地下水动力学课件.ppt

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第八章第八章第八章第八章研究地下水运动的数值模拟方法研究地下水运动的数值模拟方法研究地下水运动的数值模拟方法研究地下水运动的数值模拟方法求解地下水运动问题的方法有求解地下水运动问题的方法有解析法解析法、物理模拟法物理模拟法和和数值法数值法。

8-18-18-18-1概述概述概述概述解析解物理概念清楚、计算步骤简便，便于分析各种影响解析解物理概念清楚、计算步骤简便，便于分析各种影响因素之间相互联系又相互制约的内在规律及对地下水运动状因素之间相互联系又相互制约的内在规律及对地下水运动状态的影响，因此在生产实践中得到广范应用。

态的影响，因此在生产实践中得到广范应用。

解析方法是用数学上的解析方法是用数学上的积分方法积分方法或或积分变换积分变换等方法求得数等方法求得数学模型的解析表达式，通常称为学模型的解析表达式，通常称为解析解解析解或或精确解精确解。

解析解能解析解能够给出所定义的渗流区域内任意点任意时刻的水头值。

够给出所定义的渗流区域内任意点任意时刻的水头值。

1.解析法：

解析法：

解析法只适用含水层几何形状规则、基本方程简单、定解解析法只适用含水层几何形状规则、基本方程简单、定解条件单一的情况。

条件单一的情况。

2.数值法数值法数值法是把刻划地下水运动的数学模型离散化，把定界问数值法是把刻划地下水运动的数学模型离散化，把定界问题化成代数方程，解出渗流区域内题化成代数方程，解出渗流区域内有限个结点上的数值解有限个结点上的数值解（近似解）（近似解）。

数值法适用性广（复杂的含水层、定解条件等），通用性强数值法适用性广（复杂的含水层、定解条件等），通用性强（计算机模拟）、并可程序化，修改模型方便。

目前，在求解（计算机模拟）、并可程序化，修改模型方便。

目前，在求解大型地下水流问题时被广泛应用。

大型地下水流问题时被广泛应用。

数值法模拟计算过程没有物理模拟法逼真、直观，而且计数值法模拟计算过程没有物理模拟法逼真、直观，而且计算工作量大，需要借助于计算机进行模拟计算。

算工作量大，需要借助于计算机进行模拟计算。

数值法中，最常用的是数值法中，最常用的是有限差分法有限差分法（FDM）和和有限单元法有限单元法（FEM）。

有限差分法是建立在有限差分法是建立在用差商代替导数用差商代替导数的基础上；而有的基础上；而有限单元法是建立在限单元法是建立在直接求函数的近似解直接求函数的近似解的基础上。

的基础上。

数数值法法优点点缺缺点点有限差有限差分分法法1.1.简单问题的数学表达式和的数学表达式和计算的算的执行行过程比程比较直直观、易懂；、易懂；2.2.算法效率比算法效率比较高；高；3.3.计算精度高；算精度高；4.4.有可使用的商用有可使用的商用软件。

件。

对自然自然边界界处理的灵活性理的灵活性较差。

差。

有限有限单元元法法1.1.计算程序的通用性算程序的通用性强强；2.2.对不不规则边界界处理方便；理方便；3.3.计算算单元划分灵活；元划分灵活；4.4.水流水流问题、物、物质输运运问题解的精度解的精度一般一般较FDMFDM的精度高。

的精度高。

占用占用计算内算内存大，存大，计工工作量大。

作量大。

有限差分法和有限单元法优缺点比较有限差分法和有限单元法优缺点比较8-28-2有限差分法有限差分法有限差分法的基本思想有限差分法的基本思想把渗流区域按一定的方式剖分成许多小区域把渗流区域按一定的方式剖分成许多小区域（均衡域），用该区域中心点（结点）的集（均衡域），用该区域中心点（结点）的集集合代替连续的渗流区域，在这些点上用差集合代替连续的渗流区域，在这些点上用差商近似地代替导数，将描述地下水流问题的商近似地代替导数，将描述地下水流问题的数学模型化为一组以有限个未知函数值为未数学模型化为一组以有限个未知函数值为未知量的差分方程（代数方程）组，通过求知量的差分方程（代数方程）组，通过求解差分方程组，得到所求解在结点上的近似解差分方程组，得到所求解在结点上的近似值。

