版 数学 高考冲刺总复习预备知识第一章 第1节人教B版新高考.docx

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版数学高考冲刺总复习预备知识第一章第1节人教B版新高考

第1节　集　合

考试要求　1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.

知识梳理

1.元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.

（3）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

文字语言

符号语言

集合间的

基本关系

相等

集合A与集合B中的所有元素都相同

A＝B

子集

集合A中任意一个元素均为集合B中的元素

A⊆B

真子集

集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素

AB

空集

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

3.集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号表示

A∪B

A∩B

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

图形表示

集合表示

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈U，且x∉A}

4.集合的运算性质

（1）A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.

（2）A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.

（3）A∩（∁UA）＝，A∪（∁UA）＝U，∁U（∁UA）＝A.

[微点提醒]

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.

2.子集的传递性：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.

4.∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}.（　　）

（2）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　　）

（3）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立.（　　）

（4）含有n个元素的集合有2n个真子集.（　　）

解析　

（1）错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞），{（x，y）|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.

（2）错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.

（4）错误.含有n个元素的集合有2n－1个真子集.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

2.（必修1P5B1改编）若集合P＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则（　　）

A.a∈PB.{a}∈P

C.{a}⊆PD.a∉P

解析　因为a＝2

不是自然数，而集合P是不大于

的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确.

答案　D

3.（必修1P13A3改编）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________.

解析　由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64（个）.

答案　64

4.（2018·全国Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝（　　）

A.{x|－1

C.{x|x<－1}∪{x|x>2}　D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

解析　法一　A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|（x－2）（x＋1）>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}.

法二　因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}.

答案　B

5.（2019·菏泽模拟）若A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是A________B.

解析　因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，所以B表示奇数集，A表示除以4余1的整数集，所以AB.

答案　

6.（2017·全国Ⅲ卷改编）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.

解析　集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y＝x上所有点的集合，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.

答案　2

考点一　集合的基本概念

【例1】

（1）（2019·湖北四地七校联考）若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则（　　）

A.M＝NB.M⊆N

C.M∩N＝D.N⊆M

（2）若x∈A，则

∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝

的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是（　　）

A.1B.3C.7D.31

解析　

（1）易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M.

（2）具有伙伴关系的元素组是－1，

，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，

，

.

答案　

（1）D　

（2）B

规律方法　1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

【训练1】

（1）（2018·全国Ⅱ卷）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A.9B.8C.5D.4

（2）设集合A＝{x|（x－a）2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________.

解析　

（1）由题意知A＝{（－1，0），（0，0），（1，0），（0，－1），（0，1），（－1，

－1），（－1，1），（1，－1），（1，1）}，故集合A中共有9个元素.

（2）由题意得

解得

所以1

答案　

（1）A　

（2）（1，2]

考点二　集合间的基本关系

【例2】

（1）已知集合A＝{x|y＝

，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A.ABB.BA

C.A⊆BD.B＝A

（2）（2019·杭州调研）已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1

解析　

（1）易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.

因此BA.

（2）A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}.

当B＝时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠时，若B⊆A，如图.

则

解得2

综上，m的取值范围为（－∞，4].

答案　

（1）B　

（2）（－∞，4]

规律方法　1.若B⊆A，应分B＝和B≠两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.

【训练2】

（1）（2019·青岛质检）设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝

，则（　　）

A.MNB.NM

C.M＝ND.M∪N＝R

（2）若将本例

（2）的集合A改为A＝{x|x2－5x－14>0}.其它条件不变，则m的取值范围是________.

解析　

（1）集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝

＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.

（2）A＝{x|x2－5x－14>0}＝{x|x<－2或x>7}.

当B＝时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠时，若B⊆A，

则

或

解之得m≥6.

综上可知，实数m的取值范围是（－∞，2]∪[6，＋∞）.

答案　

（1）C　

（2）（－∞，2]∪[6，＋∞）

考点三　集合的运算　

多维探究

角度1　集合的基本运算

【例3－1】

（1）已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则（　　）

A.A∩B＝

B.A∩B＝

C.A∪B＝

D.A∪B＝R

（2）（2018·天津卷）设全集为R，集合A＝{x|0

A.{x|0

C.{x|1≤x<2}D.{x|0

解析　

（1）因为B＝{x|3－2x>0}＝

，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝

，A∪B＝{x|x<2}.

（2）因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x<1}，因为A＝{x|0

答案　

（1）A　

（2）B

角度2　抽象集合的运算

【例3－2】设U为全集，A，B是其两个子集，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　由图可知，若“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”，则一定有“A∩B＝”；反过来，若“A∩B＝”，则一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁UC.

答案　C

角度3　集合的新定义问题

【例3－3】若集合A具有以下性质：

（ⅰ）0∈A，1∈A；

（ⅱ）若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，

∈A.

则称集合A是“好集”.给出下列说法：

①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.

其中，正确说法的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾；②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，

∈Q，所以有理数集Q是“好集”；③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－（－y）∈A，即x＋y∈A.

答案　C

规律方法　1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.

2.注意数形结合思想的应用.

（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.

（2）连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

（3）集合的新定义问题：

耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.

