学年人教A版 选修22 151 曲边梯形的面积学案.docx

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学年人教A版选修22151曲边梯形的面积学案

1．5定积分的概念

1．5．1曲边梯形的面积

1．5．2汽车行驶的路程

1．5．3定积分的概念

学习目标：

、1.了解定积分的概念（难点）.2.理解定积分的几何意义．（重点、易错点）.3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想（难点）.4.能用定积分的定义求简单的定积分（重点）．

[自主预习·探新知]

1．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程

（1）曲边梯形的面积

①曲线梯形：

由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f（x）所围成的图形称为曲边梯形（如图151①所示）．

②求曲边梯形面积的方法

把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值（如图151②所示）．

图①图②

图151

③求曲边梯形面积的步骤：

分割，近似代替，求和，取极限．

（2）求变速直线运动的（位移）路程

如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v（t），那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

2．定积分的概念

如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi（i＝1,2，…，n）作和式nf（ξi）Δx＝nb－anf（ξi），当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作f（x）dx，即f（x）dx＝b－af（ξi）.其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式．

思考：

f（x）dx是一个常数还是一个变量？

f（x）dx与积分变量有关系吗？

[提示]由定义可得定积分f（x）dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f（x）dx＝f（t）dt＝f（u）du.

3．定积分的几何意义与性质

（1）定积分的几何意义

由直线x＝a，x＝b（a＜b），x轴及一条曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积设为S，则有：

①②③

图152

①在区间[a，b]上，若f（x）≥0，则S＝f（x）dx，如图152①所示，即f（x）dx＝S.

②在区间[a，b]上，若f（x）≤0，则S＝－f（x）dx，如图152②所示，即f（x）dx＝－S.

③若在区间[a，c]上，f（x）≥0，在区间[c，b]上，f（x）≤0，则S＝f（x）dx－f（x）dx，如图152③所示，即bf（x（SA，SB表示所在区域的面积）．

（2）定积分的性质

①kf（x）dx＝kf（x）dx（k为常数）；

②[f1（x）±f2（x）]dx＝f1（x）dx±f2（x）dx；

③f（x）dx＝f（x）dx＋f（x）dx（其中a＜c＜b）．

[基础自测]

1．思考辨析

（1）f（x）dx＝f（t）dt.（）

（2）f（x）dx的值一定是一个正数．（）

（3）2xdx<2xdx（）

[答案]

（1）√

（2）×（3）√

2．在“近似代替”中，函数f（x）在区间[xi，xi＋1]上的近似值（）

A．只能是左端点的函数值f（xi）

B．只能是右端点的函数值f（xi＋1）

C．可以是该区间内任一点的函数值f（ξi）（ξi∈[xi，xi＋1]）

D．以上答案均正确

C[作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f（x）可以是[xi，xi＋1]上任一值f（ξi）．]

3．图153中阴影部分的面积用定积分表示为（）

图153

A.2xdx

B.（2x－1）dx

C.（2x＋1）dx

D.（1－2x）dx

B[根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx－1dx＝（2x－1）dx.]

4．已知x2dx＝13，x2dx＝73，1dx＝2，则（x2＋1）dx＝________.

[解析]∵x2dx＝13，x2dx＝73，1dx＝2，

∴（x2＋1）dx＝x2dx＋x2dx＋1dx

＝13＋73＋2

＝83＋2＝143.

[答案]143

[合作探究·攻重难]

求曲边梯形的面积

求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x（x－1）围成的图形面积．

图154

[解]

（1）分割

将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点1n，2n，…，n－1n把区间[0,1]等分成n个小区间：

1n，2n，…，in，…，nn，

简写作in（i＝1,2，…，n）．

每个小区间的长度为Δx＝in－i－1n＝1n.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：

ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.

（2）近似代替

用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间in上任取一点ξi（i＝1,2，…，n），为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f（ξi）的相反数－f（ξi）＝－i－1ni－1－1为其一边长，以小区间长度Δx＝1n为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为

ΔSi≈－f（ξi）Δx＝－i－1ni－1－1·1n（i＝1,2，…，n）．

（3）求和

因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即

S＝nΔSi≈－nf（ξi）Δx

＝ni－1－1·1n

＝－1n3[02＋12＋22＋…＋（n－1）2]＋1n2[0＋1＋2＋…＋（n－1）]＝－1n3·16n（n－1）（2n－1）＋1n2·n（n－12

＝－－n2＋16n2＝－161－1.

（4）取极限

当分割无限变细，即Δx趋向于0时，n趋向于∞，

此时－161－1趋向于S.从而有

S＝limn→∞1－1＝16.

所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x（x－1）围成的图形面积为16.

[规律方法]求曲边梯形的面积

（1）思想：

以直代曲．

（2）步骤：

分割→近似代替→求和→取极限．

（3）关键：

近似代替．

（4）结果：

分割越细，面积越精确．

（5）求和时可用到一些常见的求和公式，如

1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋12，

12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋16，

13＋23＋33＋…＋n3＝n（n＋122.

