哈尔滨工程大学数学上机实验.docx
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哈尔滨工程大学数学上机实验
实验报告
课程名称
数学实验
实验项目
数学实验上机实践
课程学时
48
上机地点
逸夫楼315，数学科学学院实验室
实验类型
综合类
实验学时
24
班级
20161122
学号
2016112201
姓名
陈宇
作业成绩
（共五档）
A
B
C
D
E
实验
完成情况
（按要求完成实验在括号内打√，没有按要求完成实验在括号内打×）
实验一：
函数绘图实验（）
实验二：
微积分实验（）
实验三：
数值计算实验（）
实验四：
怎样计算Pi？
（）
实验五：
素数实验（）
实验六：
函数迭代实验（）
实验七：
最佳分数近似值实验（）
实验八：
分形几何实验（）
实验九：
混沌实验（）
实验十：
概率统计实验（）
实验一：
函数绘图实验
1、实验目的
利用数学软件绘制数学函数曲线及曲面，通过实验了解函数图形的绘制方法。
2、实验内容
⑴在同一个图形中，绘制双曲线，以及的双曲线2条渐近线。
⑵在同一个图形中，绘制球面与锥面相交的曲面。
⑶自选题目：
绘制一个或者多个平面图形、空间曲面图形。
3、程序设计及运行结果
（1）>>x=-5:
0.1:
5;
ezplot（'x^2-y^2=1'）;
y1=x;y2=-x;
holdon;
plot（xy1）;
holdon;
plot（xy2）;
（2）>>x=-5:
0.1:
5;y=x;z=x;
[xyz]=meshgrid（xyz）;
f1=x.^2+y.^2+z.^2-1;
f2=x.^2+y.^2-z;
p1=patch（isosurface（xyzf10））;
set（p1'FaceColor''m'）;
p2=patch（isosurface（xyzf20））;
set（p2'FaceColor''w'）;
（3）
>>x=-5:
0.1:
5;y=x;z=x;
[xyz]=meshgrid（xyz）;
f1=x.^2+y.^2+z.^2-9;
f2=x.^2+y.^2-2*z;
p1=patch（isosurface（xyzf10））;
set（p1'FaceColor''m'）;
p2=patch（isosurface（xyzf20））;
set（p2'FaceColor''w'）;
4、讨论与分析
在本次试验中初步了解了matlab，学会了一些简单绘图，加深了对函数的理解为以后实验作个铺垫，由浅入深的了解matlab.
实验二：
微积分实验
1、实验目的
熟悉并了解使用数学软件，进行微积分问题计算的相关数学软件命令，让学生通过实验理解微积分，解决微积分计算上的问题。
2、实验内容
⑴求函数的极值。
⑵计算二重积分其中是由所围成的区域。
⑶自选题目：
计算一个或者多个微积分习题。
3、程序设计及运行结果
（1）>>symsxy;y=2*x^3-6*x^2-18*x+7;ezplot（y[-55]）
>>solve（diff（yx）x）
ans=
-1
3
>>y=diff（yx2）
y=
12*x-12
>>x=-1;eval（y）
ans=
-24
>>x=3;eval（y）
ans=
24
（2）>>symsxy;ezplot（'y^2-x'[05-33]）;holdon;ezplot（'x-2'[05-33]）;holdoff
>>symsxy;[xy]=solve（'y^2-x=0''x-2=y'）
x=
1
4
y=
-1
2
>>symsxy;dblquad（'x*y'04-12）
ans=
12
（3）计算∫x^4/（4+4*x^2））
>>symsx
>>int（x^4/（4+4*x^2））
ans=
atan（x）/4-x/4+x^3/12
4、讨论与分析
通过本次实验，熟悉了MATLAB中求函数的导数、微分等运算的命令，掌握了MATLAB
中求函数的不定积分、定积分的命令
实验三：
数值计算实验
1、实验目的
应用数学软件进行数值计算方面的相关实验，熟悉程序设计方法。
通过求数值积分、数据拟合等问题，并结合函数绘图，去理解数学、应用数学。
2、实验内容
⑴编写使用梯形法计算积分的程序。
⑵下面的实验数据表示函数的关系，例如，数据如下：
{{01.97687}{0.052.17002}{0.12.34158}{0.152.46389}
{0.22.71512}{0.253.06045}{0.33.27829}{0.353.51992}
{0.43.8215}{0.454.2435}{0.54.55188}{0.554.88753}
{0.65.15594}{0.655.698}{0.76.04606}{0.756.42701}
{0.87.00342}{0.857.50192}{0.97.89178}{0.958.49315}{19.0938}}
试确定此函数关系，同时将这些点与所求出的函数曲线绘制在一个图形中。
⑶自选题目：
计算一个数值计算方面的问题。
3、程序设计及运行结果
（1）>>x=0:
0.01:
1;y=sin（sin（x））;trapz（xy）
ans=
0.4306
（2）>>x=0:
0.05:
1
x=
1至9列