值。

用差商近似代替导数用差商近似代替导数差分的概念差分的概念一、承压水一维非稳定流数学模型的概化一、承压水一维非稳定流数学模型的概化一、承压水一维非稳定流数学模型的概化一、承压水一维非稳定流数学模型的概化图图8-1河间地块承压含水层示意图河间地块承压含水层示意图0设在两条平行的河流之间设在两条平行的河流之间有一均质、各向同性、等有一均质、各向同性、等厚、无越流补给的承压含厚、无越流补给的承压含水层；水层；两河流间距离为两河流间距离为L，两河两河水位的变化规律为水位的变化规律为0（t）和和l（t）；初始时刻含水层内的水头初始时刻含水层内的水头分布为：

分布为：

H0（x）（0xL）。

在上述条件下，地下水有由高水位一边向低水位一在上述条件下，地下水有由高水位一边向低水位一边流动，构成边流动，构成承压水一维非稳定流问题承压水一维非稳定流问题。

取如上图所示。

取如上图所示的坐标系，则该问题的数学模型为：

的坐标系，则该问题的数学模型为：

由于导数有不同的差分格式，所以差分方程也有不由于导数有不同的差分格式，所以差分方程也有不同的形式。

同的形式。

0xL,0tTsum（8-1）0xL（8-2）0tTsum（8-3）0tTsum（8-4）1.1.显式差分方程的建立显式差分方程的建立空间离散：

空间离散：

首先将研究区首先将研究区域域00，LL用直线等分为用直线等分为ll份，空间步长份，空间步长x=L/l;时间离散：

时间离散：

将时间段将时间段00，TsumTsum用直线等分为用直线等分为mm份，份，时间步长时间步长t=t=Tsum/m/m；二、一维显式有限差分格式二、一维显式有限差分格式二、一维显式有限差分格式二、一维显式有限差分格式

（1）离散化离散化图图8-2空间、时间离散示意图空间、时间离散示意图lm河流河流河流河流下面以典型下面以典型结点结点（i，k）为例，说明有显式限差分方为例，说明有显式限差分方程建立的思路、过程及求解方法。

程建立的思路、过程及求解方法。

如离散网格图所示，任一结点的坐标为：

如离散网格图所示，任一结点的坐标为：

xi=ix（i=0,1,2,l）；tk=kt（k=0,1,2,m）。

简记为简记为（i，k），并并以以Hik表示表示H（xi，tk）=H（ix，kt）,用用hik表示原方程的近似解，即差分方程的解。

表示原方程的近似解，即差分方程的解。

在在t=tk时刻时刻，（8-1）式左端用二阶导数的近似表达式，式左端用二阶导数的近似表达式，右端用时间导数的右端用时间导数的向前差分向前差分近似代替导数，有：

近似代替导数，有：

（2）

（2）微微微微分方程的差分化分方程的差分化分方程的差分化分方程的差分化略去略去0（t）和和0（x）2，可得可得（8-5）式的对应的差分式的对应的差分方程方程：

（8-5）（8-6）（8-78-7）式表明：

只要知道了）式表明：

只要知道了k时段初始时刻时段初始时刻tk各各结点的结点的hik值，便可计算出值，便可计算出k时段末了时刻时段末了时刻tk+1的的hik+1值值（lil-1,1km-1），各方程可独立求解，因此，各方程可独立求解，因此，这种方程称为这种方程称为显式有限差分方程显式有限差分方程。

（8-7）若定义若定义，则（，则（8-68-6）式可变为：

）式可变为：

上式也可变为：

上式也可变为：

（3）（3）定解条件离散化定解条件离散化定解条件离散化定解条件离散化在在t=0t=0的初始时刻，各结点水头值由初始条件给出：

的初始时刻，各结点水头值由初始条件给出：

（8-8）边界结点上各时刻的水头值由边界条件给出：

边界结点上各时刻的水头值由边界条件给出：

（8-9）差分方程差分方程（8-7）与离散后的定界条件与离散后的定界条件（8-8）、）、（8-9）构成了数学模型构成了数学模型的显式差分方程问题。

其求解步骤如下：

的显式差分方程问题。

其求解步骤如下：

2.2.显式差分方程的求解显式差分方程的求解由以上计算的由以上计算的h11，h21hl-11值及由边界条件值及由边界条件（8-9）式计式计算的算的h01和和hl1,再次利用再次利用（8-78-7）式式（取（取k=1，i=1，i=2,i=l-1，便可计算得便可计算得t2时刻各结点的水头值。

