中美初中数学函数一章论文终稿.docx
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中美初中数学函数一章论文终稿
中美初中数学教材《函数》一章的比较研究
摘要
函数是中学数学的核心内容，是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、微积分等都与函数知识有直接的联系。
本文选用了北京师范大学版的数学课本（简称北师大版）以及美国的《情境数学》（Mathematicsincontext））（简称MAC版）作为比较对象，从中美初中数学教材《函数》一章进行比较研究。
本文从中美函数例题方面、中美函数习题方面、中美函数的教材编写特点进行比较，其中进行了中美函数教材内容中例题的比较、中美函数教材在作业辅导中例题的比较与中美的例题教学给我们的启示；也进行了中美函数习题方面的比较，有中美一次函数习题的比较、二次函数章节习题对比与编排顺序的对比等。
关键词：
初中数学；中美数学教材；比较；函数
THEJUNIORMIDDLESCHOOLMATHEMATICSTEACHINGMATERIALCOMPARATIVESTUDYOF“FUNCTION”CHAPTER
ABSTRACT
Functionisthecorecontentofthemiddleschoolmathematics,"link"ofalgebra,algebraicexpressions,equations,inequalities,series,calculushaveadirectlinkwiththefunctionknowledge.ThisissueselectsBeijingNormalUniversityEditionofmathtextbooksandAmerican’s"Mathematicsincontext"ascomparisonobjections.ComparativestudyofjuniorhighschoolmathematicstextbookofChinaandtheUnitedStatesfromthechapter"function".Thispaperfromtheaspectsoffunction,thefunctionexerciseexamples,thefunctionoftheteachingmaterialcompilationcharacteristicsarecompared,Amongthemwerecompared,thefunctioninthetextbookexamplesofcontentandfunctioncomparisonoftextbookexamplesinthehomeworkoftheexampleteachingandtheinspirationtous;Alsocomparethefunctionexerciseof,AcomparisonbetweenChinaandtheUnitedStates,afunctionexercisestwotimescontrastfunctionexercisesandsequencecomparison.
Keywords：
mathematicsofjunior;MathematicstextbooksinChinaandtheUnitedStates;comparison;functionaloperation
目录
1前言1
2中美函数例题方面的比较2
2.1中美函数教材内容中例题的比较2
2.1.1美国函数教材内容中的例题2
2.1.2中国函数教材内容中的例题2
2.1.3中美函数教材内容中例题的比较3
2.2中美函数教材在作业辅导中例题的比较3
2.3中美的例题教学给我们的启示4
2.3.1扩大例题运用的范围4
2.3.2教师为学生设计有针对性的例题4
2.3.3重新看待例题的教学效果4
2.3.4设计与学生生活密切相关的例题5
3中美函数习题方面的比较6
3.1中美一次函数习题的比较6
3.1.1函数概念7
3.1.2用待定函数法确定函数解析式8
3.1.3一次函数表达式中k的意义与一次函数三种表示方式间的转化8
3.2二次函数章节习题对比9
3.2.1水平1的比较10
3.2.2水平2的比较11
3.2.3水平3的比较12
3.2.4水平4的比较12
3.3编排顺序的对比13
3.3.1问题的故事背景14
3.3.2对结论进行解释15
3.3.3问题解决15
3.3.4合作学习17