00.05000.10000.15000.20000.25000.30000.35000.4000
10至18列
0.45000.50000.55000.60000.65000.70000.75000.80000.8500
19至21列
0.90000.95001.0000
>>y=[1.976872.170022.341582.463892.715123.060453.278293.519923.82154.24354.551884.887535.155945.6986.046066.427017.003427.501927.891788.493159.0938];
>>n=3;
>>A=polyfit（xyn）;
>>y1=polyval（Ax）;
>>plot（xy'k*'xy1'r-'）;
（3）Sn=∫012*x^n/（x+1）dx其中n等于123
>>S=zeros（n1）;
fori=1:
n
S（i）=quadl（@（x）2*x.^i./（x+1）01）;
end
S
S=
0.6137
0.3863
0.2804
4、讨论与分析
从实验结果中我们可以得出，在一定的阶次范围内，拟合阶次越高，计算结果越精确。
最小二乘法虽然看起来简单，但它在数值计算及应用上却非常重要，
实验四：
怎样计算Pi？
1、实验目的
通过计算圆周率，熟悉数学软件的程序设计方法。
2、实验内容
寻找一种及一种以上的方法计算π，请尽量不使用教材《数学实验》中“实验二怎样计算π”中所使用过的方法，参见教材第14页---19页。
3、程序设计及运行结果
>>nd=100;
digits（nd）;
nk=14;
a2=1;
k=0;
s0=1103;
fork=1:
nk
n=4*k;
a1=1;
forj=1:
n
a1=vpa（a1*j）;
end
a2=vpa（k*a2）;
k4=vpa（4*k）;
s0=vpa（s0+a1*（1103+26390*k）/（a2^4*396^k4））;
end
p=vpa（1/2/sqrt
（2）/s0*9801）;
a=vpa（pi100）
a=
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068
4、讨论与分析
收敛速度较快，计算结果与pi真实值的近似程度很客观。
实验五：
素数实验
1、实验目的
通过实验理解素数理论，找出素数理论的某些规律。
2、实验内容
本实验是教材《数学实验》中“实验五素数”的练习12，参见教材第43页，原题如下：
对，计算，它们能否都给出素数？
在10000以内的素数中，由公式给出的素数占多少？
类似地，对公式以及公式做同样的判别，你自己能否给出一个或者多个类似的公式？
3、程序设计及运行结果
（1）对的计算
>>f=@（x）x^2+x+41;
a=0;b=0;c=0;k=1;m=1;
while（k<10000）
ifisprime（k）
a=a+1;
end
k=k+1;
end
while（m<100）
ifisprime（f（m））
b=b+1;
elsec=1;
end
m=m+1;
end
ifc==0
disp（'Yes!
Allf（n）isprime\n'）
elsedisp（'*No!
Somef（n）isnotprime?
?
'）
end
disp（'theprimeratef（n）providingis'）
b/a
a
b
*No!
Somef（n）isnotprime?
?
theprimeratef（n）providingis
ans=
0.0692
a=
1229
b=
85
（2）对计算
>>f=@（x）x^2-79*x+1601
a=0;b=0;c=0;k=1;m=1;
while（k<10000）
ifisprime（k）
a=a+1;
end
k=k+1;
end
while（m<100）
ifisprime（f（m））
b=b+1;
elsec=1;
end
m=m+1;
end
ifc==0
disp（'Yes!
Allf（n）isprime\n'）
elsedisp（'*No!
Somef（n）isnotprime?
?
'）
end
disp（'theprimeratef（n）providingis'）
b/a
a
b
f=
@（x）x^2-79*x+1601
*No!
Somef（n）isnotprime?
?
theprimeratef（n）providingis
ans=
0.0765
a=
1229
b=
94
（3）对计算
>>f=@（x）6*x^2+6*x+31;
a=0;b=0;c=0;k=1;m=1;
while（k<10000）
ifisprime（k）
a=a+1;
end
k=k+1;
end
while（m<100）
ifisprime（f（m））
b=b+1;
elsec=1;
end
m=m+1;
end
ifc==0
disp（'Yes!
Allf（n）isprime\n'）
elsedisp（'*No!
Somef（n）isnotprime?
?
'）
end
disp（'theprimeratef（n）providingis'）
b/a
a
b
*No!
Somef（n）isnotprime?
