高中数学三角函数二轮复习教案新课标人教版.docx
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高中数学三角函数二轮复习教案新课标人教版
2019-2020年高中数学三角函数二轮复习教案新课标人教版
[考纲要求]
第一层次:
通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题。
如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。
第二层次:
三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。
如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三层次:
充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。
如分段函数值,求复合函数值域等。
[方法技巧]
1.三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:
特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。
如分拆项:
sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:
α=(α+β)-β,β=-等。
(3)降次与升次。
(4)化弦(切)法。
(4)引入辅助角。
asinθ+bcosθ=sin(θ+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
(1)思路:
利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。
(2)证明方法:
综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法:
比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
一、图象与性质:
例题1、(03江苏)已知函数
上R上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求和ω的值.
例题2、已知函数f(x)=a+bsinx+ccosx(x∈R)的图象经过点A(0,1),B,且b>0,又f(x)的最大值为2-1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)由函数y=f(x)的图象经过平移是否能得到一个奇函数y=g(x)的图象?
若能,请写出平移过程;若不能,请说明理由.
二、三角化简与求值:
例题1、不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值
命题意图本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对计算能力的要求较高
知识依托熟知三角公式并能灵活应用错解分析公式不熟,计算易出错
技巧与方法解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简单更精妙,需认真体会
解法一sin220°+cos280°+sin220°cos80°=(1-cos40°)+(1+cos160°)+sin20°cos80°=1-cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)
=1-cos40°+(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)=1-cos40°-cos40°-sin40°+sin40°-sin220°
=1-cos40°-(1-cos40°)=
解法二设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°
y=cos220°+sin280°-cos20°sin80°,则x+y=1+1-sin60°=,
x-y=-cos40°+cos160°+sin100°=-2sin100°sin60°+sin100°=0
∴x=y=,即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=
例题2、已知
.
(I)求sinx-cosx的值;
(Ⅱ)求
的值.
解法一:
(Ⅰ)由
即
又
故
(Ⅱ)
①②
解法二:
(Ⅰ)联立方程
由①得将其代入②,整理得
故
(Ⅱ)
例题3、已知向量
,
求的值.
解法一:
由已知,得又
所以
解法二:
由已知,得
三、解三角形与三角应用题:
例题1、在△ABC中,分别是的对边,且
(1)求角B的大小;
(2)若,求的值;
(1)
(2)或
例题2、如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花.若BC=a,∠ABC=,设△ABC的面积为S1,正方形的面积为S2.
(1)用a,表示S1和S2;
(2)当a固定,变化时,求取最小值时的角.
解:
(1)
设正方形边长为,则
(2)当固定,变化时,
令
,用导数知识可以证明:
函数在是减函数,于是当时,取最小值,此时。
四、综合题:
例题1:
锐角、满足(,),令,。
(Ⅰ)把表示成的不含、的函数(即写出的解析式);
(Ⅱ)当时,求函数的最大值。
答:
(Ⅰ);
(Ⅱ)证明在上是减函数,从而当时,。
例题2、已知函数f(x)=mx3-x的图象上,以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为,
(1)求m,n的值;
(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-1991对于x∈[-1,3]恒成立?
如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由;
(3)求证:
|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t>0).
解:
(1)f′(x)=3mx2-1,依题意,得tan,即1=3m-1,m=.
∴f′(x)=,n=.
(2)令f′(x)=2x2-1=0,得x=±.当-10;
当0.又f(-1)=,f(-)=,f()=-,f(3)=15.
因此,当x∈[-1,3]时-≤f(x)≤15;
要使得不等式f(x)≤k-1991对于x∈[-1,3]恒成立,则k≥-1991=xx.
所以,存在最小的正整数k=xx,使不得等式f(x)≤k-1991对于x∈[-1,3]恒成立.
(3)(方法1):
|f(sin)+f(cosx)|=|(sin3x-sinx)+(cos3x-cosx)|
=|(sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)|=|(sinx+cosx)[(sin2x-sinxcosx+cos2x)-1]|
=|sinx+cosx|·|-sinxcosx-|=|sinx+cosx|3=||3≤.又∵t>0,∴t+≥
∴2f(t+)[(t2+)-≥]2.