如此重复，时刻各结点的水头值。

如此重复，便可计算出便可计算出t3，t3，各时刻的水头分布值。

各时刻的水头分布值。

由由（8-8）式所示的初始条件给出式所示的初始条件给出t0时刻各结点的水头值时刻各结点的水头值h00，h10，hl0；再根据再根据（8-7）式式，在在k=0时时，分别取分别取i=1，i=2,i=l-1,便可求得便可求得t1时刻各内结点的水头值时刻各内结点的水头值h11，hl-10。

3.3.显式差分方程的收敛性和稳定性显式差分方程的收敛性和稳定性差分方程的解差分方程的解hik+1是否逼近原微分方程的解是否逼近原微分方程的解Hik+1?

必须必须从差分方程的从差分方程的收敛性收敛性和和稳定性稳定性两个方面回答此问题。

两个方面回答此问题。

显式差分格式收显式差分格式收敛和稳定的条件敛和稳定的条件只有收敛和稳定的差分格式，才具有实用价值。

因此只有收敛和稳定的差分格式，才具有实用价值。

因此，合理选取合理选取x,t是很重要的。

是很重要的。

收敛性收敛性：

如果在如果在x,t取得充分小时，差分方程的解和微取得充分小时，差分方程的解和微分方程的解析解很接近，便说这种差分格式是收敛的。

分方程的解析解很接近，便说这种差分格式是收敛的。

稳定性稳定性：

差分计算时，每一步都有舍入误差，随着计算差分计算时，每一步都有舍入误差，随着计算时间或计算次数的增加，累积误差逐渐减小，以至于不时间或计算次数的增加，累积误差逐渐减小，以至于不影响计算结果，那么这种差分格式便是稳定的。

影响计算结果，那么这种差分格式便是稳定的。

三、一维隐式有限差分格式三、一维隐式有限差分格式三、一维隐式有限差分格式三、一维隐式有限差分格式1.1.隐式差分方程的建立隐式差分方程的建立在在t=tk+1时刻时刻，（8-1）式左端用二阶导数的近似表达式左端用二阶导数的近似表达式，右端用时间导数的向后差分近似代替导数，略去式，右端用时间导数的向后差分近似代替导数，略去0（t）和和0（x）2，则有：

则有：

（8-9）若定义：

若定义：

，则则（8-9）式可变为：

式可变为：

i=1,2,l-1K=1,2,m-1（8-10）（8-10）式左端包含了三个未知数，不能直接解出式左端包含了三个未知数，不能直接解出hik+1，所以称为所以称为隐式差分格式隐式差分格式。

2.2.隐式差分方程的求解隐式差分方程的求解代入第一个和最后一个方程，形成由代入第一个和最后一个方程，形成由（ll-1）1）个个方程组成的方程组成的线性方程组，联立求解，便可得到（线性方程组，联立求解，便可得到（ll-1）-1）个内结点个内结点ttk+1k+1时刻时刻的水头值。

由于线性方程组的系数矩阵只在三条对角线上的水头值。

由于线性方程组的系数矩阵只在三条对角线上有值，其余均为零，所以称为三对角线方阵，可用有值，其余均为零，所以称为三对角线方阵，可用追赶法追赶法求解。

求解。

由于隐式差分格式不能直接解出由于隐式差分格式不能直接解出hik+1值，所以应该对值，所以应该对所有内结点所有内结点（i=1,i=2,i=l-1）都按都按（8-10）式列出相应的式列出相应的方程。

并把边界条件：

方程。

并把边界条件：

隐式差分格式是无条件收敛和稳定的。

隐式差分格式是无条件收敛和稳定的。

四、一维中心有限差分格式四、一维中心有限差分格式四、一维中心有限差分格式四、一维中心有限差分格式1.1.中心差分方程的建立中心差分方程的建立这种差分格式是在这种差分格式是在tk与与tk+1时刻之间，取中间过渡时时刻之间，取中间过渡时刻刻tk+t/2时刻，以结点时刻，以结点（i,k+1/2）处的微分方程为基础建处的微分方程为基础建立差分方程。

立差分方程。

在在t=tk+1/2时刻，（时刻，（8-18-1）式右端用时间导数的中心差）式右端用时间导数的中心差分近似代替导数，则有：

分近似代替导