3.3.5调查实验17
4中美函数的教材编写特点的比较18
4.1中国函数教材编写特点的分析18
4.1.1各领域内容穿插编排18
4.1.2向学生提供现实、有趣、富有挑战性的学习素材18
4.1.3展现数学知识的形成与应用过程18
4.1.4逐步渗透重要的数学思想方法18
4.1.5为学生提供探索、交往的时间与空间19
4.2美国函数教材编写特点的分析19
4.2.1注重数学应用19
4.2.2注重数学联系20
4.2.3呈现方式多样化20
4.3中美函数教材特点的比较21
4.3.1图文并茂21
4.3.2注重数学联系21
4.3.3注重数学应用22
4.3.4数学思想渗透观念不同22
5结论23
参考文献24
致谢25
1前言
函数是中学数学的核心内容，是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、微积分等都与函数知识有直接的联系。
中美初中数学函数教材的比较一直是理论探索的热点，有关中美初中数学课程、教材比较的论文研究著居高不下，而函数部分又是初中数学的重要部分，贯穿于以后的所有学习历程，所以文章选取函数部分作为比较研究对象。
国内外许多人士已经对初中数学教材作出许多研究，有中日初中数学教材中的“比例与反比例”比较，有新加坡与中国数学课程关于函数内容的比较研究，有中美两国数学教材中函数概念的比较等。
如沈威与涂荣豹在2009年《教学与管理》第七期上发表的探析数学例题教学的规律，他们分析了例题在教学中的作用，探究了例题在教学中的规律；王文光在2009年发表的初中数学教材“数与代数”领域的中美比较研究，他比较了中美两国“代数”的内容标准；古媛在2002年广西梧州师范高等专科学校学报中第十八卷第二期的发表的中日数学课程内容的比较研究——二次函数，她比较了中日两国二次函数课程内容的设置情况等等。
本文从中美初中数学教材函数一章入手，深入的去探究两国关于函数部分的异同，在细节上进行比较，得到切合我国教学实际的结论。
通过比较研究中美初中数学教材函数，更加清楚地认识我国数学教育与我国的教材。
通过多角度的比较，我们将得到了中美函数各有特点的结论。
2中美函数例题方面的比较
例题，指具有详细步骤的解决好的范例。
“例题与习题交替教学”（workedexamplewithpractice）是指在教学中交替运用例题与习题的教学策略
。
在20世纪50、60年代，例题学习早已成为教育心理学研究的主题，当时关注的是例题学习对概念形成的作用。
RichardCatrambone提出了创设更好的例题帮助学生解决实际问题。
从80年代开始，Sweller及其同事开始探讨基于习题的教学对问题解决的作用。
Sweller的一系列研究及其课堂调查激发了例题学习研究的高潮，现亦称为“例题研究”（workedexampleresearch）。
现在，美国教育部官方网站“如何组织教学”一栏中仍提倡“例题与习题交替”（workedexamplewithpractice）的学习策略。
运用例题与习题交替的教学策略能帮助教师有针对地解决困扰学生的问题，有效地纠正学生的错误观念。
由此可见例题的重要性
。
2.1中美函数教材内容中例题的比较
例题是教材中的重要内容，是学生对知识的第一印象，精准传达知识点的例题是教学成功与否的关键所在。
精读中美教材，我们不难发现中美教材的例题是存在差异的。
2.1.1美国函数教材内容中的例题
美国教学中的例题是帮助学生形成解决问题的策略的工具，教师可以根据课堂需要随意变更例题，需要时会有很多例题出现。
在美国课堂教学中，教师为学生提供与学生生活密切相关的例题。
一般围绕一条主线，贯穿整章，形成紧凑的知识结构。
美国教师认为学生在课堂教学中习得一种策略之后并不能立刻独立运用这种策略，或者学生可能在课堂中无法完全掌握这种教学策略。
学生可能存在“认知错觉”（knowingillusion），即对自己的学习过分自信，在还没有完全掌握的时候误以为已经完全掌握，解决问题中还会遇到类似的问题。
因此仍需要进一步的引导。
2.1.2中国函数教材内容中的例题
中国教材中的例题是学生要学会的范例，是学生必须掌握的，例题少而精。
例题呈现的方式多种多样，以一例题——多习题为主。
我国中学课堂中，教师和学生先提出问题，然后共同探究解决问题的方法，并在解决问题的基础上，总结出解决问题的方法和策略，然后学生运用总结出来的策略独立解决问题。
一般情况下课程结束之后，要求学生掌握所学的方法和解决问题的策略。
中国教师认为大多数学生在学习之后，能独立运用所学策略解决问题，不能独立解决问题的学生是“学困生”，他们的学习需要进一步辅导。
