线段和最小及差最大问题.docx

1、线段和最小及差最大问题1当两点A和B在直线I同侧时，若求直线I上点P.使PA+PB最小值 作点B关于直线I的对称点B,连结AB交直线I于点P,此时PA+PB=PA+PB=AB取除此之外的任意一点P,根据三角形两边之和大于第三边，P A+P B=P A+P B AB ,所以点 P 满足 PA+PB最小值尹 :% I*I 那2当两点A和B在直线I异侧时，作直线AB与直线I的交点为点P3当两点A和B在直线I同侧时，作直线AB与直线I的交点为点M此时|AM-BM|是最大值取除此之外的任意一点N,根据三角形两边之差小于第三边，|NA-NB| AB,而 |MA-MB|=AB所以这时|AM-BM是最大值4当

2、两点A和B在直线I异侧时，作点B关于直线I的对称点B,连结AB交 直线I于点M,此时,|AM-BM|是最大值送你几道题（2012福建莆田4分）点A、E均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上， 建立平面直角坐标系如图所示若 P是x轴上使得PA PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则 OP OQ = 【答案】5。【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线 上点的坐标与方程的关系。【分析】 连接AB并延长交x轴于点P,作A点关于y轴的对称点A连接AB交y轴于点Q求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论：连接AB并延长交x轴于点P,由三角形的

3、三边关系可知，点 P即为x轴上使得|PA PB|的值最大的点。点B是正方形 ADPC勺中点， P （ 3, 0）即 OP=3值。 A( -1 , 2), B (2, 1),设过AB的直线为：y=kx+b , , k1则2kb ，解得3O 5 Q( 0,5)，即 OQ# o12k b533b3 OP?OQ丸 5 =5。3（2012四川攀枝花4分）如图，正方形 ABCD中, AB=4, E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 .Dc/JA【答案】2 5。【分析】 连接DE,交BD于点P,连接BD点B与点D关于AC对称， DE的长即为PE+PB的最小值。/AB=4 E是 B

4、C的中点， CE=2在 Rt CDE中，DE= CD2+CE2 42 +2 2 2 5。例5. （ 2012广西贵港2分）如图，MN为OO的直径，A B是0上的两点，过 A作ACL MN于点C,过B作BDLMN于点D, P为DC上的任意一点，若 MN= 20, AC= 8, BD= 6，贝U PA+ PB的最小值是【答案】14 2。【考点】轴对称（最短路线问题），勾股定理，垂径定理。【分析】/ MN= 20,.OO的半径=10。连接OA 0B在 Rt OBD中，0B= 10, BD= 6,0D= OB BD= 102 62= 8。同理，在 Rt AOC中, 0A= 10, AC= 8,0C=

5、OA AC= 102 82= 6。CD= 8 + 6= 14。作点B关于MN的对称点B,连接AB，贝U AB即为PA+ PB的最小值，B D=BD= 6,过点 B作AC的垂线，交AC的延长线于点E。在 Rt AB E 中，T AE= AC+ CE= 8 + 6= 14, B E= CD= 14, AB = AE2+ B E 2 = 142+ 142 = 14 2。例6. （ 2012湖北十堰6分）阅读材料:例：说明代数式 x2 1 . (x 3)2 + 4的几何意义，并求它的最小值.解： x2 1 .厂3厂4 .厂0厂12 _厂3厂22，如图，建立平面直角坐标系，点P(x ,0)是x轴上一点，

6、贝V012可以看成点P与点A(0, 1 )的距离，/(x3厂22 可以看成点P与点B( 3, 2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA与PB长度之和，它的最小值就是 PA+ PB的最小值.设点A关于x轴的对称点为 A,则PA=PA，因此，求 PA+ PB的最小值，只需求 PA + PB的最小值，而点 A、B间的直线段距离最短，所以 PA + PB的最小值为线段 AB的长 度.为此，构造直角三角形 A CB因为A C=3 CB=3所以A B=3，即原式的最小值 为 3 . 2。根据以上阅读材料，解答下列问题：(1) 代数式、.(x 1)2 1 (x 2)2 9的值可以看成平面直角坐标系中点

