秋钟山区小学数学学科培训古代数学.docx
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秋钟山区小学数学学科培训古代数学
学习中国古代数学思想，
培养学生寻找解决问题的最优方案的意识，提高学生解决问题的能力
----对钟山区2018年秋季学期数学课例研讨（古代数学）的一些看法
暨小学数学学科培训
钟山区第十六小学 苏厚云
一、中国古代数学历史名题在小学数学课程中的地位和意义
在新一轮中小学数学课程中，数学史首先被看作理解数学的一种途径。
那么中国古代数学历史名题在小学数学中有何作用呢？
1.揭示数学知识的现实来源和应用
历史往往揭示出数学知识的现实来源和应用，从而可以使学生感受到数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，认识到数学是一种生动的、基本的人类文化活动，进而引导他们重视数学在当代社会发展中的作用，并且关注数学与其他学科之间的关系。
2.理解数学思维
一般说来，历史不仅可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程。
对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程，而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天衣无缝，同时也相对地失去了生气与天然的、已经被标本化了的数学。
从这个意义上说，历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛，而不是单纯地传授知识。
这既可以激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神，历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握所学的内容。
3.数学历史名题的教育价值
古代数学数学问题将使我们了解到，数学并不是一个静止的、已经完成的领域，而是一个开放性的系统，认识到数学正是在猜想、证明、错误中发展进化的，数学进步是对传统观念的革新，从而激发学生的非常规思维，使他们感受到，抓住恰当的、有价值的数学问题将是激动人心的事情。
4.榜样的激励作用
许多大数学家在成长过程中遭遇过挫折，不少著名数学家都犯过今天看来相当可笑的错误，介绍一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，不仅可以使学生在数学方法上从反面获得全新的体会（这往往能够获得比从正面讲解更好的效果），而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折，对学生正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。
数学思想形成中的曲折与艰辛以及那些伟大的探索者的失败与成功还可以使学生体会到，数学既不仅仅是训练思维的体操，也不仅仅是科学研究的工具，它有着丰富得多的人文内涵。
5.不宜狭隘地将数学史知识视为宣传爱国主义的工具
数学是世界性的科学，我们需要接受世界各民族的优秀文化遗产，而不应过分强调民族主义；以爱国主义为目的的科学史教育常导致只讲成就，不讲弱点，对其他民族的成就又视而不见，一方面是忽略了数学发展中许多有价值的、可以给学生以启发的东西，另一方面是培养了一种狭隘民族主义意识，同时也使学生的思想变得很脆弱，一旦他们知道了反面的东西，将有一种受骗的感觉。
所以，尝试着从数学最本真的面貌向学生呈现数学知识、拓展数学思维，这方面的突破是有意义的。
二、《数学广角——对策》（即《田忌赛马》）的深层次思考（暨田忌赛马”的数学外视角）
我国数学家华罗庚在研究中发现，合理地安排时间可以大大提高工作效率，因此提出了“优选法”，即属于新兴“运筹学”内容之一。
