4当两点A和B在直线I异侧时，作点B关于直线I的对称点B',连结AB交直线I于点M,此时,|AM-BM|是最大值
送你几道题
（2012福建莆田4分）点A、E均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平
面直角坐标系如图所示•若P是x轴上使得PAPB的值最大的点，Q是y轴上使得
QA十QB的值最小的点，则OPOQ=▲
【答案】5。
【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】连接AB并延长交x轴于点P,作A点关于y轴的对称点A'连接A'B交y轴于点
Q求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论：
连接AB并延长交x轴于点P,
由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA—PB|的值最大的点。
•••点B是正方形ADPC勺中点，
•••P（3,0）即OP=3
值。
•••A'（-1,2）,B（2,1）,
设过A'B的直线为：
y=kx+b,
,k
1
则
2
kb—
，解得
3
O'
5
•Q（0,
5
），即OQ#o
1
2kb
5
3
3
b
3
•OP?
OQ丸5=5。
3
（2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中点，点P是对角线AC
上一动点，则PE+PB的最小值为▲.
D
c
/
J
A
【答案】25。
【分析】连接DE,交BD于点P,连接BD
•••点B与点D关于AC对称，•DE的长即为PE+PB的最小值。
•/AB=4E是BC的中点，•••CE=2
在Rt△CDE中，DE=CD2+CE242+2225。
例5.（2012广西贵港2分）如图，MN为OO的直径，AB是0上的两点，过A作ACLMN
于点C,
过B作BDLMN于点D,P为DC上的任意一点，若MN=20,AC=8,BD=6，贝UPA+PB的最
小值是
【答案】142。
【考点】轴对称（最短路线问题），勾股定理，垂径定理。
【分析】•/MN=20,「.OO的半径=10。
连接OA0B
在Rt△OBD中，0B=10,BD=6,
•0D=OB—BD=102—62=8。
同理，在Rt△AOC中,0A=10,AC=8,
•0C=OA—AC=102—82=6。
•CD=8+6=14。
作点B关于MN的对称点B',连接AB，贝UAB即为PA+PB的最小值，B'D=
BD=6,过点B'
作AC的垂线，交AC的延长线于点E。
在Rt△AB'E中，TAE=AC+CE=8+6=14,B'E=CD=14,
•AB=AE2+B'E2=142+142=142。
例6.（2012湖北十堰6分）阅读材料:
例：
说明代数式x21.（x3）2+4的几何意义，并求它的最小值.
解：
x21.厂3厂4.厂0厂12_厂3厂22，如图，建立平面直角坐标系，
点P（x,0）是x轴上一点，贝V「~0^~12可以看成点P与点A（0,1）的距离，/（x~3厂22可以看成点P与点B（3,2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，
它的最小值就是PA+PB的最小值.
设点A关于x轴的对称点为A',则PA=PA，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA+PB的最小值，而点A'、B间的直线段距离最短，所以PA+PB的最小值为线段A'B的长度.为此，构造直角三角形ACB因为AC=3CB=3所以AB=3©，即原式的最小值为3.2。
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式、.（x1）21（x2）29的值可以看成平面直角坐标系中点P（x,0）与点
A（1,1）、点B的距离之和.（填写点B的坐标）
（2）代数式、/49x212x37的最小值为.
【答案】解：
（1）（2,3）。
（2）10。
【考点】坐标与图形性质，轴对称（最短路线问题）
【分析】
（1）••
•原式化为（x1）212（x
22
2）232的形式，
9的值可以看成平面直角坐标系中点P（x,
•代数式（x1）21
（x2）2
0）与点A
（1,1）、点B
（2,3、的距离之和。
（2）
•••原式化为（x0）2
72（x
22
6）1的形式，
•-ABAC2BC26282=10。
例7.（2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。
如图
（1）,要在燃气管道I上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气•泵站修在管
道的什么地方，可使所用的输气管线最短
你可以在I上找几个点试一试，能发现什么规律你可以在|上找几个点试一试，能
发现什么规律
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道I看成一条直线
（图
（2））,问题就转化为，要在直线I上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这
样的:
1作点B关于直线I的对称点B'.
2连接AB交直线I于点P,则点P为所求.
BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点巳使厶PDE得周长最小.
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：
【答案】解：
（1）作D点关于BC的对称点D'，连接DE，与BC交于点P,P点即为所求。
（2）8.
【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】
（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D',连接D'E,与BC交于点P,P点即为所求。
（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D'E的值，即可得出答案：
•••点DE分别是ABAC边的中点，•••DEABC中位线。
•/BC=6BC边上的高为4,二DE=3DD=4。
•-DEDE2DD232425。
•△PDE周长的最小值为：
DE+DE=3+5=8。
练习题:
1.（2011黑龙江大庆3分）如图，已知点A（1,1）、B（3,2），且P为x轴上一动点，则
△ABP的周长的
最小值为▲.
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2.（2011辽宁营口3分）如图，在平面直角坐标系中，有A（1,2）,B（3,3）两点，现另
取一点C（a,1），当a=▲时，AC+BC的值最小.
3
A
■
2
•
1
0
1
234'
3.（2011山东济宁8分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗
旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。
经实地勘查后,
工程人员设计图纸时，以河道上的大桥0为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐
标系（如图）。
两村的坐标分别为A（2,3）,B（12,7）。
（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥0多远的地方可使所用输水管道最短
（2）水泵站建在距离大桥0多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等
4.（2011辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4,/DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点，贝UDQ+PQ勺最小值【】
A、2B、4C、2/2D、4「2
5.（2011辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCC中，AB=6,BC=8,点E是BC中点，点F是
边CD上的
任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【】
6.（2011贵州六盘水3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=8点E、F分别是边
ABBC的
中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是【】
AB=6,对角线AC
PE+PB的最小值是
A.3B.4C.5D.6
7.（2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中,AB//CD/BAD=90，
平分/BAD点E在AB上，且AE=2（AEvAD），点P是AC上的动点，则
AEB
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