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第一课数字特性及数列相关

一、整除特性

1、能被常见数字整除的数字特性

（1）被2整除特性：

偶数

（2）能被3整除特性：

一个数字每位数字相加能被3整除。

可以把被三整除的个别数字直接消掉，以减少计算量

（3）被4和25整除特性：

只看一个数字的末两位能不能被4（25）整除

（4）被5整除特性：

末尾是0或5

（5）被6整除特性：

兼被2和3整除的特性

（6）被7整除特性：

划分出末尾3位，大数减小数除以7，能整除说明这个数能被7整除

（7）被8和125整除特性：

看一个数的末3位，能被8（125）整除

（8）被9整除特性：

一个数字每位数字相加能被9整除。

可以把被三整除的个别数字直接消掉，以减少计算量

（9）被11整除：

奇数位的和-偶数位的和，能被11整除

2、关于整除的其他注意事项

（1）被合数整除的数字，也能被其因数整除

（2）三个连续的自然数之和（积）能被3整除

（3）四个连续自然数之和是偶数，但不能被4整除

（4）平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9。

二、奇、偶、质、合性

1、奇偶性

奇数：

不能被2整除的整数

偶数：

能被2整除的整数（0是偶数）

2、奇数和偶数的运算规律

奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数

奇数±偶数=奇数；奇数×奇数=奇数

偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数

3、质合性

质数：

一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称为素数），如2、5、7、11、13

合数：

一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数

1既不是质数也不是合数

4、方法技巧及规律

（1）两个连续的自然数之和（或差）必为奇数。

（2）两个连续自然数之积必为偶数。

（3）乘方运算后，数字的奇偶性不变。

（4）2是唯一一个为偶数的质数

如果两个质数的和（或差）是奇数，那么其中必有一个是2

如果两个质数的积是偶数，那么其中必有一个是2

三、公倍数、公约数（往往考察周期性问题）

四、余数问题

基本形式：

被除数=除数×商＋余数（都是正整数）

1、同余定义

两个整数a、b除以自然数m（m＞1），所得余数相同，则称整数a、b对自然数m同余。

2、四种常考形式：

余同取余、和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。

（1）余同取余，公倍数做周期：

一个数除以几个不同的数，余数相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与余数相加的形式。

（2）和同加和，公倍数做周期：

一个数除以几个不同的数，除数与余数之和相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该和相加的形式。

（3）差同减差，公倍数做周期：

一个数除以几个不同的数，除数与余数之差相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该差相减的形式。

（4）如果三个不符合口诀，先两个结合，再跟第三结合

五、尾数乘方问题

尾数变化规律：

底数留个位，指数除4留余数，余数为0转成4

六、数的拆分与重排

数的拆分是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等

解答数字的重排问题时，经常需要借助于尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解。

七、不定方程

未知数个数多于方程个数叫做不定方程。

通常只考虑他的整数解或正整数解。

常用解法有：

综合利用整数的奇偶性，质合性、整除特性、尾数法、余数特性、特殊之法、代入排除法等多种数学知识得到答案。

八、数列（等差与等比）

（1）等差数列：

求和公式（上底＋下底×高÷2）、中位数求和公式（重点）。

（2）等比数列：

an=a1q（n-1）

第二课终极比例法

比例就是数量之间的对比关系，或指一种事物在整体中所占的分量，运用比例法是将繁琐的数值简化为简单的数值进行分析。

比例问题的重点在于找出两种相关联的量，并明确两者间的比例关系。

比和比例的性质

1.正比：

a÷b=k（k=常数），则称a、b成正比

2.反比：

a×b=k（k=常数），则称a、b成反比

采用比例法的一个重要条件是含有一个固定的乘除等式关系，及1、2所述的正反比例，实际应用中的路程=速度×时间，总量=效率×时间，溶剂=溶液×浓度，利润=成本×利润率。

需特别注意：

三个量中必须有一个量是固定的，另外两个量才有相对关系。

差值比例：

一、常规比例

二、工程问题

工程问题是重点

一、工程问题的本质：

将一般的工作问题分数化，就是研究工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系问题。

二、常用的数量关系式为：

工作总量=工作效率×工作时间

3、工程问题的两大利器

1、比例法

2、特殊值法

4、核心要点：

方程问题，用比例不用方程，用份数不用分数

5、题型分类：

单人完成工程问题、全程合作问题、分阶工程问题、轮流合作型、水管问题、时间效率转化

三、和差比例法

4、三量比例法

遇到三个量或者多个量，建立比例关系，需要通过某一个量的统一，比如①甲：

乙=2：

3，②乙：

丙=4:

