密码学中的数论基础.ppt

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数论是密码学特别是公钥密码学的基本工具。

数论概念:

研究“离散数字集合”运算是“+”,“”例:

整数:

5+9=14;53=5+5+5=15多项式:

x2+1+x=x2+x+1;xx2+1=x3+x1.数论简介运算概念运算:

模数运算模多项式运算进一步运算:

指数运算,逆运算整除对整数b!

=0及a,如果存在整数如果存在整数m使得a=mb,称b整除a,也称b是a的因子记作b|a例1,2,3,4,6,8,12,24整除241.因子:

设a，b（b0）是两个整数，如果存在另一整数m，使得a=mb，则称b整除a，记为b|a，且称b是a的因子因子。

1.1素数和互素数整数具有以下性质：

a|1，那么a=1。

a|b且b|a，则a=b。

对任一b（b0），b|0。

b|g，b|h则对任意整数m、n有b|（mg+nh）。

1.1素数和互素数这里只给出的证明，其他3个性质的证明都很简单。

性质的证明：

由b|g，b|h知，存在整数g1、h1，使得g=bg1,h=bh1所以mg+nh=mbg1+nbh1=b（mg1+nh1）,因此b|（mg+nh）。

1.1素数和互素数2.素数:

称整数p（p1）是素数素数，如果p的因子只有1，p。

任一整数a（a1）都能惟一地分解为以下形式：

其中p1p2pt是素数，ai0（i=1,t）。

例如91=711，11011=7112131.1素数和互素数这一性质称为整数分解的惟一性，也可如下陈述：

设P是所有素数集合，则任意整数a（a1）都能惟一地写成以下形式：

其中ap0,等号右边的乘积项取所有的素数，然而大多指数项ap为0。

相应地，任一正整数也可由非0指数列表表示。

例如：

11011可表示为a7=1,a11=2,a13=1。

两数相乘等价于对应的指数相加，即由k=mn可得：

对每一素数p,kp=mp+np。

而由a|b可得：

对每一素数p,apbp。

这是因为pk只能被pj（jk）整除。

1.1素数和互素数3.互素数称c是两个整数a、b的最大公因子，如果c是a的因子也是b的因子，即c是a、b的公因子。

a和b的任一公因子，也是c的因子。

表示为c=gcd（a,b）。

1.1素数和互素数由于要求最大公因子为正，所以gcd（a,b）=gcd（a,-b）=gcd（-a,b）=gcd（-a,-b）。

一般gcd（a,b）=gcd（|a|,|b|）。

由任一非0整数能整除0，可得gcd（a,0）=|a|。

如果将a，b都表示为素数的乘积，则gcd（a,b）极易确定。

例如：

300=223152；18=2132gcd（18,300）=213150=6一般由c=gcd（a,b）可得：

对每一素数p，cp=min（ap,bp）。

1.1素数和互素数由于确定大数的素因子不很容易，所以这种方法不能直接用于求两个大数的最大公因子，如何求两个大数的最大公因子在下面介绍。

如果gcd（a,b）=1，则称a和b互素互素。

1.1素数和互素数整数互素整数a,b互素是指它们没有除1之外的其它因子8与15互素8的因子1,2,4,815的因子1,3,5,151是唯一的公因子素数与不可约多项式素数:

只有因子1和自身1是一个平凡素数例2,3,5,7是素数,4,6,8,9,10不是素多项式或不可约多项式irreducible:

不可写成其他因式的乘积x2+x=xx+1是非不可约多项式;x3+x+1是不可约多项式一些素数200以内的素数:

2357111317192329313741434753596167717379838997101103107109113127131137139149151157163167173179181191193197199素数分解把整数n写成素数的成绩分解整数要比乘法困难整数n的素数分解是把它写素数的乘积eg:

91=713;3600=243252设n是一正整数，a是整数，如果用n除a，得商为q，余数为r，则a=qn+r,0rn,其中x为小于或等于x的最大整数。

用amodn表示余数r，则。

如果（amodn）=（bmodn），则称两整数a和和b模模n同同余余，记为abmodn。

称与a模n同余的数的全体为a的同余类的同余类，记为a，称a为这个同余类的表示元表示元素素。

注意：

如果a0（modn），则n|a。

1.2模运算同余有以下性质：

若n|（a-b），则abmodn。

（amodn）（bmodn），则abmodn。

abmodn,则bamodn。

abmodn,bcmodn,则acmodn。

从以上性质易知，同余类中的每一元素都可作为这个同余类的表示元素。

1.2模运算求余数运算（简称求余运算）amodn将整数a映射到集合0,1,n-1，称求余运算求余运算在这个集合上的算术运算为模运算模运算，模运算有以下性质：

（amodn）+（bmodn）modn=（a+b）modn。

（amodn）-（bmodn）modn=（a-b）modn。

（amodn）（bmodn）modn=（ab）modn。

1.2模运算性质的证明：

设（amodn）=ra，（bmodn）=rb，则存在整数j、k使得a=jn+ra，b=kn+rb。

因此（a+b）modn=（j+k）n+ra+rbmodn=（ra+rb）modn=（amodn）+（bmodn）modn（证毕）性质、的证明类似。

1.2模运算例：

Z8=0,1,7，考虑Z8上的模加法和模乘法，结果如下表所示。

1.2模运算从加法结果可见，对每一x，都有一y，使得x+y0mod8。

如对2，有6，使得2+60mod8，称y为x的负数，也称为加法逆元。

+01234567001234567112345670223456701334567012445670123556701234667012345770123456对x，若有y，使得xy1mod8，如331mod8，则称y为x的倒数，也称为乘法逆元。

