《272 向量的应用举例》导学案1.docx

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《272向量的应用举例》导学案1

《2.7.2向量的应用举例》导学案1

课程学习目标

1.能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.

2.会用向量知识解决一些物理问题.

课程导学建议

重点:

理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题.

难点:

选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.

第一层级：

知识记忆与理解

知识体系梳理

创设情境

向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，利用向量可以解决一些物理和几何问题，在平面几何中，平行四边形是大家熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基础的知识，那么在本节的学习中，借助同学们非常熟悉的内容来学习向量在几何与物理问题中的应用.

知识导学

问题1:

利用向量法解决几何问题的一般步骤如何？

向量法解决几何问题的“三步曲”.

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，把平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系.

问题2:

向量法可以解决几何中的哪些问题？

平面几何中的距离（线段长度）、夹角、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积运算求得.

　　问题3:

向量在物理中的应用，其步骤如何？

（1）建模:

把物理问题转化为　数学　问题； 

（2）解模:

解答得到的数学问题；

（3）回答:

利用解得的数学答案解释　物理　现象. 

问题4:

如何应用向量知识解决力学问题和速度问题？

应用向量知识解决力学问题，首先要对物体进行正确的　受力　分析，画出受力分析图形，在此基础上转化为向量问题； 

应用向量知识解决速度问题，首先要对物体运动的速度进行合理的合成与　分解　，结合运动学原理，转化为数学问题. 

知识链接

向量方法，就是用“向量和向量的运算”来代替“数和数的运算”，把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.用向量解决物理问题的方法:

把物理问题转化为数学问题，抽象成数学模型，对这个数学模型进行研究，进而解释相关物理量，在应用过程中，注意使用转化思想和数形结合思想；用向量解决物理问题的方法:

把物理问题转化为数学问题，抽象成数学模型.

基础学习交流

1.已知点O为三角形ABC所在平面内一点，若++=0，则点O是三角形ABC的（　　）.

A.重心　　B.垂心　　C.内心　　D.外心

【解析】设AB的中点为D，由已知得=-（+）=-2，即||=2||，故点O是三角形ABC的重心.

【答案】A

2.如图所示，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是（　　）.

A.5NB.5N

C.10ND.10N

【解析】如图，两力相等，夹角为120°，

以两力所在向量为边作平行四边形ABCD，则可得它是有一内角为60°的菱形，合力与灯具的重量大小相等、方向相反，故每根绳子的拉力为10N.

【答案】D

3.若向量=（2，2），=（-2，3）分别表示两个力F1，F2，则|F1+F2|=　　　　　. 

【解析】∵F1+F2=（2，2）+（-2，3）=（0，5），∴|F1+F2|==5.

【答案】5

4.求证:

平行四边形对角线互相平分.

【解析】在平行四边形ABCD中，M为对角线AC与BD的交点.

设=x，=y（x，y∈R），

∵=+，∴=x+x.

又=+=+y

=+y（-）=（1-y）+y.

∵与不共线，由平面向量基本定理知，

解得

∴=，=.

故点M为AC、BD的中点，即平行四边形对角线互相平分.

第二层级：

思维探索与创新

重难点探究

探究一

利用向量证明线段垂直

在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，D是BC的中点，E是AB上的点，且AE=2BE，求证:

AD⊥CE.

【方法指导】要证AD⊥CE，只需证明·=0即可，证明垂直时可利用基向量，也可建系.

【解析】（法一）（基向量的方法）

·=（+）·（+）

=（-）·（+-）

=（-）·（+）

=-·-.

∵BC⊥CA，∴·=0，又BC=CA，

∴||=||，∴·=（||2-||2）=0，

∴⊥，即AD⊥CE.

（法二）（坐标的方法）以CA、CB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，设||=||=a，

∴A（a，0），B（0，a），E（，），D（0，），

∴=（，），=（-a，）.

∴·=-+×=-+=0，

∴⊥，即AD⊥CE.

【小结】使用向量方法证明平面几何问题时，就是要把平面几何中的问题用向量的知识来表达，如证明两条线段垂直，就是证明这两条线段所表示向量的数量积等于零，证明两条直线平行可以使用共线向量定理等.在使用向量知识时，既可以使用基向量的方法，也可以使用坐标的方法.

探究二

利用向量证明长度相等

如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点（不包括端点），E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明PA=EF.

【方法指导】以点D为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，DP=λ，求出向量与的坐标，再分别求出它们的长度判断即可.

