随机变量产生的原理.docx
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随机变量产生的原理
随机变量产生的原理
12.3随机变量产生的原理
仿真对产生随机变量的方法的要求:
准确性:
即由这种方法产生的随机变量应准确地具有所要求的分布;
快速性:
离散事件仿真一次运行往往需要产生几万甚至几十万个随机变量。
介绍四类最常用的产生随机变量的方法:
反变换法，组合法，卷积法及舍选法。
1、反变换法----以概率积分变换定理为基础
（1）连续随机变量的反变换法:
uFx（）设随机变量x的分布函数为，先产生在[0，1区]间上均匀分布的独立随机变量，由反分
1Fu（）布函数得到的值即为所需要的随机变量x:
1xFu,（）
原理说明:
Fx（）,随机变量概率分布函数的取值范围为[0，1];
Fx（）,以在[0，1]上均匀分布的独立随机变量作为的取值规
律;图12.1连续分布函数的反变换法原理
1
Fx,,落在内的样本个数的概率就是;
,Fx/,x,从而随机变量x在区间内出现的概率密度函数的平均值为;
dFdx/,x,当趋于0时，其概率密度函数就等于，即符合原来给定的密度分布函数，满足正确
性要求。
例12.1设随机变量x是[a,b]上均匀分布的随机变量，即:
0xa,,1,,xa,,axb,,Fx（）,axb,,fx（）,,,ba,xfx（）概率密度函数:
由可得到的分布函数:
ba,,,0其它,1xb,,
u,用随机数发生器产生U（0，1）随机变量
xa,uFx,,（）（）axb,,,令ba,
xabau,，,（）,可得:
（2）离散随机变量的反变换法:
px（）px（）xxx,,,？
xpx（）设离散随机变量分别以概率，，…，取值，其中n212n1
2
n
px（）,101,,px（）i,，且。
ii,1
px（）px（）px（）,将[0，1]区间按，，…，的值分成n个子区间;12n
产生在[0，1]区间上均匀分布的独立的随机数u;,根据u的值落在何区间，相应区间对应的随机变量就是
x所需要的随机变量。
i
实现办法:
x,先要将按从小到大的顺序进行排序，即i
图12.2离散分布的反变换法
xxx,,,？
12n
得到分布函数子区间的分界点
n,1n，，
（（）,（）（）],,（）,（）pxpxpxpxpx，？
,0,（）px112ii，,,,，1,,i,1i,1，，
xx,u~U（0,1）upx,（）,由随机数发生器产生的，若，则令，若11
pxupxpx（）（）（）,,，xx,,,？
，则令依次下去。
1122
写成一般形式:
3
I,1I
pxupx（）（）,,jj,,xx,令Ij,0j,0
速度:
主要决定于区间搜索方法。
2组合法
反变换法是最直观的方法，但却不一定是最有效的方法。
FxpFx（）（）,jj,设随机变量x的分布函数F（x）:
i,1
pFx,1,（）p,0jj,其中，且是其它类型的分布函数。
j
i,0
fxpfx（）（）,fx（）xjj,或者随机变量的密度函数:
j,1
Fx（）pfx（）其中的定义与前面的相同，是其它种类型的密度函数，与它相应的分布函数为。
jjj
当一个分布函数可以表示成若干个其它分布函数之和，而这些分布函数较原来的分布函数更易
于取样时，则宜采用组合法。
4
组合法产生随机变量的步骤:
PJjp{},,j,12,,？
（1）产生一个随机整数J，满足，（）（确定分布函数）j
xFx（）
（2）产生具有分布函数的随机变量（以该分布函数产生随机变量）jj
xx,（3）令j
xxf（x）,0.5e例12.4设密度函数为，产生服从该分布的随机变量。
fx（）fx（）分析的特点，可以看到，它以纵轴为对称轴分为两部分。
将写成如下形式:
xxfxeIxeIx（）.（）.（）,，0505（,）[,）,,00,f（x）
x,,[,）10x,,,（,）10,,Ix（）,Ix（）,,,其中:
0.5其它00其它（,）0,（,）,,0,,
x,xfxeIx（）（）,fxeIx（）（）,p,05.p,05.12令（）（）21（,）,,[,）00,
2
fxpfx（）（）,ji,从而
i,1
用组合法产生随机变量x的方法如下:
5
uu
（1）由U（0，1）产生随机变量及21
xu,lnfx（）u,05.x
（2）若，则由的分布函数产生，即可由反变换法易于得到211
xu,,lnfx（）u,05.x（3）若，则由的分布函数产生，即可由反变换法易于得到221
3卷积法
YYY,,,？
设随机变量x可表示为若干个独立同分布的随机变量之和，即:
12m
xYYY,，，，？
12m
m
YYi,则x的分布函数与的分布函数相同，此时称x的分布为分布的m重卷积。
ii,1
YYY,,,？
卷积法:
为了产生x，可先独立地从相应分布函数产生随机变量，然后求和得到x12m,m,m例试产生均值为的维厄兰分布Erlang（,）的随机变量x
mm,1,x
f（x）,exp（,x/,）
（m,1）!
