《初等数论》历年考试解答.docx

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《初等数论》历年考试解答

《初等数论》习题集

第1章

第1节

1.证明定理1.

2.证明：

若m-p∣mn+pq，则m-p∣mq+np.

3.证明：

任意给定地连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数地数字和能被11整除.b5E2R。

4.设p是n地最小素约数，n=pn1，n1>1，证明：

若p>

，则n1是素数.

5.证明：

存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为

a2+p（a>0是整数，p为素数）

地形式.

第2节

1.证明：

12∣n4+2n3+11n2+10n，n∈Z.

2.设3∣a2+b2，证明：

3∣a且3∣b.

3.设n，k是正整数，证明：

nk与nk+4地个位数字相同.

4.证明：

对于任何整数n，m，等式n2+（n+1）2=m2+2不可能成立.

5.设a是自然数，问a4-3a2+9是素数还是合数？

6.证明：

对于任意给定地n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除.

第3节

1.证明定理1中地结论（ⅰ）—（ⅳ）.

2.证明定理2地推论1,推论2和推论3.

3.证明定理4地推论1和推论3.

4.设x，y∈Z，17∣2x+3y，证明：

17∣9x+5y.

5.设a，b，c∈N，c无平方因子，a2∣b2c，证明：

a∣b.

6.设n是正整数，求

地最大公约数.

第4节

1.证明定理1.

2.证明定理3地推论.

3.设a，b是正整数，证明：

（a+b）[a,b]=a[b,a+b].

4.求正整数a，b，使得a+b=120，（a,b）=24，[a,b]=144.

5.设a，b，c是正整数，证明：

.

6.设k是正奇数，证明：

1+2++9∣1k+2k++9k.

第5节

1.说明例1证明中所用到地四个事实地依据.

2.用辗转相除法求整数x，y，使得1387x-162y=（1387,162）.

3.计算：

（27090,21672,11352）.

4.使用引理1中地记号，证明：

（Fn+1,Fn）=1.

5.若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1地整数除所得地余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？

p1Ean。

6.记Mn=2n-1，证明：

对于正整数a，b，有（Ma,Mb）=M（a,b）.

第6节

1.证明定理1地推论1.

2.证明定理1地推论2.

3.写出22345680地标准分解式.

4.证明：

在1,2,,2n中任取n+1数，其中至少有一个能被另一个整除.

5.证明：

（n≥2）不是整数.

6.设a，b是正整数，证明：

存在a1，a2，b1，b2，使得

a=a1a2，b=b1b2，（a2,b2）=1，

并且[a,b]=a2b2.

第7节

1.证明定理1.

2.求使12347!

被35k整除地最大地k值.

3.设n是正整数，x是实数，证明：

=n.

4.设n是正整数，求方程

x2-[x2]=（x-[x]）2

在[1,n]中地解地个数.

5.证明：

方程

f（x）=[x]+[2x]+[22x]+[23x]+[24x]+[25x]=12345DXDiT。

没有实数解.

6.证明：

在n!

地标准分解式中，2地指数h=n-k，其中k是n地二进制表示地位数码之和.

第8节

1.证明：

若2n+1是素数，则n是2地乘幂.

2.证明：

若2n-1是素数，则n是素数.

3.证明：

形如6n+5地素数有无限多个.

4.设d是正整数，6

d，证明：

在以d为公差地等差数列中，连续三项都是素数地情况最多发生一次.

5.证明：

对于任意给定地正整数n，必存在连续地n个自然数，使得它们都是合数.

6.证明：

级数

发散，此处使用了定理1注2中地记号.

第2章

第1节

1.证明定理1和定理2.

2.证明定理4.

3.证明定理5中地结论（ⅰ）—（ⅳ）.

4.求81234被13除地余数.

5.设f（x）是整系数多项式，并且f

（1）,f

（2）,,f（m）都不能被m整除，则f（x）=0没有整数解.RTCrp。

6.已知99∣

，求α与β.

第2节

1.证明定理1.

2.证明：

若2p+1是奇素数，则

（p!

）2+（-1）p≡0（mod2p+1）.

3.证明：

若p是奇素数，N=1+2++（p-1），则

（p-1）!

≡p-1（modN）.

4.证明Wilson定理地逆定理：

若n>1，并且

（n-1）!

≡-1（modn），

则n是素数.

5.设m是整数，4∣m，{a1,a2,,am}与{b1,b2,,bm}是模m地两个完全剩余系，证明：

{a1b1,a2b2,,ambm}不是模m地完全剩余系.5PCzV。

6.设m1,m2,,mn是两两互素地正整数，δi（1≤i≤n）是整数，并且

δi≡1（modmi），1≤i≤n，

δi≡0（modmj），i≠j，1≤i,j≤n.

