全国数学建模大赛历年题目分析报告以及参赛成功方法.docx
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全国数学建模大赛历年题目分析报告以及参赛成功方法
全国数学建模大赛历年题目分析以及参赛成功方法
数学建模竞赛的赛题分析
1.CUMCM历年赛题简析
2.“彩票中的数学”问题
3.长江水质的评估、预测与控制问题
4.煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题
5.其他几个数学建模的问题
数学建模竞赛的规模越来越大,水平越来越高；
竞赛的水平主要体现在赛题水平；
赛题的水平主要体现：
（１）综合性、实用性、创新性、即时性等；
（２）多种解题方法的创造性、灵活性、开放性等；
（３）海量数据的复杂性、数学模型的多样性、求解结果的不唯一性等。
纵览16年的本科组32个题目（专科组13个），从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。
一、CUMCM历年赛题的简析
1.CUMCM的历年赛题浏览：
1992年:
（Ａ）作物生长的施肥效果问题（北理工：
叶其孝）
（B）化学试验室的实验数据分解问题（复旦：
谭永基）
1993年:
（Ａ）通讯中非线性交调的频率设计问题（北大:
谢衷洁）
（Ｂ）足球甲级联赛排名问题（清华：
蔡大用）
1994年:
（Ａ）山区修建公路的设计造价问题（西电大：
何大可）
（Ｂ）锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:
谭永基等）
1995年:
（Ａ）飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:
谭永基等）
（Ｂ）天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:
刘祥官等）
一、CUMCM历年赛题的简析
1.CUMCM的历年赛题浏览：
1996年:
（A）最优捕鱼策略问题（北师大：
刘来福）
（B）节水洗衣机的程序设计问题（重大：
付鹂）
1997年:
（A）零件参数优化设计问题（清华：
姜启源）
（B）金刚石截断切割问题（复旦：
谭永基等）
1998年:
（A）投资的收益和风险问题（浙大：
陈淑平）
（B）灾情的巡视路线问题（上海海运学院:
丁颂康）
1999年:
（A）自动化机床控制管理问题（北大：
孙山泽）
（B）地质堪探钻井布局问题（郑州大学：
林诒勋）
（C）煤矸石堆积问题（太原理工大学：
贾晓峰）
一、CUMCM历年赛题的简析
1. CUMCM的历年赛题浏览：
2000年:
（A）DNA序列的分类问题（北工大：
孟大志）
（B）钢管的订购和运输问题（武大：
费甫生）
（C）飞越北极问题（复旦：
谭永基）
（D）空洞探测问题（东北电力学院：
关信）
2001年:
（A）三维血管的重建问题（浙大：
汪国昭）
（B）公交车的优化调度问题（清华：
谭泽光）
（C）基金使用计划问题（东南大学：
陈恩水）
2002年:
（A）汽车车灯的优化设计问题（复旦:
谭永基等）
（B）彩票中的数学问题（信息工程大学：
韩中庚）
（D）球队的赛程安排问题（清华大学：
姜启源）
一、CUMCM历年赛题的简析
1. CUMCM的历年赛题浏览
2003年:
（A）SARS的传播问题（集体）
（B）露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：
方沛辰）
（D）抢渡长江问题（华中农大：
殷建肃）
2004年:
（A）奥运会临时超市网点设计问题（北工大：
孟大志）
（B）电力市场的输电阻塞管理问题（浙大:
刘康生）
（C）酒后开车问题（清华大学：
姜启源）
（D）公务员的招聘问题（信息工程大学：
韩中庚）
2005年:
（A）长江水质的评价与预测问题（信息工大:
韩中庚）
（B）DVD在线租赁问题（清华大学：
谢金星等）
（C）雨量预报方法的评价问题（复旦：
谭永基）
一、CUMCM历年赛题的简析
1. CUMCM的历年赛题浏览
2006年:
（A）出版社的资源管理问题（北工大:
孟大志）
（B）艾滋病疗法的评价及预测问题（天大：
边馥萍）
（C）易拉罐形状和尺寸的设计问题（北理工：
叶其孝）
（D）煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题
（信息工程大学：
韩中庚）
2007年:
（A）中国人口增长预测问题（清华大学:
唐云）
（B）“乘公交，看奥运”问题（吉大：
方沛辰，
国防科大：
吴孟达）
（C）“手机套餐”优惠几何问题（信息工程大学:
韩中庚）
（D）体能测试时间的安排问题（首都师大:
刘雨林）
一、CUMCM历年赛题的简析
一、CUMCM历年赛题的简析
1. CUMCM的历年赛题浏览
2001年夏令营三个题:
（A）三峡工程高坡开挖优化设计（三峡大学:
李建林等）
（B）城市交通拥阻的分析与治理（北京理工大学:
叶其孝）
（C）乳房癌的诊断问题（复旦大学:
谭永基）
2006年夏令营三个题:
（A）教材出版业的市场调查、评估和预测方法问题
（北工大:
孟大志）
（B）铁路大提速下的京沪线列车调度问题
（信息工程大学:
韩中庚）
（C）旅游需求的预测预报问题（北京理工：
叶其孝）
2、从问题的实际意义分析
32个问题从实际意义分析大体上可分为：
工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。
工业类：
电子通信、机械加工
与制造、机械设计与
控制等行业,共有8个
题，占25%。
农业类：
１个题，占3.1%。
工程设计类:
3个题，占9.4%。
交通运输类：
4个题，占12.5%
经济管理类：
5个题，占15.6%
生物医学类：
5个题，占15.6%
社会事业类:
6个题，占18.8%
有的问题属于交叉的，或者是边缘的。
一、CUMCM历年赛题的简析
3、从问题的解决方法上分析
从问题的解决方法上分析，涉及到的数学建模方法：
几何理论、组合概率、统计（回归）分析、优化方法（规划）、图论与网络优化、层次分析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、综合评价、机理分析等方法。
一、CUMCM历年赛题的简析
用的最多的方法是优化方法和概率统计的方法.
用到优化方法的共有22个题，占总数的68.8%，其中整数规划4个，线性规划6个，非线性规划14个,多目标规划6个。
用到概率统计方法的有16个题，占50%，平均每年至少有一个题目用到概率统计的方法。
用到图论与网络优化方法的问题有6个；
用到层次分析方法的问题有３个；
3、从问题的解决方法上分析
一、CUMCM历年赛题的简析
用到插值拟合的问题有6个；
用到神经网络的4个；
用灰色系统理论的4个;
用到时间序列分析的至少2个;
用到综合评价方法的至少3个；
机理分析方法和随机模拟都多次用到;
其他的方法都至少用到一次。
大部分题目都可以用两种以上的方法来解决,即综合性较强的题目有26个，占81.3%。
3、从问题的解决方法上分析
一、CUMCM历年赛题的简析
4、从问题的题型上分析
（1）“即时性”较强的问题有11个,占34.4%：
1993B：
足球队排名问题；
1998B：
灾情巡视路线问题；
2000A：
DNA序列分类问题；
2000B：
钢管订购与运输问题；
2001B：
公交车的调度问题；
2002B：
彩票中的数学问题；
2003A：
SARS的传播问题；
2004A：
奥运会临时超市网点设计问题
2004B：
电力市场的输电阻塞管理问题
2005A:
长江水质的评价和预测问题
2007B:
“乘公交,看奥运”问题
一、CUMCM历年赛题的简析
什么叫即时性呀?
今年的即时性问题是什么?
