《电子工程物理基础》课后习题解答教程doc.docx

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《电子工程物理基础》习题参考答案

第一章

1-1一维运动的粒子处在下面状态

Axex（x0,0）

（x）

0（x0）

①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大?

解：

（1）由归一化条件，知

2

2

2x

A

0xe

dx1

得到归一化常数A2

所以归一化波函数为

（2）粒子坐标的概率分布函数

（3）令

最大。

dw（x）

0得到x0,x

1，根据题意x=0处，w（x）=0，所以x

1处粒子的概率

dx

1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n。

①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少?

②n取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?

③当n→∞时，这个概率的极限是多少?

这个结果说明了什么问题?

解：

（1）假设一维无限深势阱的势函数为

U（x），0x

a，那么距势阱的左壁

1/4宽度内

发现粒子概率为

（2）n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大Pmax（x）

1

+

1

。

4

6

（3）当n→∞时，P（x）

1。

这时概率分布均匀，接近于宏观情况。

4

1-3一个势能为V（x）

1

m

2x2的线性谐振子处在下面状态，

2

求①归一化常数A；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值

U

2

2

1m

x

2

解：

类似题1-1的方法

（1）归一化常数

由

*dx1

得到

A1/4

（2）振子的概率密度

w（x）

2

2x2

（x）

e

由dw（x）0得到x=0时振子出现概率最大。

dx

（3）势能平均值

1-4设质量为m的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。

解:

注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。

半谐振子与对称谐振子在x>0区域满足

同样的波动方程，但根据题意，x<0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而

破坏了偶宇称的状态。

这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解（仅归一化常数不同）

1-5电子在原子大小的范围（～10-10m）内运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。

解：

电子总能量

作近似代换，设

p2es2

E

2mr

r~r,p~p,由不确定关系得，rp~h，于是

4

所以电子的最小能量

Emin

mes

，此式与薛定谔方程得到的氢原子基态能量表达式相同。

2h2

1

r

1-6氢原子处在基态

（r,

）

e

a0

，求：

3

a0

2

①r的平均值；②势能

es

的平均值；③最可几半径。

r

解：

（1）r的平均值

r

2

2

3

r

d

a0

0

0

0

2

（2）势能的平均值

（3）最可几半径

粒子在球壳r-r+dr范围中出现的概率如下：

由

dw（x）

得到r=a处电子出现的概率最大。

0

dx

1-7

设一体系未受微扰作用时，只有两个能级

?

作用，微扰矩阵元

E01及E02，受到微扰H

H12

H21a,H11

H22b。

a，b都是实数，用微扰公式求能级的二级修正值。

解：

根据非简并微扰公式，有

1-8氢分子的振动频率是

1.32×1014Hz，求在5000K

时，下列两种情况下振动态上粒子占

据数之比。

①n=0，n=1；②n=1，n=2。

氢分子的振动看作为谐振子，因此振子能量为En（n

1）h

2

振动态上被粒子占据的概率服从

M-B分布，则

（1）n=0，n=1

时，

（2）n=1，n=2时，

1-9求在室温下（k0T=0.025ev）电子处在费米能级以上

0.1ev和费米能级以下

0.1ev的概率各

是多少?

费米能级以上

f0.1

1

1

1.8%

EiEf

=4

ek0T

1

e

1

费米能级以下

f-0.1

1

1

98.2%

EiEf

=4

ek0T

1

e

1

第二章

2-1.试说明格波和弹性波有何不同?

提示：

从晶格格点分立取值和晶格周期性特点出发分析与连续介质弹性波的不同。

2-2.证明：

在长波范围内，一维单原子晶格和双原子晶格的声学波传播速度均与一维连续

介质弹性波传播速度相同，即：

式中，E为弹性模量，ρ为介质密度。

提示：

利用教材第二章中一维单原子晶格和双原子晶格的声学波的色散关系，得到长波近似下的表达式（2-35）

和（2-46），并注意到v。

q

2-3.设有一维原子链（如下图所示），第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β，

第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β′（β′＜β）。

设两种原子的质量相等，

最近邻间距为a，试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=π/2a时的振动频率。

解：

根据题意，原子运动方程为

设上两式的行波解为

将式

（2）代入式

（1），并整理得

方程（3）中的A、B有非零解，则方程组的系数行列式为零，得到

所以q

0时，

2

2（

）,

2

0

m

2-4.一维双原子晶格振动中，证明在布里渊区边界q=±2a处，声频支中所有轻原子m静

止，光频支所有重原子M静止。

提示：

利用教材中第二章的式（2-46）和式（2-49）进行分析。

2-5.什么叫声子?

它和光子有何异、同之处?