综上可得,|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t>0).………14分
(方法2)由
(2)知,函数f(x)在[-1,-]上是增函数;在[-,]上是减函数;在[,1]上是增函数;
又f(-1)=,f
所以,当x∈[-1,1]时,-≤f(x)≤,即|f(x)|≤.
∵sinx,cosx∈[-1,1],∴|f(sinx)|≤,|f(cosx)|≤.
∴|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤+≤………11分
又∵t>0.∴t+且函数f(x)在[1,+∞]上是增函数.
∴2f(t+)≥2f()=2[()3-]=.
综上可得,|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t>0).………14分
2019-2020年高中数学三角函数板块一三角函数基本概念完整讲义(学生版)1
典例分析
题型一:
任意角与弧度制
【例1】下列各对角中终边相同的角是()。
A和B和
C和D和
【例2】若角、的终边相同,则的终边在.
A.轴的非负半轴上B.轴的非负半轴上
C.轴的非正半轴上D.轴的非正半轴上
【例3】当角与的终边互为反向延长线,则的终边在.
A.轴的非负半轴上B.轴的非负半轴上
C.轴的非正半轴上D.轴的非正半轴上
【例4】时钟经过一小时,时针转过了()。
AB
CD
【例5】两个圆心角相同的扇形的面积之比为,则两个扇形周长的比为()
AB
CD
【例6】下列命题中正确的命题是()
A若两扇形面积的比是,则两扇形弧长的比是
B若扇形的弧长一定,则面积存在最大值
C若扇形的面积一定,则弧长存在最小
D任意角的集合可以与实数集之间建立一种一一对应关系
【例7】一个半径为的扇形,它的周长是,则这个扇形所含弓形的面积是()
A.B
CD
【例8】下列说法正确的有几个()
(1)锐角是第一象限的角;
(2)第一象限的角都是锐角;
(3)小于的角是锐角;(4)的角是锐角。
A1个B2个C3个D4个
【例9】已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在轴的正半轴上,则角是第()象限角。
A第一象限角B第二象限角
C第三象限角D第四象限角
【例10】下面四个命题中正确的是()
A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角
C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限的角
【例11】已知角的终边经过点,则与终边相同的角的集合是.
A.B.
C.D.
【例12】若是第四象限角,则是()
A第一象限角B第二象限角
C第三象限角D第四象限角
【例13】若与的终边互为反向延长线,则有()
AB
CD
【例14】与终边相同的最小正角为________,与终边相同的最小正角是________。
【例15】终边在坐标轴上的角的集合__.
【例16】若和的终边关于y轴对称,则和的关系是__.
【例17】⑴若角和的终边关于轴对称,则角和之间的关系为.
⑵若角与的终边关于轴对称,则角和之间的关系为.
【例18】在,找出与下列各角终边相同的角,并判断它是哪个象限:
(1);
(2)。
【例19】写出终边在轴上的角的集合(用到的角表示)。
【例20】若,,则_________(其中扇形的圆心角为,弧长为,半径为)。
【例21】钟表经过4小时,时针与分针各转了____________(填度)。
【例22】如果角与角具有同一条终边,角与角具有同一条终边,那么与的关系是什么?
【例23】已知角是第二象限角,求所在的象限。
【例24】已知集合,,则.
A.B.C.D.
【例25】若;;,则下列关系中正确的是()
AB
CD
【例26】圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为_________。
【例27】用弧度制表示:
①终边在轴上的角的集合②终边在轴上的角的集合③终边在坐标轴上的角的集合。
【例28】已知扇形周长为,面积为,求扇形中心角的弧度数。
【例29】视力正常的人,能读远处文字的视角不小于,试求:
(1)距人远处所能阅读文字的大小如何?
(2)要看清长,宽均为的大字标语,人距离标语的最远距离是多少米?
【例30】已知扇形的面积为,当扇形的圆心角为多少弧度时,扇形的周长最小?
并求出此最小值。
【例31】
(1)把化成弧度制;
(2)把化成角度制。
【例32】求值:
(1)
(2)。
【例33】已知扇形的面积是,它的周长是,则弦的长等于多少?