随着社会的发展，优化思想在工业、交通、通信等领域的应用越来越广泛，人们也意识到在日常生活中合理、省时地优化程序可以节省时间，提高工作效率，以此“运筹学”思想被纳入小学《数学》教材，“田忌赛马”就是其中一例。
教材力图利用“田忌赛马”这个素材，引入“对策论”的应用问题
《田忌赛马》所蕴含的哲学（军事）思想：
知己知彼，后发制人。
数学思想：
“最优对策”原理
三、《数学广角——对策》（即《田忌赛马》）的教学设想
（一）教材分析
《田忌赛马》为人教版四年级上册第七单元中的对策论。
这一单元是数学广角。
运筹思想和对策方论的理论都是比较系统、抽象的数学思想方法，在这里只是让学生通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用，初步培养学生的应用意识，提高解决实际问题的能力。
学生只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体会优化思想的应用就可以了，并不要求学生一看到问题就能从优化的角度给出最优的方案。
另外老师在教学中也不要使用运筹、优化和对策等数学化的语言进行描述。
（二）学情分析：
“田忌赛马”的故事学生可能已经了解，但是不一定是从数学的角度去理解的，在这里，通过故事和活动让学生体会对策论在实际中的应用。
对于四年级学生来说，学习优选法、对策论等是比较困难的，要使学生对所学知识有所理解，并激发他们学习的兴趣和欲望，除了把握好教学尺度，注重教学方法外，还应该尽可能地使课堂教学的内容充实、丰富，能更好地帮助学生理解这些思想和方法，了解其在实际生活中的应用。
（三）教学目标
根据教材和学生学情，我们制定如下教学目标:
1.知识技能：
使学生能初步体会到对策论在解决实际问题中的应用。
初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
2.数学思考：
学生能认识到解决问题策略的多样性，了解并感悟优化的数学思想。
3.解决问题：
从多种方案中寻找最优方案、提高解决问题的能力。
4.情感与态度：
通过简单的事例，初步体会对策论方法在解决实际问题中的应用；感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题。
5.教学重点：
体会对策论方法在解决实际问题中的应用，培养学生的策略意识和寻找解决简单的问题的方法（最优对策）意识。
6.教学难点：
初步理解“最优对策”的原理，学生能够把所学知识和实际生活联系起来，有效地运用到实际生活中去。
（四）本次卢飞老师执教的《数学广角——对策》（即《田忌赛马》）的课堂观察。
1.本节课的亮点：
（1）游戏激趣导入
开课伊始，教师充分抓住学生爱玩的天性，设计了游戏环节，让学生和老师一起玩“扑克牌.比大小”，让学生在“对战”中找到“取胜策略”，从而提炼本课的课题：
“数学广角——对策”方法巧妙，课堂气氛活跃，无疑教师对本环节的设计是成功的。
（2）多媒体辅助教学
通过动态的故事情境，让学生感受田忌赛马中的对策问题，引出探究的内容，提高了学生的学习兴趣。
手机与电脑交互式白板的使用让我们看到了信息技术与数学学科有效整合的学习效果——直观、快捷、方便。
（3）合作交流完成学习任务
本节课，教师将学生分为五人小组，小组内每个组员分工明确，让他们在合作交流中完成学习任务，给学生足够的交流和研讨的时间和空间，而且教师也参加到了学生小组活动之中，成为学生学习的参与者。
在师生、生生之间的信息交流和活动交往中，当学生面对实际问题时，教师引导学生多角度多方法寻找解决问题的策略，促进了知识的互补互联，提高了学生解决问题的能力，学生在自主探索，合作交流中体会运筹的数学思想方法，完成本节课的思想渗透——知己知彼，后发制人
（4）体现了数学来源于生活，又服务于生活的教学理念。