他们认为课堂教学，通过讲解，呈现了许多与问题类似的例题，已经给学生讲清楚例题解决问题的每一步骤，能让学生在例题与要解决的问题之间建立了联系，并形成有效的迁移。
2.1.3中美函数教材内容中例题的比较
通过比较，我们了解到中国教材注重课堂，认为课堂的例题可以满足学生的，达到预定的教学效果。
而美国则认为不同的学生有不同的学习能力，为了达到所有学生的均衡发展，还设定了作业例题这一版块，注重对知识的复习巩固，达到共同进步的教学效果。
2.2中美函数教材在作业辅导中例题的比较
美国教材要求教师在家庭作业中为学生提供解决问题的详细步骤，以帮助学生形成问题解决策略。
教师在为学生设计作业时，借助一定的工具进行细致地分析，并设计有针对性的例题帮助学生。
我国教学也运用例题，但例题大多只运用于课堂教学中，例题以课堂中例题的形式出现，很少运用于作业辅导中。
课堂上师生共同解决的问题即为例题。
家庭作业是围绕所学的问题进行练习，学生运用课堂上学到的问题解决策略独立完成家庭作业，教师不提供辅助性材料。
教师设计家庭作业时需考虑以下问题：
问题的类型、解决问题需要的具体步骤、问题的难易程度、解决问题要运用的关键策略、学生可能遗漏的步骤或可能出现的错误。
教师借助下面的表格思考学生解决问题中可能存在的困惑，帮助学生设计例题。
表2-1例题模式
问题类型
解决问题需要的步骤
问题难易程度（容易、适中、难）
解决问题的关键策略
学生可能遗漏的步骤或可能出现的错误
通过比较，我们发现由于两国的教育方式、教育观念、对学生的期望、教材体制不相同，美国将例题运用于家庭作业中以帮助学生形成问题解决策略并独立完成家庭作业，可以看出美国教师在家庭作业中运用例题能更细致地帮助学生。
他们精细地分析每一问题的类型、解决问题的步骤、难易程度、学生解决问题需要的策略、可能遇到的问题或困惑。
当老师将这些问题了然于心的时候，能为学生提供有针对性的例题，学生解决问题的每一步都有模板，解决问题会容易很多。
通过逐步减少例题，帮助学生逐渐掌握问题解决策略。
所以我们得到综合性的比较结论：
课堂上教师呈现问题解决的过程和方法，在课堂上或讲解、或探究、或合作，让学生从中习得问题解决策略，也就是说例题在教学中的主要作用。
而家庭作业是学生运用习得的策略解决问题的习题，这说明例题教学在作业中也发挥着不可小看的作用。
2.3中美的例题教学给我们的启示
在基础教育课程改革的背景下，运用例题学习具有重要的意义。
基础教育课程改革强调充分发挥学生的自主性和能动性，让学生学会学习，并将自主学习作为学生的主要学习方式之一。
而例题学习可以改变学生被动地接受知识的地位，可以调动学生学习的积极性，有助于学生思维能力和问题解决技能的培养，符合基础教育课程改革的精神。
从美国运用“例题与习题交替”的教学策略中，我们能得到以下启示
：
2.3.1扩大例题运用的范围
我国教学中，例题只用于课堂教学中，很少运用于作业辅导中。
长期以来，家庭作业整齐划一，学生的学习能力是有差异的，将一样的作业布置给不一样的学生，会使有些同学做无谓的重复，而有些同学仍然感到吃力。
我们提倡给不同的学生布置不同的作业，让每一个学生都能在作业中有“跳起来能摘到的果子”。
例题与习题交替的教学策略为实现不同的学生布置不同的作业提供了可操作的方法。
给不同的学生布置不同的作业，给不同的作业辅以不同的例题。
2.3.2教师为学生设计有针对性的例题
教师在布置作业的时候，要认真分析问题的类型，明确解决问题需要的步骤，问题的难易程度，解决问题需要哪些关键策略，学生可能遇到哪些问题或可能出现哪些错误。
找出学生学习的困难所在，给学生提供针对性的例题
。
2.3.3重新看待例题的教学效果
课堂是教学的主阵地，课堂上学生通过例题的学习，通过与老师、同学的分析、总结等手段学习问题解决策略。
但是，有少数学生在经过课堂教学之后还不能完全掌握所学的问题解决策略，有一部分学生课堂能掌握但过一阶段会遗忘。
这些都是由学生的学习习惯、认知发展的特点决定的。
如果遇到这样的学生，教师首先要改变自己对例题教学效果的看法，认真地分析学生没有学会或遗忘的原因，帮助他们克服这些困难，最终获得问题解决策略。
2.3.4设计与学生生活密切相关的例题
研究表明，与学生密切相关的例题能激发学生的学习兴趣，帮助学生更快地习得问题解决策略。
所以，无论在教学还是作业辅导中，教师都可以设计与学生生活密切相关的例题激发学生自主学习的内在动力。
3中美函数习题方面的比较
3.1中美一次函数习题的比较