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，||=λ（0<λ<），

则A（0，1），P（λ，λ），

E（1，λ），F（λ，0），

∴=（-λ，1-λ），=（λ-1，-λ），

∴||==，

||==，

∴||=||，∴PA=EF.

【小结】用向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，并利用向量的数量积和公式|a|2=a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入向量的模的公式即可.

探究三

向量在物理中的应用

如图所示，重力为300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.

【方法指导】把方向竖直向上、大小为300的向量向两根绳子的方向上分解，分别求出分向量的模即可.

【解析】如图，作▱OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°.

在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，

所以||=||cos30°=300×=150（N），

||=||sin30°=300×=150（N），||=||=150（N）.

即与铅垂线成30°的绳子的拉力是150N，与铅垂线成60°的绳子的拉力是150N.

【小结】力是向量，几个分力形成的合力符合向量加法的平行四边形法则，在解决与力有关的问题时要注意力的合成与分解.

思维拓展应用

应用一

如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，PFCE是矩形，求证:

PA⊥EF.

【解析】（法一）（基向量的方法）设=a，=b，根据已知|a|=|b|且a·b=0.

设=λa，则=λ=λ（a+b），=λb，

所以=-=λa-（a+λb）=（λ-1）a-λb，

=-=λ（a+b）-b=λa+（λ-1）b.

所以·=[λa+（λ-1）b]·[（λ-1）a-λb]=（λ2-λ）a2-（λ2-λ）b2=0.所以PA⊥EF.

（法二）（坐标的方法）以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设正方形的边长为1，||=λ（0<λ<），则A（0，1），P（λ，λ），E（1，λ），F（λ，0），

于是=（-λ，1-λ），=（λ-1，-λ），

∵·=（-λ）·（λ-1）+（1-λ）·（-λ）

=-λ·（λ-1+1-λ）=-λ×0=0.

∴PA⊥EF.

应用二

如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

　　【解析】设=a，=b，则=a+b.

由与共线，因此存在实数m，使得=m（a+b）.

又由与共线，因此存在实数n，使得=n=n（b-a）.

由=+=+n，得m（a+b）=a+n（b-a）.

整理得（m+n-1）a+（m-n）b=0.

由于向量a、b不共线，所以有解得

所以=.同理=.

于是=.所以AR=RT=TC.

应用三

已知两恒力F1=（3，4），F2=（6，-5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0），试求:

（1）F1，F2分别对质点所做的功；

（2）F1，F2的合力F对质点所做的功.

【解析】=（7，0）-（20，15）=（-13，-15），

（1）W1=F1·=（3，4）·（-13，-15）=-99，

W2=F2·=（6，-5）·（-13，-15）=-3.

（2）W=F·=（F1+F2）·

=（9，-1）·（-13，-15）=-102.

第三层级：

技能应用与拓展

基础智能检测

1.设a，b是非零向量，若函数f（x）=（xa+b）·（a-xb）的图象是一条直线，则必有（　　）.

A.a⊥b　　B.a∥b　　C.|a|=|b|　　　D.|a|≠|b|

【解析】f（x）=（xa+b）·（a-xb）=-a·bx2+（|a|2-|b|2）x+a·b，若函数f（x）的图象是一条直线，即其二次项系数为0，∴a·b=0，∴a⊥b.

【答案】A

2.在四边形ABCD中，若+=0，·=0，则四边形的形状为（　　）.

A.正方形B.菱形

C.矩形D.平行四边形

【解析】∵+=0，∴=，∴四边形ABCD为平行四边形，∵·=0，∴⊥，∴对角线垂直，∴四边形为菱形.

【答案】B

3.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若=x+y，则x=　　　　，y=　　　　. 

【解析】作DF⊥AB，设AB=AC=1⇒BC=DE=，

∵∠DEB=60°，∴BD=.

由∠DBF=45°解得DF=BF=×=，故x=1+，y=.

【答案】　

4.一轮船欲横渡某条江，到达起始点的正对面岸边，已知江水流速为3km/h，船的静水速度为6km/h.

（1）求轮船的航行方向；

（2）若江面宽2km，求轮船到达对岸所需要的时间.

【解析】

（1）设江水、船在静水中的速度向量分别为、，如图，以OA、OB为边作平行四边形，则由平行四边形法则知船的横渡江的速度向量为.

∵⊥，

∴sin∠BOC===，

∴∠BOC=30°，∴∠AOB=120°，

即轮船的航行方向与江水流速的方向成120°角.