整个教学内容的编排，生活气息浓，都是学生身边熟悉的事物，特别是教师所设计的游戏（师生扮演齐威王与田忌PK赛马）让学生有一种较高的代入感和参与意识，并及时引导学生在生活中，遇事要善于思考，讲究策略，使学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法解决生活中的简单问题。
开放式练习设计：
齐威王输掉了比赛，心里肯定不服气，你可以帮齐威王想办法赢得比赛胜利吗？
学生在讨论、表演中经历一次次“失败”后找到“赢的策略--后发制人”，使得整个课堂气氛又一次推向新高潮：
学生意识到世间万事万物都有不确定因素，只有知己知彼，方能百战百胜。
2.对《田忌赛马》策略几点思考
（1）推理不严密。
我们把齐王的三匹马表示为A1、A2、A3，田忌的三匹马表示为B1、B2、B3，通过故事我们能推知：
A1﹥A2﹥A3，
B1﹥B2﹥B3，
A1﹥B1，
A2﹥B2，
A3﹥B3，
从以上条件能推出A1﹥B3，无法推出B1﹥A2，B2﹥A3，尽管说齐王的每一等马都比田忌的马强，但只是定性的说明，没有定量的刻画。
东方式思维方式决定了人们多是“差不多主义”，模糊地想当然地认为理应如此。
这和数学严密的逻辑推理是背离的。
假如学生提出：
一是田忌的上等马胜过齐王的中等马，二是田忌的上等马未必比齐王的中等马好。
那么比赛的结果会如何？
我们如何来回答？
虽然卢飞老师引导学生发现孙膑通过仔细观察分析出齐威王与田忌每个等级的马都“差不多”，让学生知道了仔细观察才能得出结论的道理，但不符合数学学科的严谨性。
另外，学生说不出来运用在哪儿合适。
那我们只能草草提示：
用作团体赛？
战争（兵不厌诈嘛）？
或者赌博？
有些“王顾左右而言他”。
如何回答学生？
学起于思，思起于疑。
我们对本课进行深入的反思。
这个素材安排在小学教材中已经多年了，几乎没有人对它产生质疑。
有些教师对学生提出的问题或置之不理，或习焉不察。
也许是不曾给学生提供讨论的平台，也许是存在“教材至上”的观点，也许由于从来就未思考过这个问题，自然无以应对。
（2）应用范围窄。
对于战争、赌博，学生很陌生，也不适合让他们了解。
教师又不能引导学生做违反规则、投机取巧的事，因为涉及“情感态度价值观”的培养。
所以对于教师来讲，学生提出的用在哪儿，教师有点欲说还休的尴尬。
只有团体赛有它应用的价值，可是学生又参与甚少，缺少活动经验。
（3）不适合“情感、态度、价值观”教育。
“田忌赛马”故事的明线告诉我们：
同样的马匹，由于田忌改变了排列组合，从而实现了由败到胜的转变。
从而表明：
客观事物内部排列组合不同，往往会引起量的变化进而导致质变。
背后暗线不可回避与否认；遵守规则和契约将会失败，破坏规则可以出奇制胜。
用下等马假充上等马、上等马假充中等马、中等马假充下等马于齐威王比赛，为达目的不择手段……如果这种思想植入孩子的灵魂深处，就会养成不讲规则、不守契约、坑蒙拐骗、损人利已的不良品格，不适合培养健全人格的育人原则。
就像严复所说：
“华风之弊，八字尽之。
始于作伪，终于无耻。
”绝非危言耸听，应该引起我们的关注。
（3）作为数学教师不能从只，首先应从数学角度去考虑课堂教学，对本课要从正反两个方面认识：
一方面为学生营造感悟的空间，实践体验解决问题的多种策略，把外化的“做”浓缩为内隐的“思”作为教学重点，但重点应该关注教材中的数学思想。
本节课的数学思想是“最优方案”，应该引领学生从多种方案中找到“唯一的解决方案”，体会对策论方法在解决实际问题中的应用，培养学生的策略意识和寻找解决简单的问题的方法（最优对策）意识。
从这个角度来看，这堂课无疑是一堂“失败的好课”。
我们可以给卢飞老师的这堂课给予这样的评价“让学生在‘小组合作交流’中进行有效的数学学习”。
四、关于《数学广角——鸡兔同笼》的教学
（一）注意渗透数学思想
