陕西中考数学专题复习线段最值问题.docx

陕西中考数学专题复习线段最值问题.docx

《陕西中考数学专题复习线段最值问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《陕西中考数学专题复习线段最值问题.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

陕西中考数学专题复习线段最值问题

线段最值问题

★1.问题探究

（1）如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小；

（2）如图②，在等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，点P是高AD上的任意一点，求BP＋PE最小值；

问题解决

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点G为边AD的中点，若点E、F为边AB上的两个动点，点E在点F的左侧，且EF＝1，当四边形CGEF的周长最小时，请在图中确定点E与点F的位置，并求出此时四边形CGEF周长的最小值．

第1题图

解：

（1）如解图①，连接DE，过D点作BC的对称点D′，连接D′E交BC于P，连接DP，

即P点为使得△PDE周长最小的点．

∵点D、E分别是AB、AC边上的中点，BC＝6，

∴DE＝3，

又∵BC边上的高为4，

∴DD′＝4，

∵DD′⊥BC，DE∥BC,

∴DD′⊥DE，

∴ED′＝

＝

＝5，第1题解图①

∴△PDE的周长的最小值为DP＋PE＋DE＝D′E＋DE＝5＋3＝8；

（2）如解图②，作点E关于AD的对称点E′，连接BE′，交AD于点P，

连接EP，

∵在等边△ABC中，AB＝BC＝2，

点E是AB的中点，AD是高，

∴点E′为AC的中点，

∴BE′⊥AC，

∴BP＋PE＝BE′＝

＝

＝

；

第1题解图②第1题解图③

（3）如解图③，作G关于AB的对称点M，

在CD上截取CH＝1，

然后连接HM交AB于E，

在EB上截取EF＝1，

那么E、F两点即可满足使

四边形CGEF的周长最小．

∵AB＝4，BC＝6，G为边AD的中点，

∴DG＝AG＝AM＝3，

∵AE∥DH，

∴

＝

，

∴

＝

，即

＝

，

∴AE＝1，

∴GE＝

＝

＝

，

∵BF＝2，

∴CF＝

＝

＝2

.

∵CG＝

＝

＝5，

∴四边形CGEF周长的最小值为：

GE＋EF＋FC＋CG＝

＋1＋2

＋5＝6＋3

.

★2.

（1）如图①，已知⊙O及⊙O外一点C，请在⊙O上找一点P，使其到点C的距离最近；

（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P.请在图中画出点P的运动路径，并求出点P到点C的最短距离；

（3）如图③，AC为边长为4的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°.点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA方向向终点C和A运动，连接AM和BN，交于点P，求点P到直线CD的最短距离．

第2题图

解：

（1）如解图①，连接OC交⊙O于点P，点P即为所求；

第2题解图①

（2）由题知BM＝CN，

在△ABM和△BCN中，

，

∴△ABM≌△BCN（SAS），

∴∠AMB＝∠BNC，

又∵∠PBM＝∠CBN，∴△PBM∽△CBN，

∴∠BPM＝∠BCN＝90°，

∴∠APB＝90°，

如解图②，连接AC、BD交于点O，取AB中点E，则以点E为圆心，BE为半径的

即为点P的运动路径，连接EC交

于点F，则点P与点F重合时，点P到点C距离最近．

第2题解图②

在Rt△BCE中，CE＝

，

∵BE＝

AB＝2，BC＝4，

∴CE＝2

，

∵EF＝B′E＝

AB＝2，

∴CF＝CE－EF＝2

－2，

∴点P到点C的最短距离为2

－2；

（3）由题知BM＝CN.

∵四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，

∴∠ACB＝

∠BCD＝60°，

∴∠ABC＝∠ACB.

在△ABM和△BCN中，

，

∴△ABM≌△BCN，

∴∠AMB＝∠BNC，

∴△BPM∽△BCN，

∴∠BPM＝∠BCN＝60°，

∴∠APB＝180°－∠BPM＝120°.