?
theprimeratef（n）providingis
ans=
0.0602
a=
1229
b=
74
（4）在10000以内的素数中，由公式3n^2+2n+1给出的素数占多少？
>>f=@（x）3*x^2+2*x+1
a=0;b=0;c=0;k=1;m=1;
while（k<10000）
ifisprime（k）
a=a+1;
end
k=k+1;
end
while（m<100）
ifisprime（f（m））
b=b+1;
elsec=1;
end
m=m+1;
end
ifc==0
disp（'Yes!
Allf（n）isprime\n'）
elsedisp（'*No!
Somef（n）isnotprime?
?
'）
end
disp（'theprimeratef（n）providingis'）
b/a
a
b
f=
@（x）3*x^2+2*x+1
*No!
Somef（n）isnotprime?
?
theprimeratef（n）providingis
ans=
0.0122
a=
1229
b=
15
4、讨论与分析
本实验运用更多的就是循环语句，循环方法有for语句和while语句，对本实验来说都可以达到结果。
实验六：
函数迭代实验
1、实验目的
通过实验，了解迭代及其相关性质，并利用计算机进行实现函数迭代算法。
2、实验内容
本实验是教材《数学实验》中“实验九迭代
（一）---方程求解”的练习5，参见教材第85页，原题如下：
选用几种迭代格式求的近似值，并同改进的迭代格式做比较。
3、程序设计及运行结果
>>x0=1;err=1;m=1;
whileerr>1e-100&&m<10000
x1=x0-（x0^3-2）*eps/（（（x0+eps）^3-2）-（x0^3-2））;
err=abs（（x1-x0）/x0）;
x0=x1;
m=m+1;
end
牛顿迭代
>>symsx
f=x^3-2;
df=diff（fx）;
eps=1e-6;
x0=10;
cnt=0;
MAXCNT=200;%最大循环次数
whilecntx1=x0-subs（fxx0）/subs（dfxx0）;%去掉这个分号可以看到迭代过程.
if（abs（x1-x0）break;
end
x0=x1;
cnt=cnt+1;
end
ifcnt==MAXCNT
disp'不收敛'
else
vpa（x18）
end
ans=
1.259921
4、讨论与分析
二分法计算对函数的要求是比较宽松的，而且方法从编程思想到实现都比较都比较容易，但是二分法收敛速度不是太快.对同一函数，运用不同迭代方法求解，所得到的结果是有差别的，但大体上结果是接近的，并且迭代次数越多结果越相近。
实验七：
最佳分数近似值实验
1、实验目的
通过对无理数的最佳分数逼近方法的试验，理解近似计算的方法。
2、实验内容
本实验是教材《数学实验》中“实验三最佳分数近似值”的练习3，参见教材第28页。
利用连分数展开方法求出的分母在小于等于1000以内的所有既约分数近似值，并给出这些近似值中的最佳近似值。
3、程序设计及运行结果
function
L=sssm（n）
q
（1）=1;
j=1;
fori=1:
n;
q（i+1）=q（i）+1;
p（i）=round（q（i）*pi）;
p（i+1）=round（q（i+1）*pi）;
ifabs（pi-p（i）/q（i））>=abs（pi-p（i+1）/q（i+1））;
L（j）=p（i+1）/q（i+1）;
j=j+1;
end
end
formatrat
p/q
运行结果：
>>sssm（1000）
>>L=sssm（1000）L=
Columns1through7
3.00003.00003.25003.18183.14753.14713.1467
Columns8through14
3.14633.14613.14583.14563.14553.14373.1436
Columns15through21
3.14363.14363.14363.14353.14353.14353.1429
Columns22through28
3.14293.14293.14293.14293.14293.14293.1429
Columns29through35
3.14253.14253.14253.14253.14253.14253.1425Columns36through42
3.14253.14233.14233.14233.14233.14233.1423
Columns43through49
3.14233.14233.14223.14223.14223.14223.1422
Columns50through56
3.14223.14223.14223.14213.14213.14213.1421
Columns57through63
3.14213.14213.14213.14213.14203.14203.1420
Columns64through70
3.14203.14203.14213.14213.14213.14203.1420
Columns71through74
3.14203.14203.14203.1420
4、讨论与分析
通过上述实验，我们也可将误差小、分母小这两个标准综合起来Pi的连分数的展开：
实验结果接近，但还存在误差
上述近似值中最佳逼近至为3.1420.
