第五讲分解因式.docx

第五讲分解因式.docx

《第五讲分解因式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五讲分解因式.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第五讲分解因式

第五讲分解因式、分式

1、分解因式

因式分解（分解因式），把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

分解因式与整式乘法为相反变形。

同时也是解一元二次方程中因式分解法的重要步骤.

方法：

1、提公因式法

2、运用公式法

3、分组分解法

4、拼凑法

5、配方法

6、待定系数法

7、十字相乘法

原则：

1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）

2．最后结果只有小括号，分解因式的结果必须是以乘积的形式表示

3．分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

1、提公因式法：

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“—”号时，多项式的各项都要变号。

例1：

x+y+xy+1

=（x+xy）+（y+1）

=x（1+y）+（y+1）

=（x+1）（y+1）

1、若已知x3＋3x2－4含有x－1的因式，试分解x3＋3x2－4＝（x-1）（x+2）^2

2、因式分解（3a－b）^2－4（3a－b）（a＋3b）＋4（a＋3b）^2＝[3a-b-2（a+3b）]^2=（a-7b）^2

3、因式分解a^2－a－b^2－b＝（a+b）（a-b-1）

4、因式分解（x＋1）^2（x＋2）－（x＋1）（x＋2）^2＝-（x+1）（x+2）

5、因式分解x^2－4x－ax＋4a＝（x-4）（x-a）

确定公因式的方法：

确定公因式的一般步骤

（1）如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-"提取。

（2）取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。

（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。

2、运用公式法

另外还有配方法、直接开平方法与分解法。

公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的结果。

解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接带入求根公式，可避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

1.化方程为一般式：

ax^2+bx+c=0（a≠0）

2.确定判别式，计算Δ。

Δ=b^2-4ac；

3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：

x=[-b±√Δ]/2a；

若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:

x1=x2=-b/2a；

若Δ<0，该方程在实数域内无解，但在虚数域内解为x=[-b±√（b^2-4ac）]/2a。

任何一元二次方程组都能写成一般形式：

ax^2+bx+c=0（a≠0）.①

运用配方法能否解出①呢？

移项，得

ax^2+bx=-c.

二次项系数化1，得

x^2+（b/a）x=-c/a.

配方

x^2+（b/a）x+（b/2a）2+=-c/a+（b/2a）2.

即

（x+b/2a）^2=（b2-4ac）/4a2②

∵a≠0

∴4a2>0

b2-4ac的值有三种情况：

1）b^2-4ac>0

由②得

x+b/2a=±√b^2-4ac/2a

∴x=（-b±√b^2-4ac）/2a

2）b^2-4ac=0

由②得　x=-b/2a

3）b^2-4ac<0

由②得　（x+b/2a）2<0

∴实数范围内，此方程无解

一般的，式子b^2-4ac叫做方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的判别式，通常用希腊字母Δ表示它，即　Δ=b^2-4ac

综上所述，当Δ≥0时，方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的实数根可写为　x=（-b±√b^2-4ac）/2a　的形式，这个式子叫做一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的求根公式,由求根公式可知，一元二次方程的根不可能多于两个。

3、分组分解法

能分组分解的方程有四项或六项或大于六项，一般的分组分解有两种形式：

二二分法，三一分法。

二二分法：

ax+ay+bx+by

=（ax+ay）+（bx+by）

=a（x+y）+b（x+y）

=（a+b）（x+y）

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

用另外两个相同的来换:

ax+ay+bx+by

=（ax+bx）+（ay+by）

=x（a+b）+y（a+b）

=（a+b）（x+y）

三一分法：

2xy-x^2+1-y^2

=-x^2+2xy-y^2+1

=-（x^2-2xy+y^2）+1

=1-（x-y）^2

=（1+x-y）（1-x+y）

4、十字相乘法

能把某些二次三项式分解因式。

要务必注意各项系数的符号。

十字相乘法的方法简单来讲就是：

十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。

其实就是运用乘法公式（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab的逆运算来进行因式分解。

把2x²-7x+3分解因式.

1-3

╳

2-1

1×（-1）+2×（-3）=-7

例2把6x^2-7x-5分解因式.