x1,/m,,mmmfx,e（）Erlang（,）的随机变量可表示为个均值为/的独立的指数随机变量之和。
/m,
6
x采用卷积法产生，其步骤如下;
um
（1）独立地产生个U（0，1）随机数i
Y,,lnu（,,,）im,12？
Y
（2）用反变换法分别产生:
iii
m
m
xYYYY,,，，，？
im12,（3）令
i,1
改进:
考虑到对数运算速度较慢，将上述第
（2）（3）两步改进为:
mm,uuuu,？
x,,lnuim12i,,
（2）计算（3）令mi,1i,1
4舍选法
直接法:
直接面向分布函数，以反变换法为基础。
舍选法:
当反变换法难于使用时（例如随机变量的分布函数不存在封闭形式）。
xxf（x）f（x）基本思想:
设随机变量的密度函数为，的最大值为C，的取值范围为[0，1]。
7
uu,若独立地产生两个[0，1]区间内均匀分布的随机变量，12
Cuufu（）则是在[0，C]区间内均匀分布的随机变量，若以求122的值，若:
Cu,f（u）12
uxu,x成立，则选取为所需要的随机变量，即，否则舍22
u弃。
2
舍选法的解释:
Cufx（）up,p在1×C这块矩形面积上任投一点的纵坐标为，横坐标为。
若该点位于曲图12.4舍选法图示1211
线下面，则认为抽样成功。
f（x）f（x）下的面积可视为在（0，1）区间对的积分，若x取值仅在（0，1）区间，则该积
f（x）u分值可视为分布函数值，在该区间的成功抽样可视为对对应的分布函数抽样，就是所需产2
1生的随机变量。
Cufu,（）显然，满足的概率为12
11f（x）
PCufudxdyC,,，,{（）}/
（1）,,1200C
8
f（x）fx（）解释:
下的面积值其值为1，总面积的值为C，那么成功的概率就是下的面积除以总
C面积，即等于1/C。
u,a，u（b,a）如果随机变量x的取值不在[0,1]区间，而是在[a,b]区间，则可令:
。
22一般情形,
根据f（x）的特征规定一个函数t（x）（前面实际上是一个常数C），对t（x）的要求是:
txfx（）（）,
（1）
txdxC（）,,,
（2）,,,
（3）易于从t（x）进行反变换
,11rxdx（）（）,,txdx1rx（）（）,tx,令，则,,,,,,CC
将r（x）看作是一个密度函数，并用r（x）代替f（x）取样，以得到所需要的随机变量。
由于r（x）
并不是要求的f（x），这就是产生选取与舍弃问题。
通用算法表达:
9
u
（1）产生,U（0，1）;1
urx（）
（2）由独立地产生随机变量;2
ufutu,（）/（）（3）检验如下不等式:
;122
xu,（4）若不等式成立，则令;2
（5）否则返回第一步。
x,例随机变量的密度函数为如下分布:
32,60101xxx（）,,,fx（）,,其它0,
若采用反变换法，则必须求解多项式的根，效率很低。
fx（）tx（）txfx（）（）,采用舍选法首先要选择，因要求，故先求极值:
32xdfdx/,0f令，得=0.6，（0.6）=2.0736。
f（x）,60x（1,x）图12.5舍选
tx（）应是以x为自变量的函数，且应易于求反变换。
法
tx（）令为一常数，可取:
10
2073601.,,x,
tx（）,,txfx（）（）,满足0其它,
1101,,x1,rx（）（）,txrx（）,txdxdxC（）..,,,2073620736,从而令:
即,,00,,0C,
rx（）x所以为[0，1]区间均匀分布的密度函数，从而用舍选法产生的算法如下:
u~
（1）产生U（0，1）1
u~urx（）
（2）由独立地产生，即U（0，1）22
32xu,uuu,,60120736（）/.（3）检验，若满足，则令;2122
（4）否则返回第一步。
