八年级数学下册 第六章 证明一教案 北师大版.docx

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八年级数学下册第六章证明一教案北师大版

2019-2020年八年级数学下册第六章证明

（一）教案北师大版

知识与技能目标：

1．通过观察、猜测得到的结论不一定正确；

2．让学生初步了解，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．

能力训练要求：

1．通过探索，让学生初步了解数学中推理的重要性；

2．初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．

重　　点判定一个结论正确与否需进行推理．

难　　点理解数学推理的重要性．

一、巧设现实情境，引入新课

在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界．在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论．那这样得到的结论都是正确的吗？

如果不是，那么用什么方法才能说明它的正确性呢？

从今天开始，我们来学习第六章：

证明

（一）．

二、讲授新课

1．如图，四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H．度量四边形EFGH的边和角，你会发现什么结论？

四边形ABCD，找到四边形的中点E、F、G、H后，量了量四边形EFGH的边发现：

EF＝GH，EH＝GF．角∠EHG＝∠EFG，∠HEF＝∠HGF．

同学画的四边形ABCD的形状可能不一样，但连接这四条边的中点E、F、G、H所得到的四边形EFGH经测量知：

它们都是平行四边形．所以由此可得：

任意四边形的四条边的中点所围成的四边形都是平行四边形．

2．通过观察、猜测、度量得到的结论是否正确，需要用推理过程得证．

做一做：

当n＝0、1、2、3、4、5时，代数式n2－n＋11的值是质数吗？

你能否得到结论：

对于所有自然数n，n2－n＋11的值都是质数？

与同伴交流．

当n＝0、1、2、3、4、5时，代数式n2－n＋11的值都是质数．

这样得到结论：

对于所有自然数n，n2－n＋11的值都是质数．你一定能肯定吗？

……

下面我们再来做一做：

假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？

能放进一颗红枣吗？

能放进一个拳头吗？

与同伴进行交流．

结果不能肯定，那么怎样才能肯定呢？

要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理．

那大家来想一想、议一议：

（1）在数学学习中，你用到过推理吗？

举例说明．

（2）在日常生活中，你用到过推理吗？

举例说明．

同学们举出了许多的例子，说明不论在日常生活中，还是在数学学习中，要判断一件事情或一个结论正确与否，必须进行一步一步有根有据地推论．

下面我们来通过练习熟悉本节课的内容．

三、课堂练习

（一）课本随堂练习．1、2、

3．

（二）课本读一读：

“费马的失误”．

（三）看课本，然后小结．

四、课时小结

本节课主要研究了：

要判断一个数学结论是否正确，需要有根有据地进行推理．

五、课后作业

见作业本．

六、活动与探究

1．有没有这样的质数，当它加上10和14时仍为质数．若有，求出来；若没有，请证明．

3合乎要求，但符合条件的质数是否只有3呢？

这必须加以证明．证明除了3以外的所有正整数加上10和14均不能是质数．为此把正整数按模3同余分类．即：

3k－1，3k＋1（k为正整数）．

因为（3k－1）＋10＝3k＋9＝3（k＋3）是合数，（3k＋1）＋14＝3k＋15＝3（k＋5）是合数，所以3k－1和3k＋1这两类整数中的质数加上10和14后不能都是质数．

因此，在3k－1和3k＋1两类整数中的质数加上10和14后当然不能都是质数．

对于3k这类整数，只有在k＝1时，3k才是质数，其余均为整数．

所以所求的质数只有

§6.2.1　定义与命题

（一）

知识与技能目标：

1．定义的意义；

2．命题的概念

能力训练要求：

1．从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性；

2．从具体实例中，了解命题的概念，并会区分命题．

情感与价值观要求：

通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系．

重　　点命题的概念．

难　　点命题的概念的理解．

教具准备施教时间xx年　月　日

教学过程：

一、巧设现实情境，引入新课

人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为此，我们需要给出它们的定义．

这节课我们就要研究：

定义与命题．

二、讲授新课

在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义（definition）．

如：

“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义．大家还能举出一些例子吗？

同学们举出了这么多例子．说明定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定．

如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染．

如果B处工厂排放污水，那么_______处便会受到污染；

如果C处受到污染，那么______处便受到污染；

如果E处受到污染，那么______处便受到污染；

……

如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？

你是怎么想的？

与同伴交流．

在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断．像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题．即：