略

2-6.一维双原子点阵，已知一种原子的质量

m=5×1.67×10-27kg，另一种原子的质量

M=4m，力常数β=15N·m-1，

求：

（a）

光学波的最大频率和最小频率

0

0

max、

min

（b）

声学波的最大频率

A

max

（c）

相应的声子能量是多少

eV?

（d）

在300K可以激发多少个频率

0

0

A

max、

min、

max的声子?

（e）

如果用电磁波来激发长光学波振动，试问电磁波的波长要多少

?

mM

解：

0.8m

mM

（a）

（b）

0

max

A

max

2

6.710

13

rad/s，

0

min

23.01013rad/s，

26.01013rad/s

m

（c）E1

0

0.044eV，E2

0

0.040eV，E3

A

0.020eV

max

main

max

（d）nmax0

e

o

1

0.22

max

/k0T

nmin0

e

o

1

0.28,

minx

/k0T

（e）

2

oc

2.8105m

max

2-7.设晶体中每个振子的零点振动能量12hυ，试用德拜模型求晶体的零点振动能。

解：

晶体的零点振动能E0是各振动模式零点能之和。

2-8.设长度为L的一维简单晶格，原子质量为m，间距为a，原子间的互作用势可表示成

U（a）Acos（）。

试由简谐近似求

a

（1）色散关系；

（2）模式密度（）；

（3）晶格热容（列出积分表达式即可）

解：

（1）原子间的弹性恢复力系数为

将上式代入本教材一维简单晶格的色散关系式（2-34）中，得到

（2）对于一维简单晶格，有

v

v

v

（q）dq2

L

Na

是考虑

q对称区域引入的。

在波矢q

q

dq中的振动模式数为

dq

dq，其中2

2

所以，（）d

2（q）

dq

d

a

cos（qa）

a

0

[1sin（qa）2]1/2

a（

dq

m

2

2

2

2

022）1/2代入上式，有

（3）利用教材第二章中的式（2-81），得

2-9.有人说，既然晶格独立振动频率υ的数目是确定的（等于晶体的自由度数）。

而hυ代表一个声子。

因此，对

于一给定的晶体，它必拥有一定数目的声子。

这种说法是否正确?

提示：

不正确，因为平均声子数与与温度有关。

2-10.应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。

解：

（1）一维情况下

v

v

v

中的振动模式数为2

L

是考虑

q对称区域引入的。

在波矢q

q

dq

dq，其中2

2

由于德拜模型中设

vp，所以相应的

d中振动模式数

（）d

Ld

q

vp

频谱密度

（）

L

vp

德拜温度

D

hD

k0

其中D

满足

D

（）d

L

N，所以

N

vp

0

vp

D

D

L

利用教材第二章中的式（

2-81）

h/kT

L

D

h

2

e

0

CV

vp

0

k0（

）

h/k0T

2d

h

k0T

（e

1）

ex

，其中x

T

D/T

2

2dx

T

k0T

Nk0

0

x

x

D

（e

1）

（2）二维情况下

v

v

v

S

22qdq

在波矢q

q

dq中的振动模式数为

（2）

与一维求解思路相同，但必须注意二

0000维时需计及两种弹性波（一个纵波和一个横波）

，则

D

h

D，其中D2vp（

N

）1/2

k0

S

2-11.1：

①T>>θD②T<<θD③介于①、②之间的温度。

提示：

根据第二章中描述图2-40的曲线的形成进行分析。

第三章/

1.按照经典的观点，在室温下，金属中每个电子对比热的贡献为3k0/2，按照量子论的观点，如取EF5eV，

则为k0/40，只为经00典值的1/60。

试解释何以两者相差这么大。

提示：

两种情况下电子服从的统计分布不同，量子论观点认为只有能量高于费米能的那些电子对比热才有贡献。

2.限制在边长为L的正方形中的N个自由电子。

电子能量

（a）求能量E到E+dE之间的状态数；

（b）求此二维系统在绝对零度的费米能量。

解：

本题与2-10题的求解思路类似。

（a）二维系统中，波矢

v

v

v

k

k

dk中的状态数对应2kdk圆环中包含的状态点，所以

g（k）2

S2

2

kdk

Skdk，式中系数

2的引入是因为考虑每个状态可容纳自旋相反的两个电子。

4

h2

2

2

因为E（k）

k

，所以由g（k）得到E到E+dE之间的状态数g（E）dE

mLdE

2m

h2

（b）T=0K时，系统总电子数可以表示如下

0

Nh2

nh

2

N

EF

mL2

m

，其中，电子浓度

n

L2

3.设有一金属样品，体积为

105m3，其电子可看作自由电子，试计算低于

5ev的总的状态数。

解：

低于5ev的总的状态数为

4.在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成

若一个摩尔的钾有

N=6×1023个电子，试求钾的费米温度

TF和拜温度

D。

解：

低温下金属的热容量由电子热容和晶格热容构成，且电子热容正比于

T，晶格热容正比于T3。

所以有

5.