【例34】将下列各角表示为
的形式,并判断角在第几象限。
(1);
(2)。
【例35】写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式的元素写出来。
(1)
(2)。
【例36】写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)。
图
(1)图
(2)
【例37】⑴在与范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角:
①;②;③.
⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合,
写出中满足不等式的元素:
①;②;③.
【例38】⑴把化成弧度;
⑵把化成度.
【例39】⑴把化成弧度;⑵把化成度.
【例40】将下列各角化为的形式,并判断其所在象限.
(1);
(2)-315°;
(3)-1485°.
【例41】把下列各角写成的形式,并指出它们所在的象限或终边位置.
⑴;⑵;⑶.
【例42】写出终边在轴上的角的集合.
【例43】将第一象限角,第二象限角,第三象限角,第四象限角分别用弧度制的形式表示.
【例44】有人喜欢把表播快5分钟,那么在拨快5分钟的过程中,分针和时针分别转过的弧度数是多少?
【例45】已知是第二象限的角,若同时满足条件,求的取值区间.
【例46】若是第二象限角,则:
⑴是第几象限角?
⑵不在第几象限?
【例47】⑴已知扇形的周长为,面积为,求扇形的圆心角和弧度数.
⑵已知扇形的周长为,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?
最大面积是多少?
【例48】若1段圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数是多少?
题型二:
任意角的三角函数
【例49】已知角的终边经过点,求角的正弦、余弦和正切值。
【例50】
(1)已知角,求的值;
(2)已知角的终边经过点,求的值。
【例51】求函数
的值域。
【例52】已知,求和的值。
【例53】已知,求及的值。
【例54】已知方程的两根分别是,求的值。
【例55】设角是第一象限角,且,则()。
A第一象限角B第二象限角
C第三象限角D第四象限角
【例56】若三角形的两内角满足,则此三角形必为()。
A锐角三角形B钝角三角形
C直角三角形D以上三种情况都可能
【例57】若是第二象限角,为其终边上一点,且,则的值为()
ABCD
【例58】若是第三象限角,则下列各式中不成立的是()
AB
CD
【例59】设,则
的值为()
A0BC1D 2
【例60】已知角的终边经过,且,,则的取值范围是___________。
【例61】_________;_________;_________。
【例62】确定下列各式的符号。
(1);
(2)。
【例63】已知角的终边上一点的坐标是,且,求和的值。
【例64】已知,则为第几象限角?
【例65】已知,是第二象限角,那么的值等于()。
ABCD
【例66】已知,且,则的值为()。
ABCD
【例67】已知,求的值()
A2B3C1D
【例68】已知是三角形的内角,,则的值为()
ABCD
【例69】已知是第三象限角,化简。
【例70】已知是第二象限角,化简为()
A B C D
【例71】化简___________;___________。
【例72】已知,,则_________。
【例73】已知:
且,试求,的值。
【例74】已知,求下列各式的值:
(1);
(2)
;
(3);(4)。
【例75】设且,确定是第几象限角.
【例76】若角满足条件,,则在第几象限?
【例77】⑴已知角的终边经过点,求的六个函数值.
⑵求下列各角的六个三角函数值:
①;②.
【例78】⑴已知,并且是第二象限角,求.
⑵已知,求.
⑶化简:
【例79】已知角的终边经过点P
,问是第几象限的角,并求出的六个三角函数值.
【例80】已知角的终边上的一点的坐标为,且,求和值.
【例81】已知,求下列各式的值.
⑴;
⑵;
⑶.
【例82】已知,计算:
⑴;⑵;⑶.
【例83】求函数的定义域
【例84】求函数的定义域.
【例85】求函数
的最小值.
【例86】若,则( )
A.B.C.D.
【例87】设
的值.
【例88】已知为锐角,用三角函数的定义证明.
【例89】化简
【例90】求证:
.
【例91】根据定义证明
.
【例92】求证:
.
【例93】已知函数
,其中a,b,,都是非零实数,且满足,求的值.
【例94】已知是方程的两个根中较小的根,求的值.
【例95】已知是方程的根,求
的值