舍选法要点:
urx（）1）易于从中产生:
常用如均匀，指数，正态分布等2
2）在第3步中舍弃的概率要小。
txdxC（）（）,舍弃的概率为1-1/C，则要求接近1。
,,
11
12.5典型随机变量的产生1连续随机变量的产生
1）.正态分布:
分布函数没有直接的封闭形式
转换法:
若将其转换到极坐标系，则可以得到其封闭形式，再采用反变换法。
221,，（）/xx212fxxe（,）,xx,12设是两个独立的N（0，1）随机变量，则其联合密度函数是:
12,2
x,,,cos,1
ffxxJ（,）（,）||,,,,将其转换成极坐标形式:
则12x,sin,,2,
xx,,11
cossin,,,,,,,,||J,,,||J,其中为雅可比行列式，即xxsincos,,,,,22
,,,2,,,12feff（,）（）（）,,,,,,,,,从而可得2,
12
ff（）,（）,,,,,其分别为随机变量的密度函数:
它们相应的分布函数为:
222,,,,,,,,,222,fe（）,,,,Fede（）,,,,,,1,,,,,,,,1,11,,f（）,,Fd（）,,,,,,,,,2,0,22,,,采用反变换法,:
uu,,独立地产生两个[0，1]区间上均匀分布的随机数;12
,,,,2u,2u,,11,,
,F（）,F（）,,分别对及进行反变换，可得:
21,2lnu,,ln（,u）,,,,22,,
12/,xuu,,（ln）cos22,,121
xx,,,,,根据与之间的变换关系，可得:
12/12,xuu,,（ln）sin22,222,
上述反变换法，方法直观，易于理解，但要进行三角函数及对数函数运算，因而计算速度较慢。
舍选法原理:
uu,
（1）独立产生两个U（0，1）随机变量12
13
22Vu,,21WVV,，Vu,,21
（2）令，，111122
（3）若W>1，舍弃，返回第一步
12/,xVWW,,（ln）/2,,,11
12/（4）否则，令xVWW,,2ln）/,,,22,
1,,02146.舍弃概率为。
4
2xxN（,）,,如果要求产生一般随机变量，可先产生N（0，1）随机变量，然后进行如下线性变换:
x,,，,x
2）.分布
,,,1,x/,,,xe,0,,x,,1,t（）,fx,（,）,tedt,（）,,密度函数为:
其中,0,0其它,
充分利用分布的特性:
x~（,）,,,,xx,,,,（）0,x~,（,,1）,（,,1）,若，则当时，，所以只需讨论如何产生。
14
x,xfxe（）,,（1，1）为指数分布，可以直接用反变换法产生，
（,,1）,,10,,,1,对可分如下两种情况，即及。
tx（）0,,,1
（1）时的舍选法:
可选择为如下形式:
0x,0,
,1,x,t（x）,0,x,1,,,（）,,xe,x1,,,（,）,
1,,,x1,,xeC,t（x）dx,dx，dx,b/（,,（,））b,（e，,）/e可得到，其中，则,,,001,（）,（）,,
0x0,
,,x1,1/,,,0x1,,（bu）u,,1,,,,bx,,1b,R（x）,x,R（u）,,xr（x）,0,x,1,,e,b（1u）,,b,ln,其它1,x,1,,x,,,b,e,,x1,
b,
15
算法如下:
u~
（1）产生U（0，1）1
Pbu,u~P,1
（2）独立产生U（0，1），令，若，则去第（4）步22
Y1/,ue,xY,Y,P（3）令，若，则选取，且令，否则舍弃，返回第
（1）步1
,1u,YY,,ln[（b,P）/,]xY,（4）令，若，则选取，且令，否则舍弃，返回第
（1）步1
,1
（2）时的舍选法:
1/2,,,,,,（2,,1）,,,txCrx（）（）,,,C,4,e/,,（,）设，，且，则:
2,,1,,xx,,1/,0x,,x,0,u,,,,122,Rx（）,rx（）,,Ru（）,,，x,,,（），x,其中,,1,u,,其它00其它,,
u~u~算法如下:
（1）独立产生U（0，1），U（0，1）12
1/2,,V,（2,,1）lnu/（1,u）
（2）令22
2VVln（u,u）,,,ln4，2,,1）V,,ex,,e12（3）若，则选取，令
（4）否则，舍弃，返回第
（1）步。
16
（,,,）3）.分布12
11,,,,i2,
（1）,xx0,,11x,,,1,,112（）,fx,（,）,,BB（,,,）,t（1,t）dt密度函数为:
其中1212,0,0其它,
利用该分布的特征:
x,（,,,）,（,,,）1,x,若是随机变量，则就是随机变量。
2112
YYY~,（,,1）Y~,（,,1）,,0,,,0,对于任意，若，，且与是独立的，则12112212
Y/（Y，Y）~,（,,,）11212
2离散随机变量的产生――最基本方法是反变换法1）.离散均匀分布DU（i，j）随机变量x取值为[i，j]区间上的整数值
0x,i1,xiij,，{,,,}1？
,x,i，1,，，px（）ji,，1,F（x）,i,x,j,j,i，1,,0其它,,1x,j,
17
x其中表示小于或等于x的最大整数。
方法很简单:
，，
u~
（1）产生U（0，1）
x,i，（j,i，1）u
（2）令，，
2）.几何分布
x，1，，F（x）,1,（1,p）Fx（）,反变换法由其分布函数:
对进行反变换:
x,ln（1,u）/ln（1,p）u~?
产生U（0，1）?
令，，
ppln（）1,pln（）1,p缺点:
当接近0时，也接近0;若接近1，则是一个很大的负数。
精度不易保证,一般要采用双精度运算。
基于几何分布的定义
几何分布的定义:
在独立的伯努里试验序列中，每次试验成功的概率为p，则第一次成功之前失败的次数为几何分布。
产生伯努里随机变量的算法是:
up,u~
（1）独立产生U（0，1）
（2）若，则Y=1，否则Y=0。
18
YY,,？
xiY,,,min{:
}11设是独立进行伯努里试验的随机变量序列，且令，则x服从几何分12
布，算法为:
up,u~ii,，1x,i,1i,1?
令?
独立产生U（0，1）?
若，则，否则，返回第?
步。
3）.二项分布
pt设每次伯努里试验成功的概率为，在次独立的试验中成功的总次数服从二项分布，其质量及分布函数为:
0,0x,
x,，，tt,,,,,xtx,it,ippxt（）{,,,}101,,？
,,（）,,,（1,）0,,Fxppxt,,px（）,x,,,,,1i,i,,,,0其它,
1其它,
t,,,,txtx!
/[!
（）!
],,其中x,,
反变换比较麻烦，可由二项分布的定义找到该分布与伯努里分布的关系，即可用卷积法产生该分布的随机变量:
19
t
xY,YYY,,,？
i,t
（1）独立产生个伯努里随机变量
（2）令12ti,14）.泊松分布
,x,e,,x,{,,}01？
px（）,,x!
泊松分布的密度函数为:
不难看到:
0其它,
,i,,i,1ee,,,,p（i）,,,p（i,1）
i!
i（i,1）!
i
FFFpi,，（）其分布函数可表示成:
iii,1
算法如下:
,u~pe,i，1F,0i,0
（1）令，
（2）产生U（0，1）ii
p,pii，1FFp,，1i，iii，，11（3）令，
FuF,,iii，，11xi,，1ii,，1（4）若，则，否则，，并返回到第（3）步。
20
习题
试编程分别产生符合下列分布的随机数变量:
正态分布:
均值,3.5，方差,5.8
,4.0,,0.3,,分布:
，
泊松分布:
均值,4.2
21
升级会员 