第4章点线面的投影.ppt

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4点、线、面的投影p4.1点的投影p4.2直线的投影p4.3两直线的相对位置p4.4平面的投影p4.5换面法p4.6直线与平面、平面与平面的相对位置4.1点的投影点的单面投影.1.点的三面投影及其特性.1.特殊点的三面投影.1.两点的相对位置.1.重影点的可见性判别PaA点的单面投影若点的位置确若点的位置确定，点的投影是确定，点的投影是确定的。

定的。

Pa（b）B若点的一个投若点的一个投影确定，点的位置影确定，点的位置是不确定的。

是不确定的。

A点的单面投影4.1.1点的三面投影及其特性VWHXZYOAaaaaXaYaZ空间点空间点AH面投影面投影aV面投影面投影aW面投影面投影a4.1.1点的三面投影及其特性XZYWOYHHWVaHaWa移去空间点移去空间点uVV面不动面不动HH面连同水平投影绕面连同水平投影绕XX轴向下旋转轴向下旋转WW面连同侧面投影绕面连同侧面投影绕ZZ轴向右旋转轴向右旋转VWHXZYOAaaaaxayaz4.1.1点的三面投影及其特性VWHXZYOAaaaaXaYaZVWHXZYWYHOaaaaXaZaYHaYW点的投影连线垂直于相应的投影轴点的投影连线垂直于相应的投影轴点的点的H面投影与面投影与V面投影的连线垂直于面投影的连线垂直于OX轴轴aaOX点的点的V面投影与面投影与W面投影的连线垂直于面投影的连线垂直于OZ轴轴aaOZ4.1.1点的三面投影及其特性VWHXZYOAaaaaXaYaZXZYWYHOaaaaXaZaYHaYW某一投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离某一投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离aaZ=aaYH=Aa,点到点到W面的距离面的距离X坐标坐标aaX=aaZ=Aa,点到点到V面的距离面的距离Y坐标坐标aaX=aaYW=Aa,点到点到H面的距离面的距离Z坐标坐标【例例4-1】已知已知A点的点的H面投影面投影a和和V面投影面投影a，求，求A点的点的W面投影面投影a。

XZYWYHOaaaYWbXZbbOYHZXYO4.1.2特殊点的三面投影WVaBHAaabbbCcccaaaccc投影面上的点投影面上的点在该投影面上的投影与空间点自身重合，在该投影面上的投影与空间点自身重合，另外两个面上投影在相应的坐标轴上。

另外两个面上投影在相应的坐标轴上。

YXHVWO4.1.2特殊点的三面投影feddDeEfFdefZ投影轴上的点投影轴上的点在与该投影轴相关的两个投影面上的投影与空间点自身重合，在与该投影轴相关的两个投影面上的投影与空间点自身重合，另一投影面上的投影与坐标原点重合。

另一投影面上的投影与坐标原点重合。

dddXOZYHYWfffeee4.1.3两点的相对位置AOVWHZYXB根据两点的坐标差，可以确定两点的相对位置根据两点的坐标差，可以确定两点的相对位置两点的左右关系，两点的左右关系，XX坐标大在左，小的在右；坐标大在左，小的在右；两点的前后关系，两点的前后关系，YY坐标大在前，小的在后；坐标大在前，小的在后；两点的上下关系，两点的上下关系，ZZ坐标大在上，小的在下。

坐标大在上，小的在下。

bbbaaaYWXZYHOaaabbb4.1.4重影点的可见性判别b（）当空间两点位于同一条投射线上时，则该两点在对应的投当空间两点位于同一条投射线上时，则该两点在对应的投影面上的投影重合为一点，这两点称为对此投影面的影面上的投影重合为一点，这两点称为对此投影面的重影点重影点。