在总结了例题的差异后，习题的比较是我们比较总体差异的又一重要参考标准。
为了更深入的了解中美教材关于函数的差异，本文整理统计了北师大版教材与MAC版教材一次函数习题的数量、习题类型，进行了细致性的比较。
统计比较表格如下（表3-1）：
表3-1北师大版教材与MAC版教材一次函数习题表
考察的知识点和思考方法
北师版
MAC版
函数的概念
由实际问题建立一次函数解析式
画函数图象
用待定函数法确定函数解析式
一次函数图像的应用
一次函数在几何中的运用
对一次函数表达式中k的意义的讨论
一次函数与不等式（组）的综合运用
一次函数与二元一次方程（组）的综合运用
一次函数三种表达方式间的转化
开放性
合作学习
有背景的题
无背景的题
总计
3
7
6
6
15
1
3
5
4
6
1
0
10
47
57
5.3%
12.3%
10.5%
10.5%
26.3%
1.8%
5.3%
8.8%
7.0%
10.5%
1.8%
0%
17.5%
82.5%
0
13
9
0
8
4
0
0
2
0
9
7
47
5
52
0%
25.0%
17.3%
0%
15.4%
7.8%
0%
0%
3.8%
0%
17.3%
13.5%
90.4%
9.6%
在“一次函数”一章中可以看出，中美之间最主要的区别就是习题的故事背景。
按理说，各种函数在现实生活中应该有丰富多彩的习题，各种各样生动活泼的应用。
从上表可看出在北师版中，“一次函数”一章的57个习题中，只有10个习题有实际背景，仅占了全习题的近17.5%，但是在美国初中教材MAC版本中，52道题目中没有背景的只有5道，也就是说有故事背景的占了90.4%。
其中北师版教材中的函数概念、用待定函数法确定函数解析式、一次函数图像的应用、对一次函数表达式中k的意义的讨论、一次函数与不等式（组）的综合运用、一次函数与二元一次方程（组）的综合运用、一次函数三种表达方式间的转化，这几类型题中均比MAC版本的习题比例高，特别是函数的概念、用待定函数法确定函数解析式、对一次函数表达式中k的意义的讨论、一次函数与不等式（组）的综合运用、一次函数三种表达方式间的转化，这几类题中，MAC版本并没用出习题。
而在MAC版教材中，在由实际问题建立一次函数解析式、画函数图象、一次函数在几何中的运用、开放性、合作学习这几类题型中习题所占比例均高于北师大版教材中的习题比例。
通过比较习题的内容还发现很多的不同，MAC版教材的习题数量多，习题的背景更具有现实意义，如汽车的运行速度随时间的变化；城镇居民人口的变化；爆米花摊点卖出的数量随时间的变化；原地跳每分钟的次数随时间的变化；产品利润随价格的变化；每个月份日出的时间变化：
一天中某港口内水深的变化；一天中心情随时间的变化；饥饿程度随时间的变化；美国每个年龄段的青少年吸烟比例的变化；历届奥运会400米跑金牌得主的速度变化；停车费用随时间的变化等等。
通过以上表格，发现在函数的概念、用待定函数法确定函数解析式、对一次函数表达式中k的意义的讨论、一次函数与不等式（组）的综合运用、一次函数三种表达方式间的转化等几方面题型中差异较大，现选取以下几方面进行比较
：
3.1.1函数概念
在函数概念的学习之后，北师版教材安排了考察函数概念的习题，如下（图3-1）：
图3-1北师版习题截图
MAC版在函数概念的学习之后，基本上没有函数概念的习题，给出的是“写出下面的逆运算a.加法b.减法c.乘法d.除法”，“一个长方体被涂上了蓝色然后沿着直线切制成1英寸的正方体，有多少个正方体有两个蓝色的面？
”，“观察下图三角形状数字的模型，在一面有10个点的三角中有多少个点？
”等。
与本章主要内容无关的习占了19%，完全没有涉及关于一次函数、一元一次方程等重要概念的习题。
3.1.2用待定函数法确定函数解析式
待定系数法不仅是一种解决函数问题的重要方法，也是一种重要的数学思想。
北师版教材注重此种方法并加以应用，安排了待定函数法确定函数解析式的类型习题如下：
某电信公司手机的A类收费标准如下：
不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分交费0.4元。
（l）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式：
（2）某手机用户这个月通话时间为巧2分，他应缴费多少元？
（3）如果该手机用户本月预交了200元的花费，那么该用户本月可通话多长时间？
MAC教材中没有给出待定系数法的习题，连相关的内容也并未涉及。
这是中美函数教材中一次函数习题部分的重要区别。