如解图③，分别作线段AB、BP的垂直平分线，两线交于一点E，则以点E为圆心，EB为半径的

为点P的运动路径．

连接EC，交

于点F，当点P与点F点重合时，点P到CD的距离最近．

∵∠ABC＝∠ACB＝60°，且AB＝BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴CE为AB的垂直平分线，

∴∠BCE＝30°，

＝

，

∵∠BEC＝2∠BAP＝60°，第2题解图③

∴∠EBC＝90°，

∴在Rt△EBC中，CE＝

＝

＝

，

BE＝

＝

＝

，

又∵EF＝BE，

∴CF＝CE－EF＝

.

∴点P到直线CD的最短距离为

.

★3.问题探究

（1）请在图①的△ABC的边BC上作一点P，使AP最短；

（2）如图②，点P为△ABC内部一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠APC.

求证：

点P到点A、B、C的距离之和最短，即PA＋PB＋PC最短；

问题解决

（3）如图③，某高校有一块边长为400米的正方形草坪ABCD，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在P点处，使点P到B、C、D三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？

若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由．

第3题图

（1）解：

如解图①所示，过点A作BC的垂线，垂足为P，点P即为所求；

第3题解图

（2）证明：

如解图②，将AB绕点B逆时针旋转60°，得到A1B，将PB绕点B逆时针旋转60°，得到P1B，连接P1A1，P1P，A1A，A1B，根据作图可知△AA1B和△PP1B均为等边三角形，

则PP1＝PB，

∵△AA1B、△PP1B为等边三角形，

∴A1B＝AB，BP1＝BP，∠A1BA＝∠P1BP＝60°，

∴∠A1BP1＋∠P1BA＝∠PBA＋∠P1BA，

∴∠A1BP1＝∠PBA，

∴△A1BP1≌△ABP，∴P1A1＝PA，

∴P1A1＋PP1＋PC＝PA＋PB＋PC，

连接A1C，根据两点之间线段最短可知，当P1A1＋PP1＋PC＝A1C时，PA＋PB＋PC最短，

∵∠APB＝∠BPC＝∠APC＝

×360°＝120°，

∴∠A1P1B＝∠APB＝∠BPC＝120°，

又∵△BP1P为等边三角形，∠A1P1B＋∠BP1P＝∠BPP1＋∠BPC＝180°，

∴A1、P1、P、C四点共线，

∴P1A1＋PP1＋PC＝A1C，

∴当∠APB＝∠BPC＝∠APC时，PA＋PB＋PC最短；

（3）解：

存在符合条件的点P.

如解图③，以CD为边作等边△CDE，再作△CDE的外接圆⊙O，连接BE，交⊙O于点P，此时PB＋PC＋PD最小．

在PE上截取PQ＝PC.

∵在等边△CDE中，∠DCE＝∠CDE＝60°，

∴∠CPE＝∠CDE＝60°（同弧所对的圆周角相等），

第3题解图③

∴△CPQ为等边三角形，

∴CQ＝CP，∠PCQ＝60°，

∴∠PCD＋∠DCQ＝∠DCQ＋

∠ECQ＝60°，

∴∠PCD＝∠ECQ，

又∵CD＝CE，PC＝QC，

∴△PCD≌△QCE（SAS），

∴PD＝QE，

∴PB＋PC＋PD＝PB＋PQ＋QE＝BE最小，

理由如下：

设点M为正方形ABCD内任意一点，连接BM，CM、DM，将△CMD绕点C顺时针旋转60°得到△CGE，

∵BE

∴BE为PB＋PC＋PD的最短距离．

在Rt△CEF中，∠ECF＝30°，CE＝400米，

∴EF＝

CE＝200（米），CF＝CE·cos30°＝200

（米），

∴BF＝BC＋CF＝400＋200

（米），

在Rt△BEF中，BE＝

＝

＝200（

＋

）≈773米．

∴点P到B、C、D三点的距离之和最小值为200（

＋

）米（或约为773米）．

★4.问题探究

（1）如图①，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D在AB上，则CD的最小值为________；