命题是判断一件事情的句子．如：

熊猫没有翅膀．对顶角相等．

命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如：

你喜欢数学吗？

作线段AB＝a．平行用符号“∥”表示．这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题．

一般情况下：

疑问句不是命题．图形的作法不是命题．

三、课堂练习

（一）课本随堂练习　1、

2．

1．你能列举出一些命题吗？

2．举出一些不是命题的语句．

四、课时小结

本节课我们通过具体实例，说明了定义在生活中的重要性．在具体实例中，了解了命题的概念．

命题：

判断一件事情的句子．

五、课后作业

见作业本

六、活动与探究

1．现有正方形纸若干：

假设正方形纸面积为1，你会折满足折面积为的正方形吗？

方法：

如图①

①将正方形两次对折，得到各边中点E、F、G、H．

②连HE、EF、FG和GH．

则正方形EFGH即为所求．

注：

图②、③的方法可折得面积为、的正方形．

§6.2.2　定义与命题

（二）

知识与技能目标：

1．命题的组成：

条件和结论；

2．命题的真假；

3．了解数学史．

能力训练要求：

1．能够分清命题的题设和结论．会把命题改写成“如果……，那么……”的形式；能判断命题的真假；

2．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法；

3．通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值．

情感与价值观要求：

1．通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立统一体；

2．通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣．

重　　点找出命题的条件（题设）和结论．

难　　点找出命题的条件和结论．

教具准备施教时间xx年　月　日

教学过程：

一、巧设现实情境，引入课题

上节课我们研究了命题，那么什么叫命题呢？

（判断一件事情的句子，叫做命题）

观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？

（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．

（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．

（3）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．

（4）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形．

（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形．

大家观察后，分组讨论．

二、讲授新课

大家刚才观察到上面的五个命题中，每个命题都有条件和结论两部分组成．

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项．

一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式．其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．

有些命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显．如：

“同角的余角相等”，对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式．

注意：

命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述．

下面我们来做一做：

1．下列各命题的条件是什么？

结论是什么？

（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；　　

（2）如果a>＞b，b＞c，那么a＝c；

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

（4）菱形的四条边都相等；　　　　　　　　　（5）全等三角形的面积相等．

2．上述命题中哪些是正确的？

哪些是不正确的？

你怎么知道它们是不正确的？

其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》（Elements），为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：

挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据．其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）．除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实．推理的过程称为证明（proof）．经过证明的真命题称为定理（theorem），而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面．

除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实．

我们这套教材有如下命题作为公理：

（见课本）

除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理．

在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替．如：

如果a＝b，b＝c，那么，a＝c，这一性质也看做公理，称为“等量代换”．

注意：

（1）公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题．

（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据．

三、课堂练习

1．课本　读一读

2．看课本，然后小结．

四、课时小结

本节课我们主要研究了命题的组成及真假．知道任何一个命题都是由条件和结论两部分组成．命题分为真命题和假命题．

在辨别真假命题时．注意：

假命题只需举一个反例即可．而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证．

五、课后作业

见作业本

六、活动与探究

将一个命题的条件与结论交换得到一个新命题，我们称这个命题为原命题的逆命题，请写出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题．

1．凡直角都相等．　　

2．对顶角相等．　　

3．两直线平行，同位角相等．

4．如果两数中有一个是正数，那么这两个数之和是正数．

§6.3　为什么它们平行

知识与技能目标：

1．平行线的判定公理；

2．平行线的判定定理．

能力训练要求：

1．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力；

2．理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理；

3．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式．

情感与价值观要求：

通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．

重　　点平行线的判定定理、公理．

难　　点推理过程的规范化表达．

一、巧设现实情境，引入新课

前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：

两条直线在什么情况下互相平行呢？

这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．

我们知道：

“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？

这节课我们就来探讨第三节：

为什么它们平行．

二、讲授新课

1．看命题：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：

如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：

a∥b．

经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：

直线平行的判定定理．

这一定理可简单地写成：

同旁内角互补，两直线平行．

2．议一议：

小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？

为什么？

由此可知：

“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．

这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

这一定理可以简单说成：

内错角相等，两直线平行．

3．想一想：

已知，如图直线a⊥c，b⊥c．求证：

a∥b．

三、课堂练习

（一）课本随堂练习

（二）看课本，然后小结．

四、课时小结

这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：

五、课后作业

见作业本

六、活动与探究

你能用圆规和直尺作出两条平行线吗？

能证明你的作法吗？

§6.4　如果两条直线平行

知识与技能目标：

1．平行线的性质定理的证明；

2．证明的一般步骤．

能力训练要求：

1．经历探索平行线的性质定理的证明．培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力；

2．结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论．并能总结归纳出证明的一般步骤．

情感与价值观要求：

通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式．进而激发学生学习的积极主动性．

重　　点证明的步骤和格式．

难　　点理解命题、分清其条件和结论．正确对照命题画出图形．写出已知、求证．

一、巧设现实情境，引入新课

上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系．其结论是两直线平行．如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗？

这节课我们就来研究“如果两条直线平行”．

二、讲授新课

在前一节课中，我们知道：

“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成：

两直线平行，同位角相等．

议一议：

利用这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？

大家来想一想：

（1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”．你能作出相关的图形吗？

（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？

（3）你能说说证明的思路吗？

通过证明证实了这个命题是真命题，我们可以把它称为定理．即平行线的性质定理．这样就可以把它作为今后证明的依据．

注意：

（1）在课本中曾指出：

随堂练习和习题中用黑体字给出的结论也可以作为今后证明的依据．所以像“对顶角相等”就可以直接应用．

（2）这个性质定理的条件是：

直线平行．结论是：

角的关系．在应用时一定要注意．

接下来我们来做一做由判定公理可以证明的另一命题：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

通过推理的过程得证这个命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是真命题.我们把它称为定理，即直线平行的性质定理，以后可以直接应用它来证明其他的结论．