鸡兔同笼问题是我国民间流传下来的一类数学妙题，它集题型的趣味性、解法的多样性、应用的广泛性于一体，具有训练智能的教育功能和价值，是实施开放式教学的好题材。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》将数学基本思想作为“四基”之一提出，模型思想作为10个核心概念中唯一一个以“思想”之称的概念，实际明示它是数学基本思想之一。
教学过程中，要帮助学生积累思维的经验，逐渐形成自己的合理思维方法。
1．渗透化繁为简的思想
鸡兔同笼的原题数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究。
因此，通过化繁为简思想引导学生从简单问题着手，帮助学生探索出解决该类问题的一般方法后，再解决《孙子算经》中数据较大的原题。
这样处理，可使学生充分体会到从简单问题入手的必要性，经历先寻找简单问题的求解策略，再将其应用到解决较复杂问题的过程，从而使学生初步感受化繁为简的思想。
2．渗透数形结合的思想
让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学重点，也是教学难点。
列表尝试法虽然有局限性，但它是假设法的基础，因此在引导学生用列表尝试法解决问题时，就要有意识地作好铺垫，为下面的教学埋下伏笔。
本课的重点放在理解假设法的算理上，充分运用直观和其他手段（如借助画图，数形结合），能使学生直观地理解推理、调整的过程，包括假设法算式中每一步的含义。
3．渗透数学模型的思想
数学的生命力就在于它能够有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。
将现实问题转化成数学模型是对学生解决问题能力的检验，也是数学教育的重要任务之一。
教学时给学生足够的空间和时间，使学生在巩固解题方法的同时加深对“鸡兔同笼”本质的理解。
鸡兔同笼”问题的教学就是通过实际生活情境，让学生领悟“发现、抽象、简化、解决、处理”问题的整个思维过程。
从“鸡兔”“龟鹤”到“人狗”问题的过程，作出初步的事物对象的提炼，然后通过其它情境突出数量差异的变化，从而提炼简单的问题模型。
最后，将模型演绎到各种生活现象和问题情境中促进模型的进一步内化，完成模型的建构与应用。
㈡、引导学生探索解决问题的策略与方法
在解决“鸡兔同笼”问题的方法中，猜测是探究解决此类问题的基础，列表法则有助于通过有序思考找到问题的答案，假设法则有利于培养学生的逻辑推理能力，切实解决此类问题的一般方法。
当然，学生选用哪种方法解决这类问题均可，不强求用某一种方法。
1．让学生经历问题解决的过程
鸡兔同笼问题，让学生经历解决问题的过程，可以采用数形结合，这一方法比较直观，易学好教，也可采用逐一列表、跳跃列表和折中列表三个层次的列表方法，这种在算的基础上逐步尝试、调整的方法，更符合学生的认知规律和解决问题的习惯，这种回归思维原点、不教也能试的方法，本质就是“逼近”的思想，而“穷举、列表”又体现了分类的思想。
在解题教学中渗透数学思想方法，提高学生的数学素养和能力。
解题过程实质上是在化归思想的指导下，合理联想。
调用一定数学思想方法加工处理题设条件，运用数学思想方法分析解决问题，开拓学生的思维空间,优化解题策略。
人教版呈现的三种不同思维层次的方法，蕴藏着不同的数学思想：
列表法体现了“分类”的思想，假设法蕴涵着“逼近”思想。
在教学中，可从基本的假设法入手，通过例题教学，让学生掌握用假设法解题的技巧，感悟思想方法，并在解决一些实际问题的练习中进行巩固。
2．丰富学生解题策略
通过例题教学展示多种解题策略，并把每种解决方法及时收归到假设法，从假设的角度去融会贯通。
这种处理方法中，如何将其他策略引至假设法是课堂的关键。
对于画图法，可作为理解假设法计算过程的直观辅助手段，起到数形结合加深理解的作用；对于枚举列表法，可作为理解假设法的铺垫材料，因为对列表中鸡（或兔）脚数变化规律的掌握，能促进学生对假设法中难点的突破——即对推理和调整过程的理解；对于方程法，本单元还没有学到，在今后的学习中可作为假设法的另一种形式去理解。
3．有效沟通生活实际问题与“鸡兔同笼”问题的联系