（2）如图②，△ABC是等边三角形，D、E、F分别为BC、AB、AC的中点，点Q在BD上，且BQ＝

BD.连接EF，动点P在EF上，若AB＝6，求PQ＋PD的最小值；

问题解决

（3）随着近年来“农家乐”热潮不断，果农张伯利用自家果园建起了“农家乐”，以增加家庭收入．他将自家如图③所示的正方形果园ABCD分成两部分，如△ABC和△ADC所示，然后在边DC上取点E，使得AE平分∠DAC所示，分别在△ABC、△AEC、△ADE中种植了樱桃、葡萄和猕猴桃．因为果园入口在D处，AD边正好处在人流较大的大路上，为了方便游客，需要在AE上建立一个凉亭P，并在AD上设一个销售点Q，要求PD＋PQ的长度最小．已知整个果园的边长为100米．请在如图③中画出点P的具体位置，并计算PD＋PQ的最小长度．

第4题图

解：

（1）9.6；

【解法提示】要使CD最短，则CD⊥AB，

如解图①，过点A作AE⊥BC于点E，

∵AB＝AC，∴BE＝CE＝

BC＝6，

在Rt△ABE中，AB＝10，BE＝6，

由勾股定理得AE＝

＝8，第4题解图①

∵S△ABC＝

AB·CD＝

BC·AE，

∴CD＝

＝

＝9.6，

∴CD的最小值为9.6.

（2）如解图②，连接AD，

∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，

∴AD垂直平分BC.

∵E、F分别是AB、AC的中点，

∴EF∥BC且EF平分AD，第4题解图②

∴EF垂直且平分AD，

∴点A与点D关于EF对称，

连接AQ，AQ交EF于点P′，连接P′D，则此时DP＋PQ＝AP＋PQ＞AQ＝P′A＋P′Q，则AQ为最小．

在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝3，由勾股定理得：

AD＝

＝

＝3

，

在Rt△ADQ中，BQ＝

BD，DQ＝BD－BQ＝BD－

BD＝

BD＝2，

由勾股定理得AQ＝

＝

＝

；

∴PQ＋PD的最小值为

；

（3）如解图③，过点D作DG⊥AE，交AC于点G.

∵AE平分∠DAC，

∴AE垂直平分DG，

∴点G与点D关于AE对称，

过点G作GQ⊥AD于点Q，交AE于点P，第4题解图③

此时PD＋PQ＝PG＋PQ＝GQ，根据

（1）中结论可推GQ即为PD＋PQ的最小值，此时P点即为所求作的点．

∵AE平分∠DAC，

∴∠DAF＝∠GAF，

在△DAF与△GAF中，

，

∴△DAF≌△GAF（ASA），

∴AG＝AD＝100米．

结合正方形ABCD性质可知∠GAQ＝45°，

在Rt△AQG中，∠AQG＝90°，∠GAQ＝45°，AG＝100米，

∴GQ＝AGsin45°＝100×

＝50

（米），

∴PD＋PQ的最小值为50

米．

★5.

（1）如图①，已知点A和点B为直线l同侧两点，试在直线l上找出一点P，使得PA＋PB最小；

（2）如图②，已知牧马人在A处养马，他需要将马赶到B处，但在此之前需要给马“吃饱喝足”，则请帮助牧马人设计一条最短路线，并进行证明；

（3）如图③，若BC是水边，DE为草地的边界，牧马人在A点，A点到BC所在直线的距离AB＝2km，A点到DE所在直线的距离AE＝3km，若∠EAB＝120°，请求出牧马人由A点出发给马吃饱喝足后返回A点的最短距离．

第5题图

【思维教练】

（1）要确定直线同侧两点与直线上某点的连线的和最短，通常需要联系到将军饮马问题，只需作其中一个点关于这条直线的对称点，则对称点与另外一点的连线所在的直线与原直线的交点即为所寻找的点；

（2）要确定最短路线，可分别作出A、B两点关于草地边沿、河边沿的对称点，然后连接两对称点与草地边沿所在直线和河边沿所在直线的交点即为所求作点．可在两条直线上任取两点，利用对