（2）由

（1）知轮船速度向量为，

且||=||cos∠BOC=6×cos30°=3，

则所求轮船到达对岸所需的时间t==h.

全新视角拓展

（2010年·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）.

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

（2）设实数t满足（-t）·=0，求t的值.

【解析】

（1）|BC|==4.

线段BC的中点坐标为E（0，1）.

∴2|AE|=2=2.

以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长为4，2.

（2）=（-2，-1），=（3，5）.

∵（-t）·=·-t，易求·=-11，=5，

由（-t）·=0，得t=-.

第四层级：

总结评价与反思

思维导图构建

学习体验分享

固学案

基础达标检测

1.在四边形ABCD中，·=0，=2，则四边形ABCD是（　　）.

A.平行四边形　　　　　B.矩形

C.等腰梯形D.直角梯形

【解析】∵·=0，∴AB⊥BC，又=2，∴四边形ABCD是梯形.故四边形ABCD为直角梯形.

【答案】D

2.河水的流速为2m/s，一只小船想要以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（　　）.

A.10m/sB.2m/s

C.4m/sD.12m/s

【解析】如图，v1为河水的流速，v2为船在静水中的速度，v为v1、v2的合速度，它垂直于河岸方向，

所以|v2|==2（m/s）.

【答案】B

3.一纤夫用绳牵船沿直线方向前进60m，若牵绳与行进方向夹角为60°，人的拉力为50N，则纤夫对船所做的功为　　　　. 

【解析】W=60×50×cos60°=1500（J）.

【答案】1500J

4.已知向量=（3，-4），=（6，-3），=（5-m，-3-m）.

（1）若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；

（2）若点A、B、C构成以∠A为直角的三角形，求m的值.

【解析】

（1）若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，=（3，1），=（2-m，1-m），由与不共线，得3（1-m）≠2-m，解得m≠.

（2）∵∠A为直角，∴⊥，∴3（2-m）+（1-m）=0，解得m=.

基础技能检测

5.一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，由于水流速度的作用，该船正好以垂直岸边的实际方向前进，则经过h，该船实际航程为（　　）.

A.2kmB.6km

C.kmD.8km

【解析】如图，设，分别表示水流速度和船的速度，∴它们的合速度的大小||=4·cos30°=2（km/h），

∴s=|v|t=2×=6（km）.

【答案】B

6.用力F推动一物体G，使其沿水平方向运动s，F与垂直方向的夹角为θ，则F对物体所做的功为（　　）.

A.|F||s|cosθB.|F||s|sinθ

C.F·s·cosθD.F·s·sinθ

【解析】设力F与位移s的夹角为φ，则φ=-θ，

∴W=F·s=|F||s|cosφ=|F||s|·sinθ.

【答案】B

7.在如图所示的直角坐标系xOy中，已知两个力F1、F2的大小和方向，用坐标表示合力F，则F=　　　　，合力F的大小为　　　　N. 

【解析】从图中可以看出F1=（2，3），F2=（3，1），F1+F2=（5，4），所以合力的坐标为（5，4），其大小为|F1+F2|==N.

【答案】（5，4）　

8.已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？

（g=10m/s2）

【解析】如图，设木块的位移为s，

则F·s=|F||s|cos30°=50×20×=500（J）.

将力F分解，它在铅垂线方向上的分力的大小|F1|=|F|sin30°=50×=25（N），

所以，摩擦力的大小|f|=|μ（G-F1）|=（80-25）×0.02=1.1（N），

因此f·s=|f||s|cos180°=1.1×20×（-1）=-22（J）.

故力F和摩擦力f所做的功分别为500J和-22J.

技能拓展训练

9.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n，则m+n的值为　　　　. 

【解析】O是BC的中点，

∴=（+）=+.

∴=-=（-1）+，

又∵=-，∥，

∴存在实数λ，使得=λ=λ-λ，

即化简得m+n=2.

【答案】2

10.（选做）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AC，E是垂足，F是DE的中点，求证:

AF⊥BE.

【解析】∵AB=AC，D是BC的中点，

∴⊥，即·=0.

又DE⊥AC，∴·=0.

∵F是DE的中点，∴=-.

∴·=（+）·（+）

=·+·+·+·

=·+·+·

=（+）·+·+·

=·+·+·+·

=·-·-·

=·-·

=·（-）=·=0.

∴AF⊥BE.