5，需要对乙进行搭桥统一成12。

5、恒值比例法

恒值比例法，在研究比例问题的时候，有一个量是恒定不变的，在题干所述的情况下，从头到尾没有发生变化，那么我们可以利用这样的一个对象所代表的比例点来求解。

一般情况下，这种恒量对象在不同的情况下代表的比例点不同，这个时候，需要把不同的比例点化为相同的数值来代替。

第三课行程问题

基础模型之一、相遇追击

1.基本公式：

距离=速度×时间

2.相遇及追及问题：

相遇距离=（大速度＋小速度）×相遇时间…………………………………相向

追及距离=（大速度－小速度）×相遇时间…………………………………同向

3.核心方法：

比例、公式、画图法

4.解决要点：

用比例不用方程、用份数不用分数

基础模型之二、顺流逆流

1、基本行船问题：

顺水速度=船速＋水速

逆水速度=船速－水速

船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2

水速=（顺水速度－逆水速度）÷2

2、顺水漂流问题:

漂流速度=水速

漂流时间

基础模型之三、上下扶梯

1、顺行扶梯长度=（人速+电梯速度）×顺行时间

2、逆行扶梯长度=（人速－电梯速度）×逆行时间

3、顺行扶梯级数=人走过的梯级数+扶梯运行梯级数

4、逆行扶梯级数=人走过的梯级数－扶梯运行梯级数

基础模型之四、环形运动

1、同向运动：

环形周长=（大速度-小速度）×时间

2、反向运动：

环形周长=（大速度+小速度）×时间

基础模型之五、等距离平均速度公式

基础模型之六、公车模型（双向数车）

1、题型特征：

人按一定速度出行，每隔一段时间迎面遇到一辆公交车，每隔一段时间从背后超出一辆公交车，求发车间隔或撤人速度

2、经典公式：

发车间隔时间=

，

基础模型之七、队首队尾

1.队尾→队首：

队伍长度=（人的速度-队伍速度）×时间

2.队首→队尾：

队伍长度=（人的速度+队伍速度）×时间

3.从队尾赶到队首，可看做该人与队首的追击过程

4.从队首赶到队尾，可看做该人与队尾的相遇过程

基础模型之八、火车过桥

1、核心思维：

火车本身长度也是路程的一部分，以火车的头或为作为运动点，按相遇或追击问题考虑

基础模型之九、往返相遇

1、题目特征：

题目表述为两个运动体从一条线段的两端或一端出发，在两端点之间不断往返，求一定时间后相遇次数或第N次相遇时间等。

2、核心知识：

（1）两运动体从两端同时出发，相向而行，不断往返：

第N次迎面相遇，路程和=全程×（2n-1）

第N次追上相遇，路程差=全程×（2n-1）

（2）两运动体从一端同时出发，同向而行，不断往返：

第N次迎面相遇，路程和=全程×2n

第N次追上相遇，路程差=全程×2n

（3）单人的路程

第N次迎面相遇，路程=第一次相遇时所走的路程×2n（或2n-1）

第N次追上相遇，路程=第一次相遇时所走的路程×2n（或2n-1）

基础模型之十、二次相遇

1、题型特征：

两物体从两端点，相向而行，相遇后继续前行到达端点后折返至而次相遇。

题目给出的相遇点到端点的距离，带球两端点距离。

2、核心知识：

两边型：

S=3S1-S2

单边型：

S=（3S1+S2）/2

其中，S表示两端点之间的距离，单边型两次距离都是相对于统一端点。

两边型指两次距离分别相对于两端点。

第四课计数模型

鸡兔同笼

1、列方程法

2、假设法：

先假设全部是某一种，然后求出的值与实际值的差值，除以它们单个的差值，得出来的是另一种。

植树问题

关键在于理清间隔数与端点数之间的关系

1、两端植树：

棵树=线路总长÷株距＋1

2、一端植树：

棵树=线路总长÷株距

3、两端都不栽树：

棵树=线路总长÷株距－1

4、双边植树需要在一条的基础上乘以2

5、封闭性植树，棵树=线路总长÷株距=总段数

6、类似于两端不植树的还有“上楼梯问题”，则上每层用M/（N-1）分钟。

锯木头，剑圣自，锯成N段需要锯N-1次；站成一列，相邻两人间隔M米，队伍长M×（N-1）米。

方阵问题

1、方阵的核心是一个等差数列。

可以将方阵的每一层看做是一项。

每一层边长之差是2，每层周长之差为8，也就是方阵等差数列的所谓公差。

2、每一层，边长和周长的关系：

（1）周长=（边长-1）×4

（2）边长=周长÷4＋1

3、方阵总数：

（1）实心方阵：

m=a2（a为最外层每边人数，即边长）

（2）空心方阵：

m=（最外层每边人数-层数）×层数×4

4.增加或取消行列

（1）增加m行n列，，人数增加=边长×（m+n）+mn

（2）取消m行n列，，人数减少=边长×（m+n）-mn

剪绳问题

1、题目表述：

将一根绳子折成几段，然后在上面剪几刀，求分成段数。

2、经典公式：

2N×M＋1（一根绳子连续对折N次，剪M刀，问绳子被剪成几段）

3、实战秒杀：

最后的段数一定是奇数，直接秒杀

过河问题

1.题目表述：

一只船只能运送N个人，现在M个人等待过河，求过河安排信息

2.核心知识：

共需：

次，如需N个人划船，则1变成N；过一次河指的是单程，往返一次指的是双程。

3.载人过河时，最后一次不需要返回。

空瓶换水

1、题目特征：

一定数量的空瓶子可以换到一瓶水，已有部分空瓶子，求可以换取水的瓶数。

2、经典公式：

若M个空瓶换一瓶水，相当于M-1个空瓶喝到一瓶水。

第五课星期、日期、钟表、年龄

一、年月、星期问题

1、星期推移口诀：

平年就是1，闰年再加1，小月就是2，大月要补加1,7天一循环，28年一周期

2、闰年判定口诀：

四年一闰，百年不闰，四百年再闰。

3、平年是52周余1天，该年最后一天与第一天星期数相同。

闰年是52周余2天，该年最后一天是第一天星期数加1.