OVWHZYXBbbAaaa4.1.4重影点的可见性判别b（）OVWHZYXBbbAaaaYWXZYHOaaabbb（）不可见的投影字母加括号（不可见的投影字母加括号（）表示）表示判断的基本原则判断的基本原则看第三坐标，大者可见看第三坐标，大者可见4.1.4重影点的可见性判别Xb（c）OVWHZYXBCbccbYWZYHObbccb（c）前遮后前遮后上遮下上遮下左遮右左遮右4.2直线的投影直线的倾角和分类.2.投影面垂直线.2.投影面平行线.2.一般位置直线.2.直线上的点直线的倾角OVWHZYXA倾角倾角:

空间直线对投影面的夹角空间直线对投影面的夹角对对HH面的倾角面的倾角对对VV面的倾角面的倾角对对WW面的倾角面的倾角BOYWXZYHbbbaaaaaabbb直线的分类直线直线一般位置直线一般位置直线特殊位置直线特殊位置直线投影面垂直线投影面垂直线投影面平行线投影面平行线4.2.1投影面垂直线u铅垂线铅垂线H，/V、Wu正垂线正垂线V，/H、Wu侧垂线侧垂线W，/H、V垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面4.2.1投影面垂直线铅垂线铅垂线TLTLa（b）OYWXZYHaabba（b）bOVWHZYXBAbaaa（b）投影特性投影特性HH积聚为一点积聚为一点VV、WW反映实长，反映实长，/OZOZ倾角倾角9090004.2.1投影面垂直线正垂线正垂线dOVWHZYXDCc（d）cdcTLTLOYWXZYHcdcdc（d）投影特性投影特性VV积聚为一点积聚为一点HH、WW反反映映实实长长，/OYOY倾角倾角9090004.2.1投影面垂直线侧垂线侧垂线OVWHZYXFEee（f）fefTLTLOYWXZYHefefe（f）投影特性投影特性WW积聚为一点积聚为一点VV、HH反反映映实实长长，/OXOX倾角倾角9090004.2.1投影面垂直线侧垂线侧垂线OVWHZYXFEee（f）fefTLTLOYWXZYHefefe（f）投影面垂直线的投影特性：

投影面垂直线的投影特性：

在所垂直的投影面上的投影积聚为一点在所垂直的投影面上的投影积聚为一点在另外两个投影面上的投影平行于相关的在另外两个投影面上的投影平行于相关的投影轴，并反映直线实长投影轴，并反映直线实长TLTL4.2.2投影面平行线u水平线水平线/H，V、Wu正平线正平线/V，H、Wu侧平线侧平线/W，H、V平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面4.2.2投影面平行线水平线水平线TLOVWHZYXBAbbbaaaOYWXZYHaaabbb投影特性投影特性HH反映实长反映实长,反映反映、倾角倾角VV、WW长度小于实长长度小于实长,OZOZ4.2.2投影面平行线正平线正平线OVWHZYXcccddd投影特性投影特性VV反映实长反映实长,反映反映、倾角倾角HH、WW长度小于实长长度小于实长,OYOYOYWXZYHdddcccTL4.2.2投影面平行线侧平线侧平线OVWHZYXFEffeOYWXZYHeeefffTL投影特性投影特性WW反映实长反映实长,反映反映、倾角倾角VV、HH长度小于实长长度小于实长,OXOX投影面平行线的投影特性：

投影面平行线的投影特性：

在所平行的投影面上的投影反映实长，在所平行的投影面上的投影反映实长，反映直线与另两个相关的投影面的倾角反映直线与另两个相关的投影面的倾角另外两个投影垂直于相关的投影轴，投另外两个投影垂直于相关的投影轴，投影长度小于实长影长度小于实长4.2.2投影面平行线侧平线侧平线OVWHZYXFEffeOYWXZYHeeefffTL4.2.3一般位置直线与三个投影面均倾斜与三个投影面均倾斜OYWXZYHaaabbbOVWHZYXBAbbbaaa4.2.3一般位置直线OYWXZYHbbbaaaOVWHZYXABaaabbb投影特性：