【训练3】

（1）（2019·延安模拟）若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A.{－1，0，1}B.{－1，0}

C.{－1，1}D.{0}

（2）已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤x

A.0B.1C.2D.1或2

解析　

（1）B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U（A∪B）.A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U（A∪B）＝{0}.

（2）易知A＝[0，1]，因为A∩B只有一个元素，所以a－1＝1，解得a＝2.

答案　

（1）D　

（2）C

[思维升华]

1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.

3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

[易错防范]

1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.

3.解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.

4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1.（2018·全国Ⅲ卷）已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（　　）

A.{0}B.{1}C.{1，2}D.{0，1，2}

解析　由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1，2}.

答案　C

2.（2019·滨州模拟）设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）

A.3B.4C.5D.6

解析　因为A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，

又M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，

∴M＝{5，6，7，8}，即M中有4个元素.

答案　B

3.（2019·日照质检）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，若A＝{0，2，3}，B＝{2，3，4}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（　　）

A.B.{1}C.{0，2}D.{1，4}

解析　因为全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{0，2，3}，B＝{2，3，4}，所以∁UA＝{1，4}，∁UB＝{0，1}，因此（∁UA）∩（∁UB）＝{1}.

答案　B

4.设集合A＝{x|－1

A.（∁RA）∩B＝{x|x<－1}

B.A∩B＝{x|－1

C.A∪（∁RB）＝{x|x≥0}

D.A∪B＝{x|x<0}

解析　易求∁RA＝{x|x≤－1或x>2}，∁RB＝{x|x≥0}，

∴（∁RA）∩B＝{x|x≤－1}，A项不正确.

A∩B＝{x|－1

答案　B

5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}，B＝{x|2x≥8}，则集合A∩B的子集的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析　因为A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}，所以集合A∩B的子集个数为4.

答案　D

6.已知集合M＝{x|y＝

}，N＝{x|y＝log2（2－x）}，则∁R（M∩N）＝（　　）

A.[1，2）B.（－∞，1）∪[2，＋∞）

C.[0，1]D.（－∞，0）∪[2，＋∞）

解析　由题意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}，∴∁R（M∩N）＝{x|x<1或x≥2}.

答案　B

7.设集合A＝{（x，y）|x＋y＝1}，B＝{（x，y）|x－y＝3}，则满足M⊆（A∩B）的集合M的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　由

得

∴A∩B＝{（2，－1）}.

由M⊆（A∩B），知M＝或M＝{（2，－1）}.

答案　C

8.（一题多解）已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围为（　　）

A.（0，1]B.[1，＋∞）

C.（0，1）D.（1，＋∞）

解析　法一　由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝{x|00}＝{x|0

法二　A＝{x|y＝lg（x－x2）＝{x|x－x2>0}＝{x|0

答案　B

二、填空题

9.设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}，T＝{x|x>0}，则（∁RS）∩T＝________.

解析　易知S＝{x|x≤2或x≥3}，

∴∁RS＝{x|2

因此（∁RS）∩T＝{x|2

答案　{x|2

10.（2017·江苏卷）已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________.

解析　由A∩B＝{1}知，1∈B，又a2＋3≥3，则a＝1.

答案　1

11.（2019·济南质检）已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________.

解析　∵A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，

∴B＝{3，7，9，15}，∴A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，

∴集合A∪B中元素的个数为6.

答案　6

12.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.

解析　由题意知，B＝{x|y＝lg[x（x＋1）]}＝{x|x（x＋1）>0}＝{x|x<－1或x>0}，则A－B＝{x|－1≤x＜0}.

答案　{x|－1≤x＜0}

能力提升题组

（建议用时：

10分钟）

13.（2018·河南百校联盟联考）若集合A＝{x|y＝lg（3x－x2）}，B＝

，则A∩（∁RB）等于（　　）

A.（0，2]B.（2，3）C.（3，5）D.（－2，－1）

解析　由3x－x2>0，得0

∴B＝

＝（2，5），

则∁RB＝（－∞，2]∪[5，＋∞），故A∩（∁RB）＝（0，2].

答案　A

14.已知集合A＝{x|y＝

}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为（　　）

A.（－∞，－3]∪[2，＋∞）B.[－1，2]

C.[－2，1]D.[2，＋∞）

解析　集合A＝{x|y＝

}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，则B⊆A，又B≠，所以有

所以－2≤a≤1.

答案　C

15.已知集合A＝{（x，y）|x2＝4y}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B的真子集个数是________.

解析　由

得

或

即A∩B＝{（0，0），（4，4）}，∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.

答案　3

16.

集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则图中阴影部分所表示的集合是________.

解析　易知A＝（－1，2），B＝（－∞，1），∴∁UB＝[1，＋∞），A∩（∁UB）＝[1，2）.因此阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|1≤x<2}.

答案　[1，2）

新高考创新预测

17.（多填题，答案不唯一型）若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：

①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组（a，b，c，d）＝________，符合条件的全部有序数组（a，b，c，d）的个数是________.

解析　显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则

或

若③正确，此时

若④正确此时有

所以符合条件的数组共6个.

答案　（3，2，1，4）（填一个正确的即可）　6