实验八：
分形几何实验
1、实验目的
通过实验了解分形及分形图像的特点、分形图像的绘制方法。
2、实验内容
本实验是教材《数学实验》中“实验十二迭代
（二）---分形”，参见教材第117-136页。
⑴利用计算机绘出Sierpinski三角形。
⑵自选题目：
绘制其它分形图形。
3、程序设计及运行结果
（1）>>a=1;b=0.5;c=1;
k=7;
A=zeros（23^（k+1））;
A（:
1:
3）=[0ab;00c];
forn=1:
k
B=1/2*A;
A（:
1:
3^n）=B（:
1:
3^n）;
A（:
3^n+1:
2*3^n）=B（:
1:
3^n）+1/2*[a;0]*ones（13^n）;
A（:
2*3^n+1:
3^（n+1））=B（:
1:
3^n）+1/2*[b;c]*ones（13^n）;
end
fori=1:
3^k
patch（A（13*i-2:
3*i）A（23*i-2:
3*i）'r'）;
end
（2）functiontree（nab）
%tree（8pi/8pi/8）n为分形树迭代次数
%ab为分枝与竖直方向夹角
%x1y1x2y2为初始线段两端点坐标nn为迭代次数
n=8;a=pi/6;b=pi/6;
x1=0;y1=0;
x2=0;y2=1;
plot（[x1x2][y1y2]）
holdon
[XY]=tree1（x1y1x2y2ab）;
holdon
W=tree2（XY）;
w1=W（:
1:
4）;
w2=W（:
5:
8）;
%w为2^k*4维矩阵存储第k次迭代产生的分枝两端点的坐标
%w的第i（i=12…2^k）行数字对应第i个分枝两端点的坐标
w=[w1;w2];
fork=1:
n
fori=1:
2^k
[XY]=tree1（w（i1）w（i2）w（i3）w（i4）ab）;
W（i:
）=tree2（XY）;
end
w1=W（:
1:
4）;
w2=W（:
5:
8）;
w=[w1;w2];
end
%由每个分枝两端点坐标（x1y1）（x2y2）产生两新点的坐标（x3y3）（x4y4）画两分枝图形并把%（x2y2）连同新点横、纵坐标分别存储在数组XY中
function[XY]=tree1（x1y1x2y2ab）
L=sqrt（（x2-x1）^2+（y2-y1）^2）;
if（x2-x1）==0
a=pi/2;
elseif（x2-x1）<0
a=pi+atan（（y2-y1）/（x2-x1））;
else
a=atan（（y2-y1）/（x2-x1））;
end
end
x3=x2+L*2/3*cos（a+b）;
y3=y2+L*2/3*sin（a+b）;
x4=x2+L*2/3*cos（a-b）;
y4=y2+L*2/3*sin（a-b）;
a=[x3x2x4];
b=[y3y2y4];
plot（ab）
axisequal
holdon
X=[x2x3x4];
Y=[y2y3y4];
%把由函数tree1生成的XY顺次划分为两组分别对应两分枝两个端点的坐标并存储在一维%数组w中
functionw=tree2（XY）
a1=X
（1）;b1=Y
（1）;
a2=X
（2）;b2=Y
（2）;
a3=X
（1）;b3=Y
（1）;
a4=X（3）;b4=Y（3）;
w=[a1b1a2b2a3b3a4b4];
4、讨论与分析
通过本次的实验，我更了解了几何分形图以及用matlab软件产生几何分形图的方法、程序结构。
总的来说，通过本次实验，学习到了matlab软件的一种新的用法，对自己的数学实验能力又提升了不少
实验九：
混沌实验
1、实验目的
通过实验，观察混沌现象，进而发现隐藏在混沌后面的数学规律。
2、实验内容
本实验是教材《数学实验》中“实验十三迭代（三）---混沌”的练习7，参见教材第139页，原题如下：
观察Feigenbaum图。
在它的左部有一条曲线，这代表迭代具有唯一的吸引不动点。
⑴从某一点开始，该条曲线分成两条曲线，这说明了迭代的什么性质？
迭代的点列是如何运动的？
⑵再在下一个分支点，曲线分成几个分支？
这说明迭代的什么性质？
相应的迭代点列是如何运动的？
⑶上述分支过程是否一直进行下去？
是否存在一个极限分支？
在极限分支点之后，Feigenbaum图是否显得很混乱？
⑷估计出等的值，再计算等，它们是否比较接近？
由此猜测数列是否会收敛？
3、程序设计及运行结果
clear;clf;
holdon
axis（[05-55]）;
grid
fora=0:
0.005:
5
x=[0.2];
fori=2:
150
x（i）=a*sin（pi*x（i-1））;
end
pause（0.1）
fori=101:
150
plot（ax（i）'k.'）;
end
end
4、讨论与分析
混沌系统普遍对初值高度敏感，其行为不可预测，呈现随机性
实验十：
概率统计实验
1、实验目的
通过实验，让学生利用计算机观察随机现象及其相应的性质、规律。
2、实验内容
本实验是教材《数学实验》中“实验六概率”的练习6，参见教材第56-57页，原题如下：
设T是在区间[01]内均匀分布的随机变量。
让T连取n个值，则这n个值的
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