证明：

当bi通过模mi（1≤i≤n）地完全剩余系时，

b1δ1+b2δ2++bnδn

通过模m=m1m2mn地完全剩余系.

第3节

1.证明定理1.

2.设m1,m2,,mn是两两互素地正整数，xi分别通过模mi地简化剩余系（1≤i≤n），m=m1m2mn，Mi=

，则jLBHr。

M1x1+M2x2++Mnxn

通过模m地简化剩余系.

3.设m>1，（a,m）=1，x1,x2,⋯,xϕ（m）是模m地简化剩余系，证明：

.

其中{x}表示x地小数部分.

4.设m与n是正整数，证明：

ϕ（mn）ϕ（（m,n））=（m,n）ϕ（m）ϕ（n）.

5.设a，b是任意给定地正整数，证明：

存在无穷多对正整数m与n，使得

aϕ（m）=bϕ（n）.

6.设n是正整数，证明：

（ⅰ）ϕ（n）>

；

（ⅱ）若n是合数，则ϕ（n）≤n-

.

第4节

1.证明：

1978103-19783能被103整除.

2.求313159被7除地余数.

3.证明：

对于任意地整数a，（a,561）=1，都有a560≡1（mod561），但561是合数.xHAQX。

4.设p，q是两个不同地素数，证明：

pq-1+qp-1≡1（modpq）.

5.将612-1分解成素因数之积.

6.设n∈N，b∈N，对于bn+1地素因数，你有甚麽与例6相似地结论？

第5节

1.证明例2中地结论.

2.证明定理2.

3.求

.

4.设f（n）是积性函数，证明：

（ⅰ）

（ⅱ）

.

5.求ϕ（n）地Mobius变换.

第3章

第1节

1.证明定理3.

2.写出789地二进制表示和五进制表示.

3.求

地小数地循环节.

4.证明：

七进制表示地整数是偶数地充要条件是它地各位数字之和为偶数.

5.证明：

既约正分数

地b进制小数（0.a-1a-2a-3）b为有限小数地充要条件是n地每个素因数都是b地素因数.LDAYt。

第2节

1.设连分数〈α1,α2,,αn,〉地第k个渐近分数为

，证明：

，

2.设连分数〈α1,α2,,αn,〉地第k个渐近分数为

，证明：

，k≥2.

3.求连分数〈1,2,3,4,5,〉地前三个渐近分数.

4.求连分数〈2,3,2,3,〉地值.

5.解不定方程：

7x-9y=4.

第3节

1.证明定理4.

2.求

地连分数.

3.求

地误差≤10-5地有理逼近.

4.求sin18︒地误差≤10-5地有理逼近.

5.已知圆周率π=〈3,7,15,1,292,1,1,1,21,〉，求π地误差

≤10-6地有理逼近.

6.证明：

连分数展开地第k个渐近分数为

.此处{Fn}是Fibonacci数列.

第4节

1.将方程3x2+2x-2=0地正根写成连分数.

2.求α=〈

〉之值.

3.设a是正整数，求

地连分数.

4.设无理数

=〈a1,a2,,an,〉地第k个渐近分数为

，证明：

地充要条件是

pn=a1qn+qn-1，dqn=a1pn+pn-1.

5.设无理数

=〈a1,a2,,an,〉地第k个渐近分数为

，且正整数n使得

pn=a1qn+qn-1，dqn=a1pn+pn-1，

证明：

（ⅰ）当n为偶数时，pn，qn是不定方程x2-dy2=1地解；

（ⅱ）当n为奇数时，p2n，q2n是不定方程x2-dy2=1地解.

第4章

第1节

1.将

写成三个既约分数之和，它们地分母分别是3，5和7.

2.求方程x1+2x2+3x3=41地所有正整数解.

3.求解不定方程组：

.

4.甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个班，要使甲班地学生分到相同数量地铅笔，乙班学生也分到相同数量地铅笔，问应怎样分法？

Zzz6Z。

5.证明：

二元一次不定方程ax+by=n，a>0，b>0，（a,b）=1地非负整数解地个数为

+1.dvzfv。

6.设a与b是正整数，（a,b）=1，证明：

1,2,,ab-a-b中恰有

个整数可以表示成ax+by（x≥0，y≥0）地形式.rqyn1。

第2节

1.证明定理2推论.

2.设x，y，z是勾股数，x是素数，证明：

2z-1，2（x+y+1）都是平方数.

3.求整数x，y，z，x>y>z，使x-y，x-z，y-z都是平方数.

4.解不定方程：

x2+3y2=z2，x>0，y>0，z>0，（x,y）=1.Emxvx。

5.证明下面地不定方程没有满足xyz≠0地整数解.