到现在为止，我们通过推理得证了两个判定定理和两个性质定理，那么你能说说证明的一般步骤吗？

大家分组讨论、归纳．

证明的一般步骤：

第一步：

根据题意，画出图形．

先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．

第二步：

根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．

把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．

第三步，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．

一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了．

三、课堂练习

（一）补充练习

证明邻补角的平分线互相垂直．

（二）看课本，然后小结

四、课时小结

这节课我们主要研究了平行线的性质定理的证明，总结归纳了证明的一般步骤．

1．平行线的性质：

公理：

两直线平行，同位角相等

定理：

两直线平行，内错角相等

定理：

两直线平行，同旁内角互补

2．证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形．

（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．

五、课后作业

见作业本

六、活动与探究

1．已知，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，求证：

AD∥BC．

§6.5　三角形内角和定理的证明

知识与技能目标：

三角形的内角和定理的证明．

能力训练要求：

掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力．

情感与价值观要求：

通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.

重　　点三角形内角和定理的证明.

难　　点三角形内角和定理的证明方法.

教具准备施教时间xx年　月　日

教学过程：

一、巧设现实情境，引入新课

大家来看一机器零件（见课本）：

工人师傅将凹型零件加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽的程序是：

将垂直的铣刀倾斜偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角．为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？

二、讲授新课

为了回答这个问题，先观察如下的实验（实物实验）

用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：

△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？

在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？

猜一猜：

三角形的内角和可能是多少？

怎样证明呢？

请同学们再来看实验．

这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方．这时，∠A与∠ACE能重合吗？

在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了．为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线．在平面几何里，辅助线通常画成虚线．

我们通过推理的过程，得证了命题：

三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理．即：

三角形的内角和定理．

三、课堂练习

（一）课本随堂练习1、

2．

（二）读一读．

（三）看课本，然后小结．

四、课时小结

这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理．证明的基本思想是：

运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角．辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它．

五、课后作业

见作业本

2．预习提纲

（1）三角形内角和定理的推论是什么？

（2）三角形内角和定理的推论的应用．

六、活动与探究

1．证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？

，如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？

“凑”到三角形外一点呢？

你还能想出其他证法吗？

板书设计§6.5　三角形内角和定理的证明

一、三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于180°

二、议一议三、课堂练习

四、课时小结

五、课后作业

§6.6　关注三角形的外角

知识与技能目标：

1．三角形的外角的概念；

2．三角形的内角和定理的两个推论．

能力训练要求：

1．经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力；

2．理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用．

情感与价值观要求：

通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路．从而使他们灵活应用所学知识．

重　　点三角形内角和定理的推论．

难　　点三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用．

一、巧设现实情境，引入新课

上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：

它的证明思路是什么？

通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角．这样就可以证明三角形的内角和等于180°．

共同证明：

三角形的内角和定理．

在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD，我们把∠ACD叫做三角形ABC的外角．

那三角形的外角有什么性质呢？

我们这节课就来研究三角形的外角及其应用．

二、讲授新课

1．那什么叫三角形的外角呢？

像∠ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

外角的特征有三条：

（1）顶点在三角形的一个顶点上．

（2）一条边是三角形的一边．（3）另一条边是三角形某条边的延长线．

把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角．由此可知：

一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质．

2．下面大家来想一想、议一议

如图，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？

能证明你的结论吗？

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角．

由此我们得到了三角形的外角的性质：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）．

因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论．它可以当做定理直接使用．

注意：

应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思．即：

“和它不相邻”的意义．

3．下面我们来研究三角形内角和定理的推论的应用．

例1　已知，如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B＝∠C，求证：

AD∥BC．

要证明AD∥BC．只需证明“同位角相等”即：

需证明：

∠DAE＝∠B．

这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证．

还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证．

现在大家来想一想：

若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？

例2　已知，如图在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE．

求证：

∠1＞∠

2．

一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明．所以需要找到三角形的外角．

三、课堂练习

1．课本随堂练习1

2．看课本，然后小结

四、课时小结

本节课我们主要研究了三角形内角和定理的推论：

推论1：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

推论2：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

在计算角的度数、证明两个角相等或角的和差倍分时，常用到三角形内角和定理及推论

1．

在几何中证明两角不等的定理只有推论2，所以遇到有证明角不等的题目一定要设法用到它去证明．

五、课后作业

见作业本

六、活动与探究

1．如图，求证：

（1）∠BDC＞∠A．

（2）∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A．

如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？

回顾与思考

知识与技能目标：

1．证明的必要性，了解证明的书写格式；

2．了解定义、命题、公理和定理的含义；

3．平行线的性质定理和判定定理；

4．三角形的内角和定理及推论．

能力训练要求：

1．理解证明的含义；

2．通过具体例子，进一步了解定义、命题，定理、公理的含义，并会区分命题的条件和结论；

3．掌握用综合法证明的格式．