4、从问题的题型上分析
（2）理论性较强的问题有12个,占37.5%:
04A,94B,95A,96A,97A,98B,99A,00B,01A,02A,03A,04B;
（3）实用性较强的问题有17个,占53.1%:
93A,94B,95B,96B,98B,99B,00B,01A,01B,02B,03A,04B,05A,05B，06A,06B,07B；
（4）算法要求强的问题有7个,占21.9%:
95A,97B，99B,00A,00B,05B,07B;
（5）数据量大的问题有13个,占40.6%:
00A,00B，01A,01B,02B,03A,04A,04B,05A,05B.06A,06B,07B
一、CUMCM历年赛题的简析
5、近几年题目的特点
（1）综合性：
一题多解，方法融合，结果多样， 学科交叉。
（2）开放性：
题意的开放性，思路的开放性，方法的开放性，结果的开放性。
（3）实用性：
问题和数据来自于实际，解决方法切合于实际，模型和结果可以应用于实际。
（4）即时性：
国内外的大事，社会的热点，生活的焦点，近期发生和即将发生被关注的问题。
（5）数据结构的复杂性：
数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性。
一、CUMCM历年赛题的简析
6、近几年题目的剖析
（１）2007Ａ：
中国人口的增长预测问题
题型：
属于社会事业问题，主要是利用人口发展方程（离散或连续）预测人口的增长,并分析人口的流动、老龄化等问题的影响。
特点：
实用性强、要求分析细致，论文写作水平高。
方法：
主题方法是差分方程，或微分方程，加随机模拟（特色）。
结果：
不唯一。
一、CUMCM历年赛题的简析
题型：
属于交通运输管理问题，主要是为了“研制开发公交线路查询系统”研究问题，即包括换乘次数、最佳出行线路的选择模型和算法设计，要保证能满足各种不同乘客的需求。
特点：
海量数据、数据结构复杂、综合性和实用性强、开放性较强。
方法：
主题方法是优化，包括多目标规划、网络优化、优化求解算法的设计等。
结果：
不唯一，但有一定的范围。
一、CUMCM历年赛题的简析
（2）2007B：
“乘公交，看奥运”问题
题型：
属于生产管理问题，包括生产资源开发利用和人力资源的合理分配问题，即要考虑经济效益，又要考虑社会效益。
特点：
海量数据、数据不完备（冗余）、数据结构复杂、综合性和实用性强、开放性较强。
方法：
主题方法是优化，包括线性规划、非线性规划、多目标规划、模糊优化和网络优化等。
结果：
不唯一。
一、CUMCM历年赛题的简析
（3）2006Ａ：
出版社的资源配置问题
题型：
属于生物医学的管理问题，包括过去治疗方法的评价与未来治疗效果的预测问题。
特点：
大数据量、数据的残缺、数据结构较复杂综合性强、实用性和开放性也较强。
方法：
主题方法统计回归拟合，其他方法包括线性插值、二次插值、二次和三次曲线拟合方法，结合优化模型实现。
有的用灰色预测、时间序列、模糊评价、神经网络等预测方法都有一定的问题。
结果：
不唯一，也不是主要问题。
（4）2006Ｂ：
艾滋病疗法的评价及预测问题
一、CUMCM历年赛题的简析
（5）2005A：
长江水质的评价与预测问题
题型：
属于社会事业和管理问题，主要包括长江水质现状的评价、未来污染的发展趋势与控制措施等的问题。
特点：
数据量大、数据冗余、结构复杂，即时性、综合性、实用性和开放性强。
方法：
主题方法数据的处理、综合评价、微分方程、回归拟合、灰色关联分析与预测、时间序列和神经网络等。
结果：
不唯一，有些结果在一定的范围和确定的趋势。
一、CUMCM历年赛题的简析
（6）2005B：
DVD的在线租赁问题
题型：
属于经济管理问题，主要包括DVD的采购计划、客户在线订单的处理、DVD的合理分配，以及网站的科学管理等问题。
特点：
海量数据、结构复杂，综合性、实用性和开放性强，算法要求强。
方法：
主题方法概率统计、大规模随机整数规划（线性或非线性）、网络优化、随机决策分析等。
结果：
不唯一，有些结果在一定的范围。
一、CUMCM历年赛题的简析
（7）2004A：
奥运会临时超市网点的设计问题
题型：
属于社会事业问题，主要包括观众的出行、用餐和购物的规律，各商区人流分布规律,以及各商区的大小超市的设计数量等问题。
特点：
海量数据、数据冗余、结构复杂，即时性、综合性、实用性和开放性强。
方法：
主题方法数据的处理、统计分析、数据挖掘、数学规划等。
结果：
不唯一，对结果没有明确要求。
一、CUMCM历年赛题的简析
（8）2004B：
电力市场的输电阻塞管理问题
题型：
属于社会事业和经济管理问题，主要包括各发电机组的出力计算方法、报价的清算方法、出力分配方案和阻塞的调整等问题。
特点：
数据量大、结构较复杂，即时性、综合性、实用性和开放性强。
方法：
主题方法统计分析、多元线性回归、线性与非线性规划等。
结果：
不唯一，但有大体上合理的范围。
一、CUMCM历年赛题的简析
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二、彩票中的数学问题
1.问题的背景与提出
“彩票飓风”席卷中华大地，媒体全关注；
巨额诱惑使彩使全民变“彩民”，博彩成为人们生活的一部分；