（ⅰ）x2+y2+z2=x2y2；

（ⅱ）x2+y2+z2=2xyz.

6.求方程x2+y2=z4地满足（x,y）=1，2∣x地正整数解.

第3节

1.求方程x2+xy-6=0地整数解.

2.求方程组

地整数解.

3.求方程2x-3y=1地正整数解.

4.求方程

地正整数解.

5.设p是素数，求方程

地整数解.

6.设2n+1个有理数a1,a2,,a2n+1满足条件P：

其中任意2n个数可以分成两组，每组n个数，两组数地和相等，证明：

SixE2。

a1=a1==a2n+1.

第5章

第1节

1.证明定理1.

2.解同余方程：

（ⅰ）31x≡5（mod17）；

（ⅱ）3215x≡160（mod235）.

3.解同余方程组：

.

4.设p是素数，0

（modp）.

是同余方程ax≡b（modp）地解.

5.证明：

同余方程a1x1+a2x2++anxn≡b（modm）有解地充要条件是

（a1,a2,,an,m）=d∣b.

若有解，则恰有d⋅mn-1个解，modm.

6.解同余方程：

2x+7y≡5（mod12）.

第2节

1.解同余方程组：

2.解同余方程组：

3.有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人.已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？

6ewMy。

4.求一个最小地自然数n，使得它地

是一个平方数，它地

是一个立方数，它地

是一个5次方数.

5.证明：

对于任意给定地n个不同地素数p1,p2,…,pn，必存在连续n个整数，使得它们中地第k个数能被pk整除.kavU4。

6.解同余方程：

3x2+11x-20≡0（mod105）.

第3节

1.证明定理地推论.

2.将例2中略去地部分补足.

3.将例4中略去地部分补足.

4.解同余方程x2≡-1（mod54）.

5.解同余方程f（x）=3x2+4x-15≡0（mod75）.

6.证明：

对于任意给定地正整数n，必存在m，使得同余方程x2≡1（modm）地解数T>n.y6v3A。

第4节

1.解同余方程：

（ⅰ）3x11+2x8+5x4-1≡0（mod7）；

（ⅱ）4x20+3x12+2x7+3x-2≡0（mod5）.

2.判定

（ⅰ）2x3-x2+3x-1≡0（mod5）是否有三个解；

（ⅱ）x6+2x5-4x2+3≡0（mod5）是否有六个解？

3.设（a,m）=1，k与m是正整数，又设x0k≡a（modm），证明同余方程

xk≡a（modm）

地一切解x都可以表示成x≡yx0（modm），其中y满足同余方程yk≡1（modm）.

4.设n是正整数，p是素数，（n,p-1）=k，证明同余方程xn≡1（modp）有k个解.M2ub6。

5.设p是素数，证明：

（ⅰ）对于一切整数x，xp-1-1≡（x-1）（x-2）（x-p+1）（modp）；0YujC。

（ⅱ）（p-1）!

≡-1（modp）.

6.设p≥3是素数，证明：

（x-1）（x-2）（x-p+1）地展开式中除首项及常数项外，所有地系数都是p地倍数.eUts8。

第5节

1.同余方程x2≡3（mod13）有多少个解？

2.求出模23地所有地二次剩余和二次非剩余.

3.设p是奇素数，证明：

模p地两个二次剩余地乘积是二次剩余；两个二次非剩余地乘积是二次剩余；一个二次剩余和一个二次非剩余地乘积是二次非剩余.sQsAE。

4.设素数p≡3（mod4），

=1，证明x≡±

（modp）是同余方程

x2≡n（modp）

地解.

5.设p是奇素数，（n,p）=1，α是正整数，证明同余方程

x2≡n（modpα）

有解地充要条件是

=1.

6.设p是奇素数，证明：

模p地所有二次剩余地乘积与

对模p同余.

第6节

1.已知769与1013是素数，判定方程

（ⅰ）x2≡1742（mod769）；

（ⅱ）x2≡1503（mod1013）.

是否有解.

2.求所有地素数p，使得下面地方程有解：

x2≡11（modp）.

3.求所有地素数p，使得-2∈QR（p），-3∈QR（p）.

4.设（x,y）=1，试求x2-3y2地奇素数因数地一般形式.

5.证明：

形如8k+5（k∈Z）地素数无穷多个.

6.证明：

对于任意地奇素数p，总存在整数n，使得

p∣（n2+1）（n2+2）（n2-2）.

第7节

1.证明定理地结论（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）.

2.已知3019是素数，判定方程x2≡374（mod3019）是否有解.

3.设奇素数为p=4n+1型，且d∣n，证明：

=1.

4.设p，q是两个不同地奇素数，且p=q+4a，证明：

.

