微积分各章习题及详细答案供参考.docx
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微积分各章习题及详细答案供参考
第一章
函数极限与连续
一、填空题
1、已知f（sinx）1
cosx，则f（cosx）
。
2
（4
3x）
2
2、lim
2
）
。
x
x（1x
3、x
0
时，tanx
sinx是x的
阶无量小。
4、limxk
sin1
0建立的k为
。
x
0
x
5、limexarctanx
x
6、f（x）
ex
1,
x
b,
7、limln（3x
1）
x0
6x
。
x
0在x
0处连续，则b
。
x
0
。
8、设f（x）的定义域是[0,1]，则f（lnx）的定义域是__________。
9、函数y1ln（x2）的反函数为_________。
10、设a是非零常数，则lim（xa）x________。
xxa
1
11、已知当x
0时，（1
ax2）31与cosx1是等价无量小，则常数a________。
12、函数f（x）
arcsin3x
的定义域是__________。
1
x
13、lim（x2
2
x2
2）
____________。
x
14、设lim（x
2a）x
8，则a
________。
xxa
15、lim（n
n
1）（
n
2
n）=____________。
n
二、选择题
1、设f（x）,g（x）是[
l,l]上的偶函数，h（x）是[
l,l]上的奇函数，则
中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）f（x）
g（x）；（Ｂ）f（x）h（x）；（C）f（x）[g（x）h（x）]；（D）f（x）g（x）h（x）。
2、
1
x
3
x
（x）
，
（x）
1
x，则当
时有
。
1
x
1
（Ａ）
是比高阶的无量小；
（Ｂ）
是比
低阶的无量小；
（C）
与
是同阶无量小；
（D）
~
。
3、函数f（x）
1
x
1
x
0（x
1）在x
0处连续，则k
31
x
1
。
k
x0
（Ａ）
3；
（Ｂ）
2；
（C）1；
（D）0。
2
3
4、数列极限limn[ln（n1）
lnn]
。
n
（Ａ）1；
（Ｂ）
1；
（C）
；
（D）不存在但非
。
x
sinx
0
x
x
5、f（x）
x
0
，则x
0是f（x）的
0
。
xcos1
x
0
x
（Ａ）连续点；（Ｂ）可去中断点；（C）跳跃中断点；（D）振荡中断点。
6、以下各项中
f（x）和g（x）同样的是（
）
（Ａ）f（x）
lgx2，g（x）
2lgx；
（Ｂ）f（x）
x，g（x）
x2；
（C）
f（x）
3
x
4
x
3
3
2
2
，g（x）xx
1；（）
1
，
g（x）
secx
tanx
。
Df（x）
7、limsinx=
（
）
x0|x|
（Ａ）
1；
（Ｂ）
-1；
（C）
0；
（D）不存在。
1
8、lim（1
x）x
（
）
x
0
（Ａ）
1；
（Ｂ）-1；
（Ｃ）
e；
（Ｄ）
e1。
9、f（x）在x0的某一去心邻域内有界是
limf（x）存在的（
）
x
x0
（Ａ）充足必需条件；（Ｂ）充足条件；（C）必需条件；（D）既不充足也不用要条件.
10、limx（
x2
1
x）
（
）
x
（Ａ）
1；
（Ｂ）
2；
（C）
1；
（D）0。
11、设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且
2
liman
0,limbn
1,limcn
，则必有（
）
n
n
n
（A）
an
bn
对随意n建立；
Bbn
cn
对随意n建立；
（）
（C）极限limancn不存在；
（D）极限limbncn不存在。
n
n
x
1
e
1
12、当
的极限（
）
时，函数x2
1
x1
x
1
（Ａ）等于２；
（Ｂ）等于０；
（Ｃ）为
；
（Ｄ）不存在但不为
。
三、计算解答
1、计算以下极限
（1）lim2
n
sin
x
；
（
2）lim
cscx
cotx
；
2
n1
x
n
x0
1
3x
（3）lim
（
x
1）
；
（4）lim
2x
1
；
x
xe
2x
1
x
（5）lim
8cos2
x
2cosx
1
；
（6）lim
1xsinx
cosx
；
2cos
2
x
cosx1
xtanx
x
x0
3
（7）lim
1
1
1
1
；（8）lim
ln（1
3
2
x）。
n
2
2
3
n（n
1）
x2arctan3
4
x2
３、试确立a,b之值，使lim
x2
1
axb
1。
x
x
1
2
４、利用极限存在准则求极限
1
1
1
1
1
（1）lim
2
3
1
n
n
1。
n
1
1
1
2
3
n
（2）设x1
a
0，且xn
1
axn（n
1,2,
），证明limxn存在，并求此极限值。
n
5、议论函数f（x）
lim
nx
nx
的连续性，如有中断点，指出其种类。
n
x
n
x
n
6、设f（x）在[a,b]上连续，且a
f（x）
b，证明在（a,b）内起码有一点
，使f（）
。
第一单元
函数极限与连续习题解答
一、填空题
1、2sin2
x
。
f（sinx）
1
（1
2sin2x）
2
2sin2
x，
2
2
2
f（x）
2
2x2
f（cosx）2
2cos2
x
2sin2x。
、
。
lim
（43x）2
9x2
24x16
0。
20
x（1
2
）
lim
x
3
x
x
x
x
3、高阶。
limtanx
x
sinx
limtanx（1
x
cosx）
lim（1
cosx）
0
，
x
0
x
0
x
0
4、k
0
tanx
sinx是x的高阶无量小。
。
sin1
为有界函数，所以要使
limxksin1
0，只需limxk
0，即k
0。
x
x0
x
x
0
5、
0
。
limexarctanx
0
（
limex
0,arctanx
（
））。
x
x
2
2
6、b
2
。
lim
f（x）
lim（x
b）
b，
lim
f（x）
lim（ex
1）
2，
x
0
x0
x0
x0
f（0）
b,
b
2。
7、1
limln（3x
1）
lim
3x
1
。
2
x
0
6x
x06x
2
8、
1
x
e
依据题意
要求
0
lnx
1
，所以
1
x
e。
9、y
ex
1
2
y
1
ln（x
2）,
（y
1）
ln（x
2），x
2
ey1，
x
ey
1
2，
y
1
ln（x
2）的反函数为y
ex1
2。
10、e2a
原式=lim（1
x
a
x
2a
e2a。
2a）2a
xa
x
x
a
3
1
1~1ax2（利用教材P58（1
1x2，以
11、a
由（1
ax2）3
x）a
1:
ax）与cosx1~
2
3
2
1
1
ax2
及lim（1
2
3
ax）
1
lim
3
1
2
a
1，
x
0
cosx
1
x0
x
2
3
2
3
可得
a
。
1
1
2
12、
x
由反三角函数的定义域要求可得
4
2
1
3x
1解不等式组可得
1
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