某些发达国家的彩票发行占GDP的1％，中国仅为0.08％左右”；
专家关注，政府重视，出台一系列“彩票发行与销售管理办法”；
31个省（市、区）的方案不尽相同，为什么？
我们会想到什么问题呢？
二、彩票中的数学问题
彩票中的数学知多少？
制定彩票方案的根据是什么？
现行的彩票方案是否合理？
彩票方案与哪些相关的因素？
各方案中奖的可能性有多大？
如何评价方案的优劣？
评价的依据是什么？
如何提高对彩民的吸引力，使国家和彩民的利益双赢？
中国的彩票业还有多大的发展空间？
博彩有“技巧”或“规律”可寻吗？
你们了解彩票吗？
你们买过彩票吗？
你们了解彩票的规则吗？
根据33选7的方案，研究下面几个问题：
（1）各等级奖项的中奖概率为多少？
（2）虽然一般认为摇奖中每个号码的出现都是随机的，但从100期的中奖号码显示，各号码出现的概率并不均等，而且这些号码之间似乎存在着某种规律，请你就此进行研究。
根据你的研究结果，给出最佳的2注、5注、10注、20注的投注方案，并给出中奖可能性的估计或评价。
（3）你能否给出一个任意注数的投注方法或遵寻的一般原则？
1、问题的背景与提出
问题：
“百万元之梦”能圆吗？
二、彩票中的数学问题--
1、问题的背景与提出
二、彩票中的数学问题--
1、问题的背景与提出
奖金总额一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。
常见的销售规则及相应的奖金设置共有29种不同的方案，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。
低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元。
高项奖额的计算方法为：
[（当期销售总额×总奖金比例）-低项奖总额]×单项奖比例
二、彩票中的数学问题--
（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。
（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。
要解决的问题：
1、问题的背景与提出
二、彩票中的数学问题--
二、彩票中的数学问题
2.问题的分析与解决思路
评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和彩民两方面的利益。
公司和彩民各得销售总额的50%是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。
问题是怎样才能有利于销售额的增加？
即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购买彩票？
问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、中奖面怎样、各奖项的设置是否合理等因素。
这些都对彩民的购买彩票的吸引力产生一定的影响，在这里用彩民的心理曲线来描述一个方案对彩民的吸引力。
一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与地区的经济状况以及收入和消费水平有关。
要考查一个方案的合理性，需要综合考虑这些因素的影响，这是建立模型的关键所在。
2.问题的分析与解决思路
二、彩票中的数学问题--
2.问题的分析与解决思路
二、彩票中的数学问题--
（1）彩民获各项奖的概率
2.问题的分析与解决思路
二、彩票中的数学问题--
（2）彩民的心理曲线
人的心理变化是一个模糊的概念。
彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法（即吸引力）的变化是一个典型的模糊概念。
二、彩票中的数学问题
3.问题的解决方法
问题
（一）：
要综合评价方案的合理性，应建立一个能充分反应各种因素合理性的指标函数。
根据随机决策分析中风险决策的理论，取风险决策的效用函数作为指标函数。
即
即表示在考虑彩民的心理因素的条件下，一个方案的中奖率、中奖面、奖项和奖金设置等因素对彩民的吸引力。
3.问题的解决方法
二、彩票中的数学问题--
3.问题的解决方法
二、彩票中的数学问题--
3.问题的解决方法
二、彩票中的数学问题--
用Matlab或Lingo软件交互式求解可以得最优的设计方案。
4.存在的问题
二、彩票中的数学问题--
（1）对题目的把握不准，审题不清，偏了题，没有正确地解决好问题。
例如：
题目中彩票的设奖率为50%，单注彩票为2元等指标是给定的，现行的彩票方案也都有是如此，而用大量篇幅对此进行讨论是不合适的。
（2）多数用层次分析法的队都是主观定权的，有的偏向于一等奖金额，有的偏向于中奖率，一般认为都是不合适的。
凡是这样的答卷所得的“最好”方案必定是23号（7/35，无特别号）。
（3）有很多队的概率计算有错误，较普遍的是“传统型”（6+1/10）中四、五、六等奖的概率和23号方案的概率的计算，错的最多的是6+1/10中六等奖的概率。
（4）有些队，对问题
（二）没有给出明确的优化模型，只是在评价已有方案的基础上，通过定性的分析、或综合几种认为较好的方案、或主观修改了某种方案的奖项和设奖比例等而得到一种方案，就认为是“最好”的了。
