微积分各章习题及详细答案供参考.docx

1、微积分各章习题及详细答案供参考第一章函数极限与连续一、填空题1、已知 f (sin x ) 1cos x ，则 f (cos x)。2(43x)22、 lim2)。xx(1 x3、 x0时， tan xsin x 是 x 的阶无量小。4、 lim xksin 10 建立的 k 为。x0x5、 lim ex arctan xx6、 f ( x)ex1,xb,7、 lim ln( 3x1)x 06x。x0 在 x0处连续，则 b。x0。8、设 f (x) 的定义域是 0,1 ，则 f (ln x) 的定义域是 _ 。9、函数 y 1 ln( x 2) 的反函数为 _。10、设 a 是非零常数，则

2、lim ( x a) x _ 。xx a111、已知当 x0时， (1ax2 ) 3 1与 cosx 1 是等价无量小，则常数 a _。12、函数 f ( x)arcsin 3x的定义域是 _ 。1x13、 lim ( x22x22)_ 。x14、设 lim ( x2a ) x8 ，则 a_。xx a15、 lim ( nn1)(n2n) =_ 。n二、选择题1、设 f ( x), g(x) 是 l , l 上的偶函数， h( x) 是 l , l 上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。（） f ( x)g( x) ；（） f ( x) h( x) ；（ C） f (x) g(x) h( x)

3、 ；（ D） f ( x) g( x) h(x) 。2、1x3x( x)，( x)1x ，则当时有。1x1（）是比 高阶的无量小；（）是比低阶的无量小；（ C）与是同阶无量小；（ D）。3、函数 f (x)1x1,x0( x1) 在 x0处连续，则 k3 1x1。kx 0（）3 ；（）2 ；（C） 1；（D）0。234、数列极限 lim nln( n 1)ln n。n（） 1；（）1；（ C）；（ D）不存在但非。xsin x0xx5、 f ( x)x0，则 x0 是 f ( x) 的0。x cos1x0x（）连续点； （）可去中断点； （ C）跳跃中断点； （D）振荡中断点。6、以下各项中f

4、 ( x) 和 g( x) 同样的是（）（） f ( x)lg x2 ， g(x)2 lg x ；（） f ( x)x ， g (x)x 2 ；（ C）f ( x)3x4x3322， g (x) x x1；（ ）1，g( x)sec xtan x。D f (x)7、 lim sin x =（）x0 | x |（）1；（）-1 ；（ C）0；（ D） 不存在。18、 lim (1x) x（）x0（）1；（） -1 ；（）e ；（）e 1 。9、 f ( x) 在 x0 的某一去心邻域内有界是lim f ( x) 存在的（）xx0（）充足必需条件； （） 充足条件；（ C）必需条件；（ D）既不充

5、足也不用要条件 .10、 lim x(x21x)（）x（）1；（）2；（ C）1 ；（D） 0。11、设 an , bn , cn 均为非负数列，且2lim an0, lim bn1, lim cn，则必有（）nnn（ A）anbn对随意 n 建立；B bncn对随意 n 建立；（ ）（ C）极限 lim ancn 不存在 ；（D）极限 lim bn cn 不存在。nnx1e112、当的极限（）时，函数 x 21x 1x1（）等于；（）等于；（）为；（）不存在但不为。三、计算解答1、计算以下极限（ 1） lim 2nsinx；（2） limcsc xcot x；2n 1xnx 013 x（ 3

6、） lim(x1)；（ 4） lim2x1；xx e2x1x（ 5） lim8 cos2x2 cos x1；（6） lim1 x sin xcos x；2 cos2xcos x 1x tan xxx 03（ 7） lim1111； （ 8） limln(132x) 。n223n(n1)x 2 arctan34x2、试确立 a, b 之值，使 limx21ax b1 。xx12、利用极限存在准则求极限11111(1) lim231nn1 。n11123n（ 2）设 x1a0 ，且 xn1axn ( n1,2,) ，证明 lim xn 存在，并求此极限值。n5、议论函数 f ( x)limnxn

7、x的连续性，如有中断点，指出其种类。nxnxn6、设 f (x) 在 a,b 上连续，且 af ( x)b ，证明在 (a, b) 内起码有一点，使 f ( )。第一单元函数极限与连续习题解答一、填空题1、 2sin 2x。f (sin x )1(12 sin 2 x )22 sin 2x ，222f ( x)22x2f (cos x) 22 cos2x2sin 2 x 。、。lim(4 3x) 29x224 x 160 。2 0x(12)limx3xxxx3、高阶 。lim tan xxsin xlim tan x(1xcosx)lim (1cos x)0，x0x0x04、 k0tan xs

8、in x 是 x 的高阶无量小。sin 1为有界函数，所以要使lim xk sin 10 ，只需 lim xk0 ，即 k0 。xx 0xx05、0。lim ex arctan x0(lim ex0,arctan x(,) 。xx226、 b2。limf ( x)lim ( xb)b ，limf ( x)lim (ex1)2，x0x 0x 0x 0f (0)b,b2 。7、 1lim ln( 3x1)lim3x1。2x06xx 0 6x28、1xe依据题意要求0ln x1，所以1xe 。9、 yex12y1ln( x2),( y1)ln( x2) ， x2ey 1 ，xey12 ，y1ln( x2) 的反函数为 yex 12 。10、 e2a原式 = lim (1xax2ae2a 。2a ) 2ax axxa311 1 ax2 （利用教材 P58(11 x 2 ，以11、 a由 (1ax2 ) 3x)a1 : ax ）与 cos x 1 23211ax2及 lim (123ax )1lim312a1，x0cosx1x 0x2323可得a。11212、x由反三角函数的定义域要求可得4213x1 解不等式组可得1