一维周期场中电子波函数

kx应当满足布洛赫定理，若晶格常数是

a，电子的波函数为

（a）

k

x

sin

x

a

3

（b）

x

icos

k

x

a

（c）kx

f

x

la

（f

是某个确定的函数）

i

试求电子在这些状态的波矢

解:

（a）

k

x

eikxuk（x）

所以uk（x）

eikx

kx

考虑到

uk（x）ukxa

则有

eikx

sin

x

eik（x

a）sin

（x

a）

a

2n

1

a

所以，eika

1,

得k=

n

0,

1,2L

，仅考虑第一布里渊区

k

a

，k

a

a

a

（b）

与（a）同样方法，得

2n

1

n

0,

1,

2L

，仅考虑第一布里渊区

k

内，k

内k

k

a

a

a

a

a

（c）

与（a）同样方法，得

k

2n

n

0,

1,

2L

，仅考虑第一布里渊区

k

内，k

0

a

a

a

6.证明，当k0T

EF0时，电子数目每增加一个，则费米能变化

其中g（EF0）为费米能级的能态密度。

解：

由本教材第三章的式（

3-21）知

电子每增加一个，费米能级的变化为

注意到，

23

N

2/3

（1

1

2/3

N

2/3

（1

2

（N+1）

）

），并由本教材第三章的式（3-14）可得到

N

3N

0

4

2m

32

0

12

0

1

g（EF）

V0（

2）

（EF

）

表达式，容易证得

EF

0

h

g（EF）

7.试证明布洛赫函数不是动量的本征函数

提示：

只要证明p?

p即可，其中p?

为动量算符，为布洛赫函数

8.电子在周期场中的势能

且a=4b,ω是常数。

试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。

解：

V（x）是以a为周期的周期函数，所以

9.用近自由电子模型处理上题。

求此晶体的第一个以及第二个禁带宽度。

解：

势能V（x）在（-2b，2b）区间是个偶函数，展开成傅立叶级数为

VxV0

m

Vmcosx，

2b

其中Vm

2

2b

V（x）cosmxdx1

b

V（x）cosmxdx

2b

0

2bb

0

2b

第一个禁带宽度

10.

在一维周期场中运动的电子，每一个状态

k都存在一个与之简并的状态

-k，为什么只在

n

附近才用简并微

a

扰，而其它k值却不必用简并微扰处理呢

?

提示：

由书中第3章式（3-81）～（3-83）知，两个k之间必须满足kk

2

n（n为整数）才会对微扰有贡

a

献。

11.

能带宽窄由什么因素决定?

它与晶体所包含的原胞总数

N有无关系?

提示：

波函数之间的互作用越强，能带展宽越厉害，与

N无关。

12.

布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，是吗?

提示：

不一定。

对于一维情况，布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，但二维以上则不然，可能存在第一布里渊区在某个k方向上的能量最大值大于第二布里渊区另一方向上的能量最小值。

13.已知一维晶体的电子能带可写成其中a是晶格常数，试求

（a）能带的宽度；

（b）电子在波矢k的状态时的速度；

（c）能带底部和顶部电子的有效质量。

解：

（a）首先求能量最大值和最小值

由dEc（k）

0

得到

k

n

dk

a

n为偶数时，E

Emin

0

n为奇数时，E

Emax

2

2

ma2

所以能带宽度为

（b）速度v

1dE（k）

h

sinka（1

1

hdk

coska）

ma

2

2

m

（c）有效质量

m

d2E

1

coska

dk2

cos2ka

2

导带底k

2l

，l为整数，代入上式得m

底

0

a

导带顶k

（2l

1），l为整数，代入上式得m

顶0

a

14.用紧束缚方法处理面心立方晶体的S态电子，若只计最近邻的相互作用，试导出能带为

kxa

kya

kya

kza

kza

kxa

EkE0A4Jcos

cos

cos

cos

coscos

，

2

2

2

2

2

2

并求能带底部电子的有效质量。

解：

任取一个格点为原点，最近邻格点有

12个，它们的位置坐标分别为

紧束缚方法得到的能量式为

将12个最邻近格点的位置坐标代入上式，并整理得到面心立方

s态原子能级相对应的能带。

15.紧束缚方法导出体心立方晶体S态电子的能带

试画出沿

kx方向（ky

kz

0），Ekx

和vkx

的曲线。

解：

求解方法类似13题。

首先写出任意格点为原点其最近邻的能量式，即可得到本题给出的能量表示式。

8个格点的位置坐标，并代入紧束缚方法得到的

沿kx方向（ky=kz=0），有

能量

Ekx

E0

A

8Jcoskxa，

2

其中，最大值为

Emax

E0

A8J，最小值EminE0A8J。

图略

速度

vk

1（

E）