3.1.3一次函数表达式中k的意义与一次函数三种表示方式间的转化
函数均有其表达式，表达式中的系数均有其几何意义，掌握这些几何意义对于学生把握知识内涵有很大作用。
一次函数表达式中的一般形式
中
的具体意义对学生掌握一次函数的内涵同样意义深刻。
不同的表达方式可以相互转换，这是解决一次函数问题的另一重要部分。
北师版教材习题中的一大特色:
关于一次函数表达式中k的意义的讨论与一次函数三种表示方式间的转化部分的习题，具有典型性的特点。
通过此类习题可以使学生对一次函数的本质认识得更充分、更全面。
例如其中涉及对一次函数一般表达式k的意义的习题、k与函数图象的方向关系的问题，如下（图3-2）：
又如：
在同一个直角坐标系内依次画出函数
，
，
的图象。
（1）这几个图象之间有什么差别，又有什么联系？
（2）一次函数
的一次项系数k对函数的图象有什么影响？
图3-2北师版习题截图
目的是让学生了解一次函数
表达式中的
、
与其图象的关系。
掌握一次函数的具体意义，升华知识内涵。
同时北师版教材还编排了一次函数与不等式（组）的综合运用这种类型习题如下：
例4已知函数
与
的图象交点在第四象限，求k的取值范围。
MAC教材中并没有关于一次函数系数
的意义、以及综合性习题。
这也是中美教材的另一差异，这部分差异说明我国教材注重知识的内涵、结构。
3.2二次函数章节习题对比
美国教材选取美国《情境数学》（MathematicsinContext）“二次函数”，包括：
探索二次方程，二次函数。
和它对应的是我国北京师范大学出版的《数学》“二次函数”（九年级第一学期），包括二次函数的概念，二次函数的图像两节，本文以顾泠沅提出的数学认知水平分析框架为依据对该部分习题进行比较，以及对两国教材有更深认识
。
布卢姆等的《教育目标分类学》在认知领域有6大类别：
知识、领会、运用、分析、综合、评价。
他的分类理论由于缺乏可靠的实证，其在连续性和层次性方面存在漏洞。
鉴于此，顾泠沅等先后两次（1990，2007）进行大样本测试，从大量外显行为所表征的教学目标中析取内隐主要因素，由此确定目标框架的层次并研究分类的连续性。
最后经过改造，数学认知水平分析框架分为4层次架构：
水平1：
计算——操作性记忆水平。
水平2：
概念——概念性记忆水平。
水平3：
领会——说明性理解水平。
水平4：
分析——探究性理解水平。
其中，水平1、2为记忆水平，为较低认知水平。
水平3、4为理解水平，属于较高认知水平。
第4水平（探究性理解水平）通常称作高认知水平。
根据以上数学认知水平分析框架，我们对中美教材“二次方程及函数”中的习题进行分类（见表3-2）。
结合二次方程及函数内容，我们把数学认知水平分析框架具体化。
表3-2中美教材“二次方程及函数”习题认知水平比较
水平—1
水平—2
水平—3
水平—4
合计
中国
美国
46
（31.1%）
237
（36.2%）
36
（24.3%）
27
（4.1%）
57
（38.5%）
290
（44.3%）
9
（6.1%）
101
（15.4%）
148
655
注：
水平1：
计算——操作性记忆水平；水平2：
概念——概念性记忆水平；水平3：
领会——说明性理解水平；水平4：
分析——探究性理解水平；表中括号前数字为该水平题目个数，以小题计算，大题中有若干小题以小题计算，多项选择题则不分。
括号内为该数字占全部题目的百分比。
3.2.1水平1的比较
水平1：
计算——操作性记忆水平。
按照课本要求的程序或方法进行基本计算或对问题中的元素进行常规操作。
这里我们把与较简单例题形式相同的习题、作图等归为水平1。
以下进行两国初中数学函数教材中水平1的比较。
美国方面的习题：
下列函数中（x是自变量），哪些是二次函数？
中国方面的习题：
下列函数中（x、t是自变量），哪些是二次函数？
通过比较以上在中美两国教材具体实例，我们发现：
二次函数习题形式相同。
根据统计数据，发现所占比例接近。
根据表格中美习题水平1所占比例，以及上述具体实例，不难发现在中美教材中对于水平1的比较结果是在操作性记忆水平的题目所占比例相似，即两国的习题中和例题形式一样或非常相似的题目比较多，约占三分之一。
这说明中美两国均注重基础性知识的训练，大篇幅的系统性习题不仅巩固学生所学的知识，而且提高学生的数学素养，由此来加强学生对基础知识掌握的牢固性。
3.2.2水平2的比较
水平2：
概念——概念性记忆水平。
考察学生对课本概念、规则、表达形式记忆的题目。
从表
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