[跟踪训练]

1．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积.

[解]∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2（x≥0）与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由y＝x2（x≥0y＝4，

得交点为（2,4），如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．

（1）分割

将区间[0,2]n等分，

则Δx＝2n，

取ξi＝2（i－1n.

（2）近似代替求和

Sn＝n2（i－1n2·2n

＝8n3[12＋22＋32＋…＋（n－1）2]

＝831n12n.

（3）取极限

S＝limn→∞Sn＝limn→∞831n12n＝83.

∴所求平面图形的面积为

S阴影＝2×4－83＝163.

∴2S阴影＝323，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为323.

求变速直线运动的路程

已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v（t）＝－t2＋2t（单位：

km/h），求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？

[解]将时间区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为in，

在第i个时间段的路程近似为Δsi＝vinΔt＝in·1n，i＝1,2，…，n.

所以sn＝nΔsi＝nin·1n

＝－1n3[（n＋1）2＋（n＋2）2＋（n＋3）2＋…＋（2n）2]＋2n2[（n＋1）＋（n＋2）＋…＋2n]

＝－1n3n（n＋16＋2n2·n（n＋1＋2n2

＝－131n1n＋161n1n＋3＋1n，

s＝limn→∞sn＝limn→∞

1n＝23，所以这段时间行驶的路程为23km.

[规律方法]求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：

分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.

[跟踪训练]

2．一物体自200m高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离．（g＝9.8m/s2）

[解]自由落体的下落速度为v（t）＝gt.

将[3,6]等分成n个小区间，每个区间的长度为3n.

在第i个小区间3in（i＝1,2，…，n）上，以左端点函数值作为该区间的速度．

所以sn＝nv3（i－1n3n＝n3g（i－1·3n＝3g[1＋2＋…＋（n－1·3n＝9g＋9gn2·n（n－12＝9g＋92g·1n.

所以s＝limn→∞sn＝limn→∞1n＝9g＋92g＝272×9.8＝132.3（m）．

故该物体在下落后第3s至第6s之间的距离是132.3m.

利用定积分的性质及

几何意义求定积分

[探究问题]

1．在定积分的几何意义中f（x）≥0，如果f（x）＜0，f（x）dx表示什么？

提示：

如果在区间[a，b]上，函数f（x）＜0，那么曲边梯形位于x轴的下方（如图所示），

由于Δxi＞0，f（ξi）＜0，

故f（ξi）·Δxi＜0，从而定积分f（x）dx＜0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，

即f（x）dx＝－S或S＝－f（x）dx.

2．dx的几何意义是什么？

提示：

是由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的14圆的面积即dx＝π.

3．若f（x）为[－a，a]上的偶函数，则

f（x）dx与

f（x）dx存在什么关系？

若f（x）为[－a，a]上的奇函数，则

f（x）dx等于多少？

提示：

若f（x）为偶函数，则

f（x）dx＝2

f（x）dx；若f（x）为奇函数，则

f（x）dx＝0.

说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值．

（1）2dx；

（2）xdx；

（3）

dx.

[解]

（1）2dx表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以2dx＝2.

①②③

（2）xdx表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以xdx＝32.

（3）

dx表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以

dx＝π2.

母题探究：

1.（变条件）将例3（3）改为利用定积分的几何意义求dx.

[解]dx表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的14的面积，其值为π4，

∴dx＝π4.

2．（变条件）将例3（3）改为利用定积分的几何意义求dx.

[解]dx表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的14圆的面积，其值为π4，

∴dx＝π4.

3．（变条件）将例3（3）改为利用定积分的几何意义求

（x＋）dx.

[解]由定积分的性质得，

（x＋）dx＝

xdx＋

dx.

∵y＝x是奇函数，∴

xdx＝0.

由例3（3）知

dx＝π2.

∴

（x＋）dx＝π2.

[当堂达标·固双基]

1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间中每个小区间的长度为（）

A.1nB.2n

C.3nD.12n

B[区间长度为2，n等分后每个小区间的长度都是2n，故选B.]

2．定积分f（x）dx的大小（）

A．与f（x）和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关

B．与f（x）有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关

C．与f（x）以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关

D．与f（x）、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关

A[由定积分的定义可知A正确．]

3．由y＝sinx，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________.

[解析]∵0＜x＜π2，

∴sinx＞0.

∴y＝sinx，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为

sinxdx.

[答案]

sinxdx

4．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．

[解析]∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n（n＝1,2，…，10），每个小区间的长度为1.

∴物体运动的路程近似值s＝1×（1＋2＋…＋10）＝55.

[答案]55

5．计算：

（2－5sinx）dx.

[解]由定积分的几何意义得，

2dx＝π2×2＝2π.

由定积分的几何意义得，

sinxdx＝0.

所以

（2－5sinx）dx

＝

2dx－5

sinxdx＝2π.