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确了问题解决能力的培养是数学课程教学的重要目标。
问题解决能力的培养体现在几个领域中的不同数学知识与方法的学习过裎中，贯穿于数学学习的全过程。
很多实际问题虽然形式上与“鸡兔同笼”问题不同，但在数量关系上却与“鸡兔同笼”问题一致。
教学时依据学生的认知能力和思维水平，帮助学生将各种生活中的实际问题与“鸡兔同笼”问题沟通起来，有效解决问题。
（二）《数学广角——鸡兔同笼》课堂观察
1.执教教师范馨老师的课堂出彩之处
（1）课前准备充分
整体来说，范馨老师无论是课堂流程设计还是教具的准备都很用心，课堂结构流畅，数学语言规范，条理清晰、利于培养学生逻辑思维能力。
（2）不留痕迹的数学思想渗透
①化繁为简思想的渗透
1>初步感知，创设问题情境。
让我们来回顾一下课堂:
先将《孙子算经》中的原题，结合插图情境地出示——“笼子里有若干只鸡和兔，从上面算有三十五个头，从下面算有九十四足，问鸡兔各有几何？
”学生初步感受到古代数学趣味的同时，却对如何解决此类问题束手无策。
对数字较大的题目，一下找不到解题思路，怎么办？
范馨老师采取“读古文，译白话”的方法，让学生先弄懂问题，在讨论解决问题的办法，告诉学生“可以将数字变小后再来解决问题”这样便可化难为易，化繁为简。
2>抓住数学信息，渗透“转化”思想。
教学中，范馨老师创设好了学习例题的情境之后。
趁势引领孩子们一起学习——首先师生共同分析例1的已知条件和问题，尤其引导学生找出隐藏的条件：
一只鸡有2只脚，一只兔子有4只脚。
接着围绕“头有八个”这个已知条件进行分析，让学生自己独立完找到解决问题的不同方法。
3>图解，数形结合
数离不开形，形离不开数，利用“数形结合”，可以把抽象的数学概念形象化；把复杂的数量关系直观化；把复杂的数学问题简单化，学生乐于学习，进而体会数学的魅力。
开课伊始，范馨老师便和学生一起设计了“头”“脚”的简笔画，帮助学生理解假设法的算理。
用圆圈代表头，短管代表脚。
3.引导辨析争议，为内化认识做准备。
课堂回顾：
学生展示自己找到的“假设法”列式：
假设全是鸡，8×2=16
26-16=10
兔子 :
10÷2=5
出现认知冲突2是什么？
（学生说这里的2是鸡的腿数）。
通过一个有一个学生的辨析回答，最后的出，2是1只图与一只鸡的腿差，应写为（4-2）
课堂通过“正确”与“错误”的小组成果的对比下，很好地理解了假设法的算理，尝试了成功的喜悦。
4.灵活地运用假设法，培养灵活的解题技能
在解题活动中，灵活地运用假设法，往往可以使问题化难为易，使解题思路另辟蹊径，有利于培养灵活的解题技能。
范馨老师在学生通过“拼图”求出鸡和兔子的只数后，进一步提问：
“你能用算式把刚才拼图的思路写出来吗？
问题一出，学生立马伏案写起。
古人的“抬脚法”也是运用了假设法的思想，但是具有局限。
理解假设的内涵和问题本身并不矛盾，正确并恰当地运用假设法不仅可以更快地解决问题，还可以为培养学生的创新能力开辟了新途径。
5.拓展内化，建立数学模型。
小学教学中，老师经常有一个概括式的“小结”，实际就是数学的“建模思想”。
我觉得：
作为数学老师，有责任让学生学习和初步掌握建模的思想方法，从小学慢慢开始渗透，慢慢培养其建模的综合概括能力，对学生今后的学习也将受益匪浅。
此处，范鑫老师为我们做出了很好的示范。
虽然《鸡兔同笼》教学任务重，解决方法多，而且难理解，但教师的教学环节安排合理，基本都能展示出来了。
这一点实验小学的范馨老师做的较好，他并没有把自己放在“权威”的立场上，而是在每一个自主学习环节加以都引导启发，让学生目的明确地去进行探究学习，经历“猜想--探究--验证--得出结论”的过程，从学习中找到乐趣，同时思路得以正确引导，降低了学习的难度。
从中抽象出本节课的数学模型：
假设法，而介绍《孙子算经》中的“抬脚法”的理念是：