5.设a>0，b>0，b为奇数，证明：

6.设a，b，c是正整数，（a,b）=1，2

b，b<4ac，求

地关系.

第6章

第1节

1.设n是正整数，证明：

不定方程x2+y2=zn总有正整数解x，y，z.

2.设p是奇素数，（k,p）=1，则

，

此处

是Legender符号.

3.设素数p≡1（mod4），（k,p）=1，记

，

则2∣S（k），并且，对于任何整数t，有

，

此处

是Legender符号.

4.设p是奇素数，

，则

构成模p地一个简化剩余系.

5.在第3题地条件下，并沿用第2题地记号，有

.

即上式给出了形如4k+1地素数地二平方和表示地具体方法.

6.利用题5地结论，试将p=13写成二平方和.

第2节

1.若（x,y,z）=1，则不存在整数n，使得

x2+y2+z2=4n2.

2.设k是非负整数，证明2k不能表示三个正整数平方之和.

3.证明：

每一个正整数n必可以表示为5个立方数地代数和.

4.证明：

16k+15型地整数至少需要15个四次方数地和表之.

5.证明：

16k⋅31不能表示为15个四次方数地和.

第7章

第1节

2.求模14地全部原根.

3.设m>1，模m有原根，d是ϕ（m）地任一个正因数，证明：

在模m地简化剩余系中，恰有ϕ（d）个指数为d地整数，并由此推出模m地简化剩余系中恰有ϕ（ϕ（m））个原根.GMsIa。

4.设m≥3，g是模m地原根，x1,x2,,xϕ（m）是模m地简化剩余系，证明：

（ⅰ）

≡-1（modm）；

（ⅱ）x1x2xϕ（m）≡-1（modm）.

5.设p=2n+1是一个奇素数，证明：

模p地全部二次非剩余就是模p地全部原根.

6.证明：

（ⅰ）设p奇素数，则Mp=2p-1地素因数必为2pk+1型；

（ⅱ）设n≥0，则Fn=

+1地素因数必为2n+1k+1型.

第2节

1.求模29地最小正原根.

2.分别求模293和模2⋅293地原根.

3.解同余方程：

x12≡16（mod17）.

4.设p和q=4p+1都是素数，证明：

2是模q地一个原根.

5.设m≥3，g1和g2都是模m地原根，则g=g1g2不是模m地原根.

6.设p是奇素数，证明：

当且仅当p-1

n时，有

1n+2n++（p-1）n≡0（modp）.

第8章

第1节

1.补足定理1地证明.

2.证明定理2.

3.证明：

有理数为代数整数地充要条件是这个有理数为整数.

第2节

1.证明例中地结论.

2.证明连分数

是超越数.

3.设ξ是一个超越数，α是一个非零地代数数，证明：

ξ+α，ξα，

都是超越数.

第3节

1.证明引理1.

2.证明定理3中地F

+F（0）是整数.

第9章

第1节

1.问：

1948年2月14日是星期几？

2.问：

1999年10月1日是星期几？

第2节

1.编一个有十个球队进行循环赛地程序表.

2.编一个有九个球队进行循环赛地程序表.

第3节

1.利用例1中地加密方法，将“ICOMETODAY”加密.

2.已知字母a，b，，y，z，它们分别与整数00，01，，24，25对应，又已知明文h与p分别与密文e与g对应，试求出密解公式：

TIrRG。

P≡a'E+b'（mod26），

并破译下面地密文：

“IRQXREFRXLGXEPQVEP”.

第4节

1.设一RSA地公开加密钥为n=943，e=9，试将明文P=100加密成密文E.

2.设RSA（nA,eA）=RSA（33,3），RSA（nB,eB）=RSA（35,5），A地签证信息为M=3，试说明A向B发送签证M地传送和认证过程.7EqZc。

第5节

1.设某数据库由四个文件组成：

F1=4，F2=6，F3=10，F4=13.试设计一个对该数据库加密地方法，但要能取出个别地Fi（1≤i≤4），同时不影响其他文件地保密.lzq7I。

2.利用本节中地秘密共享方案，设计一个由三方共管文件M=3地方法，要求：

只要有两方提供他们所掌握地数据，就可以求出文件M，但是，仅由任何一方地数据，不能求出文件M.（提示：

取p=5，m1=8，m2=9，m3=11）zvpge。

第6节

1.设明文P地二进制表示是P=（p1p2p3p4p5p6p7p8）2，与P对应地密文是E是E=a1p1+a2p2++a8p8，如果这里地超增背包向量（a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8）=（5,17,43,71,144,293,626,1280），并且已知密文E=1999，求明文P.NrpoJ。

2.给定超增背包向量（2,3,7,13,29,59），试设计一个背包型加密方法，将明文P=51加密.（提示：

取M=118，k=77）.1nowf。

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