三角形的证明详细知识点例题习题.docx
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三角形的证明详细知识点例题习题
第一章 三角形的证明
一、全等三角形
(1)定义:
能够完全相等的三角形是全等三角形。
(2)性质:
全等三角形的对应边、对应角相等。
(3)判定:
SAS、SSS、ASA、AAS、HL
注:
SSA,AAA不能作为判定三角形全等的方法,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角相等时,角必须是两边的夹角
证题的思路:
例题解析:
二、 等腰三角形
1。
性质:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)。
2. 判定:
有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).
3。
推论:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一").
4。
等边三角形的性质及判定定理
性质定理:
等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°;
等边三角形是轴对 称图形,有3条对称轴.
判定定理:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;
三个角都相等的三角形是等边三角形。
5。
含30°的直角三角形的边的性质
定理:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
例题解析 :
三、。
直角三角形
1。
勾股定理及其逆定理
定理:
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
2. 命题与逆命题
命题包括题设和结论两部分;
逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的;
3。
直角三角形全等的判定定理
定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 要点诠释:
1勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意,不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”,应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”
例题解析
四、 线段的垂直平分线
1。
线段垂直平分线的性质及判定
性质:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定:
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2.三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等
3。
如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于1/2AB的长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线.
要点诠释:
1注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围;
2利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.
例题解析
五、。
角平分线
1. 角平分线的性质及判定定理
性质:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;
判定:
在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上
2。
三角形三条角平分线的性质定理
性质:
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
3。
如何用尺规作图法作出角平分线 要点诠释:
①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围;
3几何语言的表述,这也是证明线段相等的一种重要的方法。
遇到角平分线时,要构造全等三角形
例题解析:
【课堂练习】
1、△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最小边BC=4cm,最长边AB的长是()
A.5cmB.6cmC。
cmD.8cm
2、如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是()
A.AB=ACB.BD=CD
C.∠B=∠CD.∠BDA=∠CDA
3、如上图,点
在同一直线上,
,
(填“是”或“不是”)
的对顶角,要使
,还需添加一个条件,这个条件可以是(只需写出一个).
4、已知实数x,y满足
则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对
5、如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知
、
是两格点,如果
也是图中的格点,且使得
为等腰三角形,则点
的个数是
A.6B.7C.8D.9
6、一个等腰三角形静的两边长分别为5或6,则这个等腰三角形的周长是.
7、等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为_______________。
8.等腰三角形的顶角为80°,则它的底角是( )
A.20°B.50°C.60°D.80°
9、如图,在Rt△ABC中∠C=90度,∠B=2∠A,AB=6cm,则BC=________.
10、如图,Rt△ABC中,∠A=30°,AB+BC=12cm,则AB=_______。
11、如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.求证:
BC∥EF.(SAS)
12.已知:
如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE。
求证:
BC=DE.
13、已知:
如图,B、C、E三点在同一条直线上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B
求证:
△ABC≌△CDE
14、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF。
求证:
Rt△ABE≌Rt△CBF;
15、如图5,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.
求证:
(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.
16、已知:
如图,∠A=∠D=90°,AC=BD.求证:
OB=OC
17、如右图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:
AE=CD.
第一章三角形的证明检测题
一、选择题(每小题4分,共36分)
1、等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米,则这个三角形的周长为()
A、22厘米B、17厘米C、13厘米D、17厘米或22厘米
2、下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是()
A、等腰三角形的两底角相等B、等腰三角形是轴对称图形
C、等腰三角形不是轴对称图形D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合
3、如图1—Z—1所示,在△ABC中,AC=DC=DB,∠ACD=100°则∠B等于()
A、50°B、40°C、25°D、20°
4、如图1-Z—2所示,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE,还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的条件是()
A、∠B=∠E,BC=EFB、BC=EF,AC=DFC、∠A=∠D,∠B=∠E,D、∠A=∠D,BC=EF
5、已知:
如图1—Z—3所示,m∥n,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所夹的锐角为
20°则∠a的度数是()
A、60°B、30°C、40°D、45°
B
6、如图1—Z—4所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为()
A、6B、7C、8D、9
7、如图1—Z—5所示,在△ABC中,CD平分∠ACB,∠A=80°,∠ACB=60°,那么∠BDC=()
A、80°B、90°C、100°D、110°
8、如图1—Z—6所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离
DE=3。
8cm,则线段BC的长为()
A、3.8cmB、7.6cmC、11。
4cmD、11。
2cm
11、“两直线平行,内错角相等"的逆命题是
12、如图1-Z-9,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD=°
13、如图1—Z—10是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大的正方形E的面积是。
14、等腰三角形的一个角是80°,则它的顶角是.
三、解答题(共40分)
15、(12分)已知:
如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠后.点D与点B重合,点C落在点C′的位置上.若∠1=60°,AE=1.
(1)求∠2、∠3的度数;
(2)求长方形纸片ABCD的面积S.
16.已知:
如图10,AB=AC,DE∥AC,求证:
△DBE是等腰三角形.
图10
17。
已知:
如图11,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAD=
∠BAC,过点D作DE⊥AB,DE恰好是∠ADB的平分线,求证:
CD=
DB。
图11
18.已知三角形的三边分别是n2+n,n+
和n2+n+
(n>0),求证:
这个三角形是直角三角形.
19。
如图12,△ABC中,AB=AC,∠1=∠2,求证:
AD平分∠BAC.
图12
20。
如图13,以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD,连结DC,以DC当边作等边△DCE,B、E在C、D的同侧,若AB=
,求BE的长。