4.存在的问题
二、彩票中的数学问题--
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三、长江水质的评价与预测问题
1.问题的背景与提出
该题目源于2004年11月
《新民周刊》记者张静的一
篇报道：
“若不及时拯救,长
江生态10年内将濒临崩溃”
1.问题的背景与提出
2004年，章琦又创意策划发起了旨在唤醒全民族环保意识，由全国政协和中国发展研究院共同举办的大型环保公益性活动——“保护长江万里行”。
他筹资55万元，组织20多位人大代表、政协委员、专家教授，10月10日从长江上游宜宾出发，历时12天抵达上海，对21个城市进行实地调研，揭示了一幅长江污染的真实画面。
他因此被评为首届“中国十大民间环保杰出人物”、“2005中国最具影响力100人”之一，并被联合国有关机构授予“全球生态和环保杰出成就奖”，被中央主流媒体誉为“长江之子”。
三、长江水质的评价与预测问题－－
1.问题的背景与提出
三、长江水质的评价与预测问题－－
章琦给中央有关部门撰写了长篇研究报告，发表多篇保护长江的文章和做多场报告，促使成为2005年两会关注的主题。
长江的污染究竟达到了什么程度？
主要的污染源在哪里？
未来的发展趋势究竟会如何？
10年后的长江究竟会变成什么样？
是不是也会像现在的淮河、海河一样变成中国一条最大的污水河？
如果是这样，现在国家花巨资建设的南水北调工程岂不是毫无价值了！
1.问题的背景与提出
三、长江水质的评价与预测问题－－
先后联系走访了单位和专家：
中国研究院院长：
章琦及其秘书；
华东师大终身教授、博导、全国政协委员：
中国环保局信息中心；
水利部中国水环境研究院信息中心；
科学院水质研究所；
长江水利管理委员会信息中心；
《长江年鉴》编辑部。
主要数据来源：
国家环保局网站：
长江流域水质检测数据、
《长江年鉴》、长江流域相关网站等。
陆健健
问题给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。
通常认为一个观测站的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。
一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。
反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。
1.问题的背景与提出
三、长江水质的评价与预测问题－－
事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1-0.5之间，比如可以考虑取0.2 （单位：
1/天）。
附件是“1995～2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。
下面的附表是国标（GB3838-2002）给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。
1.问题的背景与提出
三、长江水质的评价与预测问题－－
附表:
《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中4个主要项目标准限值 单位：
mg/L
1.问题的背景与提出
三、长江水质的评价与预测问题－－
（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?
（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。
（4）根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？
（5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。
1.问题的背景与提出
三、长江水质的评价与预测问题－－
三、长江水质的评价与预测问题
２.问题的解决思路
问题
（1）：
按照国家标准地表水的评价指标主要是附表中的4项，而水质有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ共6个类别，每一类对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别标准就算是高类别的水质。
实际上不同类别的水质有很大的差别，同一类别水质的污染物含量也有一定的范围，所以做综合评价时要考虑这些指标“质的差异”和“量的差异”。
２.问题的解决思路
三、长江水质的评价与预测问题－－
由于各项指标在各类别中的标准值（区间）差别很大，评价时首先要对数据做标准化处理。
比如，对于指标DO先用倒数变换，再用极差变换；对于CODMn和NH3-N直接用极差变换；而对PH值按均值7.5作均值差变换，从而将各项指标的数据都实现标准化。
在做综合评价时要充分体现水质的类别差异（质的差异）和同类别的数量差异（量的差异）。
典型的方法:
动态加
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