二、紧邻的两日：

多的在前，垫后；多的在后，垫前。

当题目中出现连续多个日期之和，或连续几个星期几的日期之和时，这些日期本质上都是等差数列，可以通过计算其平均数来定位这些日期的中位数，从而完成打答题

三、解题技巧（求某一天是星期几）

（1）所求日期与已知日期同月同日不同年。

解决此类问题只用记住一句话，每过一年星期数增加1。

过闰年再加1，也就是说，每过一年星期数就在原来的基础上加1，如果这个时间段包含2月29日这一天则需要再加1。

有几个2月29日就加几个1。

（2）所求日期与已知日期同年同日不同月

解决此类问题，同样只用记住一句话，每过一个月星期数将增加2（或3）。

（3）所求日期与已知日期同年同月不同日

日期之差除以七所得的余数。

年龄问题

1、年龄问题的主要特点：

随着时间推移，年龄差始终不变、年龄倍数变小

2、三大必杀技：

方程、画图、代入排除

钟表问题

钟表问题即时针和分针之间的运动规律和的位置关系。

因此钟表问题其实就是追击问题的变形，从而可以利用钟面上的路程时间以及速度的关系来求解。

一、按格来分，则钟面上的路程（角度）和速度（角速度）有如下关系。

1、每小时：

时针走1大格，5小格；分钟走一圈12大格，60小格

2、每小时：

时针走30°。

分针走360°，他们每小时相差330°。

3、每分钟：

时针0.5°，分钟走6°。

他们每分钟相差5.5°。

4、分针的速度是时针的12倍，时针是分针速度的1/12。

三、解题技巧。

1、可以转化成时针和分针的相遇追及问题，时针速度为0.5°/min；分针速度为6°/min，该方法适用于定量计算。

2、借助画图缩小范围然后进行排除该方法适用于定性计算。

3、直接应用是工具手表通过旋转手表解体。

第六课排列组合

1、排列及组合问题

2、特殊优先法

三、捆绑法

四、插空法

五、插板法

六、逆向计算法

七、错位排列：

元素数为1、2、3、4、5、6时，情况数为：

0、1、2、9、44、265

八、圆周排列：

n个元素，共有（n-1）!

种排列方法。

9、多人传球问题

M个人传N次球，X=

与X最接近的整数为传给非自己的某人的方法数，第二接近的整数便是传给自己的方法数。

10、比赛问题

涉及多支队伍比赛场次的问题（N个队伍）

淘汰赛：

仅需决出冠亚军：

N-1；需决出1234：

N

循环赛：

单循环：

；双循环：

单循环：

任意两只队伍打一场比赛

双循环：

任意两只队伍打两场比赛

第七课几何统筹问题

一、几何问题

1.直线和线段的性质：

过两点有且只有一条直线；两点之间线段最短

2.三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

4.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

5.多边形的角的定理：

n边形的内角的和等于（n-2）×180；任意多边形的外角和等于360度。

6.与周长、面积相关：

面积相等，越接近圆周长最小；周长相等，越接近圆面积越大

7.体积一定，球表面积最小；表面积一定，球体积最大

球体

圆柱体

圆锥

表面积

S=4πr2

S=2πr2+2πrh

体积

2、统筹问题

1.时间统筹

2.装卸工统筹：

X个工厂Y辆车

X≥Y，需要装卸工最多的Y个工厂人数之和

X≤Y，X个工厂所需装卸工之和

3.效率统筹：

与自身比较，找出劣势者所擅长的事情，并安排劣势者全力以赴，另一个人根据这个弱者继续统筹。

4.集中化统筹：

有重量划分时，只考虑重量，不考虑路径。

小往大靠。

如果某一点重量超过总重量的一半时，是最佳位置；不考虑重量时，设置在中间。

5.拆数问题：

拆成2个或3个数的和，使乘积最大，拆成的数尽量接近；拆成若干个自然数的和，使乘积最大，拆分数都由2或3组成，不含其它数字，且3尽量多。

第八课盈亏、容斥、牛吃草问题

1、盈亏问题

类型

公式

盈-亏

两次皆盈

两次皆亏

盈-尽

亏-尽

2、容斥问题

公式1：

总数=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+T

公式2：

总数=A+B+C-a-b-c-2T

3、牛吃草问题

秒杀大法：