投影特性：

三个投影均倾斜于投影轴三个投影均倾斜于投影轴投影长度小于实长投影长度小于实长babaZZTLZBAbabaA1TLOVHZYXOX4.2.3一般位置直线直角三角形直角三角形法法求实长和求实长和4.2.3一般位置直线直角三角形直角三角形法法求实长和求实长和BAbaaB1YTLOVHZYXbbabaYYTLOX例例已知已知线段的实长线段的实长ABAB以及以及abab和和aa，求它的正面投影求它的正面投影abab。

aXabAOBb0bb0bb0bb2005-10-2扬州大学孙怀林OVHXaABabbZY4.2.4直线上的点CcccW从属性从属性若点在直线上，若点在直线上，则点的投影必在该直则点的投影必在该直线的同面投影上。

线的同面投影上。

YWOXZYHbbbaaaabccc定比性定比性若点将直线分为两段，则两段的实长若点将直线分为两段，则两段的实长之比等于其投影长度之比。

之比等于其投影长度之比。

AC:

CB=ac:

cb=ac:

cb=ac:

cb【例例4-2】已知直线段已知直线段AB的两面投影的两面投影ab和和ab，在直线在直线AB上求作一点上求作一点K,使使AK:

KB=2:

3。

kkXbaOab12345【例例4-3】已知侧平线已知侧平线AB和和M、N两点的两点的H面和面和V面投影，面投影，判断判断M点和点和N点是否在点是否在AB上上。

baababmmm从属性从属性nnnOXYWZYH【例例4-3】已知侧平线已知侧平线AB和和M、N两点的两点的H面和面和V面投影，面投影，判断判断M点和点和N点是否在点是否在AB上上。

baabmm定比性定比性nnOX3124.3两直线的相对位置.3.两直线平行.3.两直线相交.3.两直线交叉.3.两直线垂直4.3.1两直线平行WacZVCaOAdDbcdbYcbBdaHXZcdbadbccdabXYWaOYH投影特性投影特性两直线的同面投影相互平行；两直线的同面投影相互平行；两直线的长度之比和同面的投影长度之比相等。

两直线的长度之比和同面的投影长度之比相等。

4.3.1两直线平行WacZVCaOAdDbcdbYcbBdaHXZcdbadbccdabXYWaOYH已知已知AB/CD，则则ab/cd,ab/cd,ab/cdAB:

CD=ab:

cd=ab:

cd=ab:

cd4.3.1两直线平行判断两直线是否平行判断两直线是否平行对于两一般位置直线，若有两个同面投影均互相平行，对于两一般位置直线，若有两个同面投影均互相平行，则空间两直线平行；则空间两直线平行；对于平行于同一投影面的两直线，若两个同面投影均互对于平行于同一投影面的两直线，若两个同面投影均互相平行，并且其中一投影反映直线实长，则两直线平行。

相平行，并且其中一投影反映直线实长，则两直线平行。

baabdcdcXObcbdacaOXdbacdabdcdcab【例例4-4】（a）已知两侧平线）已知两侧平线AB和和CD,判断判断AB和和CD是否平行是否平行。

【解一解一】作出第三投影作出第三投影【解二解二】字母顺序一样字母顺序一样,投影长度成比例投影长度成比例ZXYWOYHfeghefhgghef【例例4-4】（b）已知两侧平线）已知两侧平线EF和和GH,判断判断EF和和GH是否平行是否平行。

ZXYWOYH【解一解一】作出第三投影作出第三投影【解二解二】EF和和GH的的V、H投投影字母顺序不一样，影字母顺序不一样，EF和和GH的指向不一的指向不一致致4.3.2两直线相交空间两直线相交空间两直线相交三个同面投影均相交，三个同面投影均相交，并且交点符合点的投影特性。

并且交点符合点的投影特性。

XdbcacbadabdckkkYWYHOZVHAZYBDCdacbWcdbadcabkkkKOXcddcdcbabaabkkkZXYWOYH【