本例可见并非每一x都有乘法逆元。

X01234567000000000101234567202460246303614725404040404505274163606420642707654321一般地，定义Zn为小于n的所有非负整数集合，即Zn=0,1,n-1，称Zn为模为模n的同的同余类余类集合。

其上的模运算有以下性质：

交换律（w+x）modn=（x+w）modn（wx）modn=（xw）modn结合律:

（w+x）+ymodn=w+（x+y）modn（wx）ymodn=w（xy）modn1.2模运算分配律w（x+y）modn=wx+wymodn单位元（0+w）modn=wmodn（1w）modn=wmodn加法逆元对wZn，存在zZn，使得w+z0modn，记z=-w。

1.2模运算此外还有以下性质：

如果（a+b）（a+c）modn，则bcmodn，称为加法的可约律加法的可约律。

该性质可由（a+b）（a+c）modn的两边同加上a的加法逆元得到。

1.2模运算然而类似性质对乘法却不一定成立。

例如63672mod8，但37mod8。

原因是6乘以0到7得到的8个数仅为Z8的一部分，见上例。

即如果将对Z8作6的乘法6Z8（即用6乘Z8中每一数）看作Z8到Z8的映射的话，Z8中至少有两个数映射到同一数，因此该映射为多到一的，所以对6来说，没有惟一的乘法逆元。

但对5来说，551mod8，因此5有乘法逆元5。

仔细观察可见，与8互素的几个数1，3，5，7都有乘法逆元。

这一结论可推广到任一Zn。

1.2模运算定理1设aZn，gcd（a,n）=1，则a在Zn中有乘法逆元。

证明：

首先证明a与Zn中任意两个不相同的数b、c（不妨设cb）相乘，其结果必然不同。

否则设abacmodn，则存在两个整数k1,k2，使得ab=k1n+r，ac=k2n+r，可得a（b-c）=（k1-k2）n，所以a是（k1-k2）n的一个因子。

1.2模运算又由gcd（a，n）=1，得a是k1-k2的一个因子，设k1-k2=k3a，所以a（b-c）=k3an，即b-c=k3n，与0cbn矛盾。

所以|aZn|=|Zn|，又知aZnZn，所以aZn=Zn。

因此对1Zn，存在xZn，使得ax1modn，即x是a的乘法逆元。

记为x=a-1。

（证毕）1.2模运算设p为一素数，则Zp中每一非0元素都与p互素，因此有乘法逆元。

类似于加法可约律加法可约律，可有以下乘法可约律乘法可约律：

如果（ab）（ac）modn且a有乘法逆元，那么对（ab）（ac）modn两边同乘以a-1，即得bcmodn1.2模运算模算式除法取余运算同余（congruence）fora=bmodn如果a,b除以n,余数相同eg.100=34mod11b叫做a模n的剩余通常0=b=n-1eg.-12mod7=-5mod7=2mod7=9mod7可以进行整数运算模运算举例-21-20-19-18-17-1615-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456012345678910111213141516171819202122232425262728293031323334模算术运算加法加法a+bmodn减法减法a-bmodn=a+（-b）modn乘法除法乘法乘法a.bmodn重复加法除法除法a/bmodn乘以b的逆元:

a/b=a.b-1modn如果n是素数,b-1modn存在s.tb.b-1=1modn例.2.3=1mod5hence4/2=4.3=2mod5模递归运算模递归运算是“模除求余”例.r=amodn计算a=d.n+r33mod7=4.7+5;得数是5通常,r取正数例-18mod7=-3.7+3;答案是3a+/-bmodn=amodn+/-bmodnmodn费尔玛费尔玛（Fermat）定理定理和欧拉欧拉（Euler）定定理理在公钥密码体制中起着重要作用。

Fermat定理：

若p是素数，a是正整数且gcd（a,p）=1，则ap-11modp。

Euler定理：

若a和n互素，则a（n）1modn。

1.3费尔玛定理和欧拉定理费尔玛定理证明：

当gcd（a,p）=1时,aZp=Zp，其中aZp表示a与Zp中每一元素做模p乘法。

又知a00modp，所以aZp-0=Zp-0，a（Zp-0）=Zp-0。

即amodp,2amodp,（p-1）amodp=1,2,p-1例如P=7,a=33,6,9,12,15,18mod7=3,6,2,5,1,4费尔玛定理所以a2a（p-1）a（amodp）（2amodp）（p-1）amodp）modp（p-1）!

modp另一方面a2a（p-1）a=（p-1）!

ap-1因此（p-1）!

ap-1（p-1）!

modp由于（p-1）!

与p互素，因此（p-1）!

有乘法逆元，由乘法可约律得ap-11modp。

（证毕）费尔玛定理Fermat定理也可写成如下形式：

设p是素数，a是任一正整数，则apamodp。

费尔玛定理2.欧拉函数设n是一正整数，小于n且与n互素的正整数的个数称为n的欧拉函数欧拉函数，记为（n）。

例如：

（6）=2，（7）=6，（8）=4。

若n是素数，则显然有（n）=n-1。

欧拉定理定理定理4.3若n是两个素数p和q的乘积，则（n）=（p）（q）=（