6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）

例3、把5x²+6xy-8y²分解因式.

解5x+6xy-8y=（x+2y）（5x-4y）.

例4、把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式.

5、配方法：

将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法

解方程：

2x²+6x+6=4

分析：

原方程可整理为：

x²+3x+1=0，通过配方可得（x+1.5）²=1.25，通过开方即可求解。

解：

2x²+6x+6=4

<=>（x+1.5）²=1.25

<=>

，

例】已知实数x,y满足x²+3x+y-3=0，则x+y的最大值为____。

分析：

将y用含x的式子来表示，再代入（x+y）求值。

解：

x²+3x+y-3=0<=>y=3-3x-x²，

代入（x+y）得x+y=3-2x-x²=-（x²+2x-3）=-[（x+1）²-4]=4-（x+1）²。

由于（x+1）²≥0,故4-（x+1）²≤4.故推测（x+y）的最大值为4，此时x，y有解，故（x+y）的最大值为4.

证明非负性

【例】证明：

a²+2b+b²-2c+c²-6a+11≥0

解：

a²+2b+b²-2c+c²-6a+11=（a+3）²+（b+1）²+（c+1）²，结论显然成立。

对于任意的a、b（这里的a、b可以代指任意一个式子，即包括超越式和代数式），都有

，

（一般情况下，前一个公式最好用于对x²±y²配方，后一个公式最好用于对x²±ax进行配方）

对于任意的a、b、c，都有

（一般情况下，这个公式最好用于对x²+y²+z²进行配方）

配方时，只需要明确要进行配方两项或三项，再套用上述公式即可。

待定系数法

待定系数法，一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

在初中竞赛中经常出现。

例：

分解因式：

X^3-4x^2+2x+1

解：

令原式=（x+a）（x^2+bx+c）=x^3+（a+b）x^2+（ab+c）x+ac

因为x^3-4x^2+2x+1=x^3+（a+b）x^2+（ab+c）x+ac,所以a+b=-4a=-1

ab+c=2解得b=-3

ac=1c=-1

∴x^3-4x^2+2x+1=（x-1）（x^2-3x-1）

2、分式

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母。

掌握分式的概念应注意：

判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/B的形式，关键要满足：

（1）分式的分母中必须含有字母。

（2）分母的值不能为零。

若分母的值为零，则分式无意义。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式

无限不循环小数也是无理式

无理式和有理式统称代数式

有意义的条件

（1）分式有意义条件：

分母不为0；

（2）分式无意义条件：

分母为0；

（3）分式值为0条件：

分子为0且分母不为0；

（4）分式值为正（负）数条件：

分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。

1.分式的基本性质：

分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：

，

（A,B,C为整式，且B、C≠0）。

2.约分：

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

3.分式的约分步骤：

（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

注：

公因式的提取方法：

系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

4.最简分式：

一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式。

5.根据分式的基本性质，异分母的分数可以通分，使几个分数的的分母相同；同样，根据分式的基本性质，分式也可以进行类似的变形，使几个异分母分式的分母相同，而分式的值不变。

6.通分：

把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。

7.分式的通分步骤：

先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。

同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。

注：

最简公分母的确定方法：

系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。

注：

（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质

（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。

[2]

1.同分母分式加减法则：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用字母表示为：

。

2.异分母分式加减法则：

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母（最简公分母）的分式，然

分式

后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

用字母表示为：

。

备注：

异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

如：

和

可化为

和

.即：

，

3.分式的乘法法则：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

用字母表示为：

。

4.分式的除法法则：

（1）.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

。

（2）.除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:

。

5.乘方法则：

分子相乘做分子，分母相乘做分母，可以约分的约分，最后化成最简。

6.约分：

把一个分式的分子和分母的公因式约去的过程为约分。

比例线段

4条线段a,b,c,d中，如果a与b的等于c与d的比，即

，那么这四条a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段

分比性质：

如果

，那么

等比性质：

如果

，那么

黄金分割点:

把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

其比值是一个无理数，用分数表示为（√5-1）/2，取其前三位数字的近似值是0.618。

ACB