教孩子数学，应该从精巧解法中带他们领略数学之趣，更应该从普适方法中帮他们领略数学之美——你看，你觉得很巧妙的方法，原来可以统一到某一个方法之下，这个新方法，更强大，更好用，可以解决更多问题，可以涵盖各种巧解妙解。
6.在平等、安静的课堂氛围中关注学生习得
不知从什么时候起，我们的数学课发生了改变，似乎不讨论变不是课改，不活动便不是研讨。
我们的数学课堂一度以孩子们“小脸发红、小眼发亮、小手直举，小口直开”作为一堂好课的标志。
我们需要安静的数学课堂。
如果我们的数学课堂能合理地创造让学生安静学习的空间，相信我们的学生一定会有脚踏实地的学习风气，一定能养成认真倾听的好习惯。
看多了“热热闹闹”的观摩课，今天范馨老师的“安静”的数学课堂无疑是一股清流，让我们再次感受到数学课的平实与朴素无华。
范馨老师在与学生交流时的放低身段，鼓励时平等对话（不着急。
时间交给你。
我把你的想法用表格来表示。
......），无一不彰显一位资深数学老师独到的语言素养与人格魅力。
一堂课大多数时间是在学生独立思考与书写中流逝的。
这让我想起一句话：
“润物细无声”，我们的数学教育不正需要这样的效果吗？
（三）对本次《鸡兔同笼》教学的一点建议
可以更关注学生学习的有效性，给予孩子们更多讨论与自由发挥的时间与空间，学生出现的问题可以让学生自己去改正，让课堂不留遗憾。
五、小学数学课中更深层次的思考：
（1）关注学生的学习，学点练点，对学生的目标达成情况要加以检测；放下身段，建立民主平等和谐的数学课堂；学会放手，放开他们的嘴，放开他们的手、更要放开他们的思想。
让孩子们去飞。
（2）教师的基本功：
①语言：
第一，准确明晰，具有科学性
数学是一门严密、精确的科学，数学语言表达必须严谨、科学。
在小学阶段，学生正在打基础，概念的揭示、问题的剖析、内容的阐述都必须用正确科学的语言表达。
具有科学性的语言应当周到严密、
含义准确、措词精当、不生歧义。
这样才能正确揭示客观事物的本质特征，给学生以清晰明确的认识。
否则，只能使学生信疑不定，甚至引起判断上的失误，从而搅乱学生的思维，更不能说半句留半句。
第二，简洁练达，具有逻辑性
教学语言要简洁明快，干净利落，不拖泥带水，不罗嗦重复，要言简而意明、意赅、意丰，学生既容易接受，又便于记忆。
教学语言更要逻辑严密，句句连贯，环环紧扣，层次分明，切忌颠三倒四，前后矛盾。
第三，点拨引导，具有启发性
施教之功，贵在引导，妙在开窍。
数学教师要善于用启发性的语言给予恰当的点拨引导，促使学生开动脑筋，积极主动地去探求解决疑难的途径。
第四，激活思维，具有思考性
教师要善于运用富含哲理和情理的语言激活学生的思维，为学生思考问题解决疑难铺路搭桥。
课堂教学中，要在知识的关键处、理解的疑难处、思维的转折处和规律的探求处提出问题让学生思考回答，问题设计一定要具有启发性和导向性.
第五，风趣幽默，具有生动性
教师上课时要根据学生心理特点，运用有趣的教学语言，寓教学于趣味之中。
这就要求教师上课时用语要鲜明活泼，形象生动，使学生在不知不觉、欢声笑语中到达知识的彼岸。
当然，讲求教学语言的生动形象、风趣幽默，要注意语言的纯净化，做到生动有度，活泼有格。
小学课堂教学语言还要避免成人化、土语化、杜绝语病和习惯性“缀尾语言”注意规范化和示范性。
比如“对策是怎么弄出来的？
”“像是把它斗（凑）出来的一样”“什么呀……什么呀”“对不对？
”“然后呢……然后呢”“那么……那么”
②外表形象：
第一，公开场合男士最好着正装，鞋一定要干净；
第二，女士根据自身年龄、身材优势着装，发挥长处，避免短板，衣裙不超过三种颜色；可化淡妆，既不可浓妆艳抹，也不可清水素面。
一点感想
最后，作为一个资深小学数学教师，想和分享一点心得：
教学是我们的事，教会是高兴的事，会教是幸福的事。
愿我们大家都能做一个幸福的小学数学教师。
谢谢大家！
二零一八年十一月十三日
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