7、 P (x, 0)与点A (1 , 1)、点B 的距离之和.(填写点B的坐标)(2) 代数式 、/ 49 x2 12x 37的最小值为 .【答案】解：(1) (2, 3)。(2) 10。【考点】坐标与图形性质，轴对称(最短路线问题)【分析】(1 )原式化为 (x 1)2 12 (x2 22)2 32的形式，9的值可以看成平面直角坐标系中点 P( x,代数式 (x 1)2 1(x 2)20)与点A(1 , 1)、点 B(2, 3、的距离之和。(2)原式化为 (x 0)272 (x2 26) 1的形式，- A B A C2 BC2 62 82 =10。例7. （2012四川凉山8分）在学习轴对称的

8、时候，老师让同学们思考课本中的探究题。如图（1）,要在燃气管道I上修建一个泵站，分别向 A、B两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短你可以在I上找几个点试一试，能发现什么规律你可以在 |上找几个点试一试，能发现什么规律聪明的小华通过独立思考， 很快得出了解决这个问题的正确办法. 他把管道I看成一条直线（图（2）,问题就转化为，要在直线 I上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的:1作点B关于直线I的对称点B.2连接AB交直线I于点P,则点P为所求.BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点 巳使厶PDE得周长最小.(1)在图中作出点 P (保留作图痕迹，不写作法)(2)

9、请直接写出 PDE周长的最小值： 【答案】解：(1)作D点关于BC的对称点D，连接D E，与BC交于点P, P点即为所求。(2)8.【考点】轴对称(最短路线问题)，三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】(1)根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称 点D,连接D E,与BC交于点P, P点即为所求。(2)利用中位线性质以及勾股定理得出 DE的值，即可得出答案：点D E分别是AB AC边的中点， DE ABC中位线。/ BC=6 BC边上的高为 4,二 DE=3 DD =4。- D E DE2 DD 2 32 42 5。 PDE周长的最小值为：DE

10、+D E=3+ 5=8。练习题:1.(2011黑龙江大庆 3分)如图，已知点 A(1 , 1)、B(3, 2)，且P为x轴上一动点，则 ABP的周长的最小值为 . 厂1 a a 1 | |1 h ii旧；匕2卫J 丄* LE xIIIi-4-b-1 1 11 * 1 1 1* 一 L |2.(2011辽宁营口 3分)如图，在平面直角坐标系中，有 A(1 , 2) , B(3 , 3)两点，现另取一点C(a, 1)，当a= 时，AC+ BC的值最小.3A21012 3 4 3.( 2011山东济宁8分)去冬今春，济宁市遭遇了 200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，

11、分别向河的同一侧张村 A和李村B送水。经实地勘查后,工程人员设计图纸时， 以河道上的大桥 0为坐标原点，以河道所在的直线为 x轴建立直角坐标系(如图)。两村的坐标分别为 A (2, 3) , B (12, 7)。(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥 0多远的地方可使所用输水管道最短(2)水泵站建在距离大桥 0多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等4.( 2011辽宁本溪3分)如图，正方形 ABCD的边长是4,/ DAC的平分线交DC于点E,若 点P、Q分别是AD和AE上的动点，贝U DQ+PQ勺最小值【 】A 、2 B 、4 C 、2/2 D 、425.（ 2011辽宁阜新3分）如图，

12、在矩形 ABCC中，AB= 6, BC= 8,点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当 AEF的周长最小时，则 DF的长为【 】6.（ 2011贵州六盘水3分）如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC=6, BD=8点E、F分别是边AB BC 的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在 PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】AB=6,对角线ACPE+PB的最小值是A. 3 B . 4 C . 5 D . 67.（ 2011甘肃天水 4分）如图，在梯形 ABCD中, AB/ CD / BAD=90，平分/ BAD点 E在AB上，且 AE=2（ AEv AD），点P是AC上的动点，则A E B