结构必须先确定和求出多余力，这就要求除静力平衡方程外还需补充求解多余力的方程。

补充方程的数目等于多余力的个数，即具有n个多余力的n次超静定结构须补充n个方程方可求解。

（二）荷载作用下的力法典型方程

教材第三版§5—2（第四版§5—1）以一端固定一端铰支的单跨超静定梁为例，阐述了力法的基本原理和计算方法。

即以多余力为基本未知量，把求解荷载作用下的超静定结构（称为原结构）转化为对静定基本结构的计算。

转化的条件是基本结构在原荷载和所有多余力的共同作用下，沿各多余力方向的位移应与原结构的相应位移一致。

据此建立力法方程并求出多余力，此后的计算即与静定结构无异。

力法解算超静定结构的关键，是根据基本结构在去掉多余约束处的位移条件，建立力法方程以求解多余力。

反映位移条件的力法方程本质是变形协调方程（几何方程），方程本身及其系数和自由项都有明确的物理意义。

下面以简例再加说明。

图5．2a所示一次超静定梁取图5．2b所示基本体系时，其力法方程为

δ11X1+△1P=0

综上所述，对力法方程应着重理解两点：

（1）无论哪类超静定结构，不管如何选取基本体系，只要超静定次数相等，力法方程一般都有相同的形式。

n次超静定结构的力法方程就是力法典型方程，其系数δü、δik和自由项△iP的含义详见教材。

方程右端项表示原结构沿多余力方向的位移，该位移在荷载作用下通常等于零。

（2）同一原结构选取不同基本结构列出的力法方程形式虽然相同，但所代表的位移条件及系数、自由项的物理意义各不一样。

用力法计算超静定结构时，必须结合基本结构的选取，对方程所表示的位移条件及系数、自由项的物理意义有全面理解。

*（三）支座位移影响下的力法方程

讨论支座位移影响下超静定结构的计算，除可用于工程外，还能加深对位移条件的理解。

图5．4a所示单跨超静定梁，已知其支座B发生竖向位移△B，取图5．4b所示基本体系时力法方程为

δ11X1+△1△=△1

比较上述两式，除说明支座位移影响下不同基本结构的力法方程形式发生变化外，再次说明力法方程反映的位移条件及方程中系数、自由项的含义各不相同。

顺便指出，计算时一般将出现位移的支座作为多余约束去掉，可使自由项为零，有利简化计算，但方程右端项不会同时为零。

（四）力法基本结构的合理选择

力法基本结构必须是几何不变且无多余约束的静定结构。

同一原结构选取的多种基本结构虽计算结果（最后内力）必然相同，但求解过程的繁简却差别很大。

为使计算简化须注意以下问题。

（1）选取的基本结构必须几何不变，不能以瞬变体系作为基本结构。

如图5．5a所示三次超静定刚架应去掉三个多余约束，选图5．5b、c、d中的基本结构都可以，但却不能选图5．5e所示的瞬变体系。

又如铰接排架（图5．7a）取图5．7b中的基本结构，各竖柱都是基本部分，绘出的弯矩图之间重叠部分较少，因而计算简便。

若取图5．7c中的基本结构（将两竖柱底端改为铰接），只有竖柱Cc是基本部分，则图乘的计算量必然增大。

（4）对称结构除选取对称的基本结构外，还可采用教材第三版§5—6（第四版§5—4）所述的办法（荷载分组及半刚架法等）简化计算，其中以半刚架法应用最多。

半刚架法一般用在对称超静定结构，特别是刚架计算上。

根据对称结构在正（反）对称荷载作用下的受力和变形特性，以半边结构的计算简图代替原结构进行计算，也称为半结构法。

如图5．8a所示承受反对称竖向荷载作用的四跨连续梁，由于支座A的水平反力为零，可视为关于过C点竖轴的对称结构。

根据对称轴所在截面结构竖向位移等于零而角位移不为零，相应剪力不为零而弯矩等于零的特点（这和前面讲过“约束使位移为零，同时有相应约束力产生；无约束则出现位移，相应约束力为零”的概念一致），可取图5．8b所示半结构计算。

作用于对称结构的一般荷载在分解为正对称和反对称两组后，可分别取相应半结构计算，但这样做是否简便要视具体情况而定，因为分开算出的结果还要叠加，有时反不如直接解算来得简单。

（五）用力法解题中需注意的问题

力法计算超静定刚架的步骤在教材第三版§5—5（第四版§5—3）中已作了详细介绍。

力法概念明确直观，但计算繁琐易错，须对每个步骤及时校核，以免小误酿成大错。

现对梁和刚架的计算提出几点供参考。

（1）多方比较，选取合理的基本结构以简化计算，切记磨刀不误砍柴工。

（2）正确绘制单位弯矩图和荷载弯矩图，要注意校核是否满足静力平衡条件。

（3）计算系数及自由项应注意图乘易发生的错误（如漏项、符号出错、竖标未在直线图形中取得及未注意各杆E，差别等）。

荷载作用下内力只与杆件E，的相对值有关，故可以E，的比值计算。

（4）两个以上多余力的力法方程组联立求解容易出错，应将求出的多余力回代检查是否正确。

（5）作最后内力图须注意多余力的实际方向。

多余力为正（负），表明其实际方向与基本体系假设的方向相同（反），作图最好按多余力实际方向绘制。

*（六）超静定结构的位移计算

超静定结构位移计算同样可采用单位荷载法。

由于可以把超静定结构的多余力和原荷载均视为作用于基本结构上的外力，并将该超静定结构的最后内力图（看作由多余力和原荷载在基本结构上引起）作为计算位移的实际状态内力图，从而把求超静定结构的位移转化为计算静定结构位移，因此虚拟状态的单位荷载可加在基本结构上，使问题得以简化。

这一方法具体应用时要注意两点。

（1）同一超静定结构解算可选取不同的基本结构，求位移时单位荷载可加在任一基本结构上。

为使计算简便，应选取虚拟内力图较简单的基本结构。

如图5．9a所示两跨连续梁（EI=常数），已用力法绘制出最后M图如图5．9b所示，求截面D的竖向位移△DV时取图5．9c、d所示虚拟状态均可。

其中图c与图b图乘，得

结果相同但前者简单，故以图c作虚拟状态更合理。

显然，这是舍近求远的不合理做法。

（2）超静定结构不论用力法还是其他方法解算，计算位移时都可取其任一力法基本结构作虚拟状态，用单位荷载法求解。

如图5．10a为刚架在水平均布荷载作用下的M图，欲求截面E的水平位移△EH，可取图5．10b所示静定的虚拟状态。

忽略轴向变形时E、F两结点水平位移相同，取图5．10c所示虚拟状态亦可求得F点的水平位移

*（七）最后内力图校核

最后内力图都需要进行校核。

梁和刚架的内力图宜按M、FQ和FN的顺序进行，其中M图应分别以静力平衡条件和位移条件校核，FQ、FN图一般只校核静力平衡条件。

用位移条件对最后M图校核，不必拘泥于校核所取基本结构沿某多余力方向的位移，也可检查其他任一已知位移条件是否得到满足。

如左柱承受水平均布荷载的单跨刚架，将横梁中点截面切开作基本结构求得最后M图如图5．11a所示。

位移条件校核时可取图5．11b所示静定虚拟状态，计算B支座的竖向位移