海淀二模数学理科doc.docx
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海淀二模数学理科doc
海淀区高三年级第二学期期末练习
数
学（理科）
2018.5
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
（1）已知全集U{1,2,3,4,5,6},
集合A{1,2,4},
B{1,3,5}，则（eUA）IB=
（A）{1}
（B）{3,5}
（C）{1,6}
（D）{1,3,5,6}
（2）已知复数z在复平面上对应的点为
（1,1），则
（A）z+1是实数
（B）z+1是纯虚数
（C）z+i是实数
（D）z+i是纯虚数
（3）已知xy
0，则
1
1
（B）
（1）x
（1）y
（A）
y
x
2
2
（C）cosx
cosy
（D）ln（x
1）
ln（y1）
（4）若直线x
ya0是圆x2
y2
2y0的一条对称轴，则a的值为
（A）1
（B）1
（C）2
（D）2
（5）设曲线C是双曲线，则“C的方程为x
2y2
1”是“C的渐近线方程为y2x”
4
的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（6）关于函数fxsinxxcosx，下列说法错误的是
（A）fx是奇函数
（B）0不是fx的极值点
（C）f
x在（
）上有且仅有
个零点
3
22
（D）fx的值域是R
（7）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是
开始
（A）求首项为
1，公比为
2的等比数列的前
2017项的和
S=0，n=1
（B）求首项为
1，公比为
2
2018
S=S+2n-1
的等比数列的前
项的和
n=n+2
（C）求首项为
1，公比为
4
的等比数列的前
1009
项的和
否
n>2018
是
（D）求首项为
1，公比为
4
的等比数列的前
1010
项的和
输出S
（8）已知集合M
{x
N*|1
x15}，集合A1,A2,A3满足
结束
①每个集合都恰有
5个元素
②A1UA2UA3
M．
集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合
Ai的特征数，记为
Xi（i1,2,3），则
X1X2X3的值不可能为（
）．
（A）37
（B）39
（C）48
（D）57
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）极坐标系中，点
（2,）到直线
cos
1的距离为________.
2
（10
）在（x
2
）5的二项展开式中，
x3的系数为
.
x
（11）已知平面向量
a，b的夹角为
，且满足|a|
2，|b|
1，则ab
，
3
|a
2b|
.
（12
）在ABC中，a:
b:
c
4:
5:
6
，则tanA
.
（13
）能够使得命题“曲线x2
y2
1（a
0）上存在四个点P，Q，R，S满足四边形
4a
PQRS是正方形”为真命题的一个实数a的值为.
（14
）如图，棱长为
2的正方体ABCDABCD中，
M
是
1
111
D1
C1
棱AA的中点，点
P
在侧面ABBA内，若DP垂直于CM，
1
11
1
A1
B1
则
PBC的面积的最小值为_________.
M
P
C
D
A
B
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（15）（本小题13分）
如
图
，
已
知函
数
f（x）Asin（
x
）
（A
0,
0,
）
在一个周期内的图象经过
B（
0）
，
y
2
6
D
C（
2
5
三点．
0），D（
2）
3
12
（Ⅰ）写出A，
，
的值；
OBC
x
（Ⅱ）若
（5
2），且f（
）
1，求cos2
的值．
123
16.（本小题共13分）
某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名
学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如
下：
1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号
第一轮测96898888929087909290
试成绩
第二轮测90909088888796928992
试成绩
（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率；
（Ⅱ）从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩
均大于等于90分的概率；
2
（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为x1，s1，考核成绩的平均
数和方差分别为x2，s22，试比较x1与x2，s12与s22的大小.（只需写出结论）
17.（本小题共14分）
如图，在三棱柱ABC
ABC中，ACBC
AB
2，
AB1
⊥平面ABC，
111
1
AC
AC，
D
，
E
分别是AC，BC
的中点．
1
11
C1
A1
（Ⅰ）证明：
AC
BC
E
1
1
B1
（Ⅱ）证明：
DE//平面AABB；
11
（Ⅲ）求DE与平面BBCC所成角的正弦值.
11
CDA
B
18.（本小题共14分）
2
已知椭圆C：
xy21，F为右焦点，圆O：
x2y21，P为椭圆C上一点，
4
且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP两侧.
（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率;
（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值.
19.（本小题共13分）
已知函数f（x）eaxax3（a0）
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a0时，设g（x）
1eax
1ax2
3x.求证：
曲线y
g（x）存在两条斜率为
1且
a
2
不重合的切线.
20.（本小题共13分）
如果数列
an
“
i,j，i
j，都存在正整数
k
，使得a
aa
”
满足对任意正整数
k
ij
，则称
数列an具有“性质P”已.知数列an
是无穷项的等差数列，公差为
d.
（Ⅰ）若a1
2，公差d3
，判断数列an
是否具有“性质P”，并说明理由；
（Ⅱ）若数列
a
1
n
具有“性质
P”，求证：
a
0
且d0；
（Ⅲ）若数列
an
具有“性质
P”，且存在正整数
k，使得ak2018，这样的数列
an共有
多少个？
并说明理由
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准
数
学（理科）
2018.5
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
12345678
BCDBACCA
第二部分（非选择题
共110分）
二、填空题共6小题，每小题
5分，共
30分．
（9）1
（10）10
（11）1；23
（12）
7
3
（13）答案不唯一，a
0或a4
的任意实数
（14）25
5
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（15）（本小题13分）
解：
（Ⅰ）
A
2
，
2，
．
·
7
分
3
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
f（x）2sin（2x
）．
3
因为f（
）1，所以sin（2
）
1
．·······················8分
3
2
因为
所以
所以
5
2
），所以2
（,）．················9分
（
12
3
3
2
2
5
，··································11分
6
3
7
2，·····································12分
6
所以cos2cos73．····························13分
62
16.（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：
分）分别为：
93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．
其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人.·1分
所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：
6
·3分
0.6，
10
从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于
90分的概率为
0.6.
·4
分
（Ⅱ）设事件A：
从上述考核成绩大于等于
90分的学生中再随机抽取两名同学，
这两名
同学两轮测试成绩均大于等于
90分.···························5分
由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于90
分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于
等于90分的学生有1
号，8
号，10
号，共3
人.··················6
分
C32
3
1
···························9
分
所以，P（A）
.
C62
155
（Ⅲ）x1x2，s12
s22
.··································13分
17.（本小题共14分）
解：
（Ⅰ）因为AB1⊥平面ABC，AC平面ABC，
所以AB1AC．··································1分
因为AC1AC，AB1IAC1A，AB1，AC1平面AB1C1，
所以AC平面AB1C1．·······························3分
因为B1C1平面AB1C1，
所以ACB1C1．···································4分
（Ⅱ）法一：
取A1B1的中点M，连接MA、ME．
因为E、M分别是B1C1、A1B1的中点，
所以
ME
∥A1C1
，且
ME
2
A1C1．
5
分
1
···························
C1
A1
1
E
在三棱柱ABC
A1B1C1
中，ADPA1C1
，且
，
M
AD
AC
1
2
1
B1
所以ME∥AD，且ME=AD，
所以四边形
ADEM是平行四边形，
········6分
D
C
A
B
所以DE∥AM．····················7分
又AM平面AA1B1B，DE平面AA1B1B，
所以DE//平面AA1BB．··············9分
注：
与此法类似，还可取
AB的中点M，连接MD、MB1．
法二：
取AB的中点M，连接MD、MB1．
因为D、M分别是AC、AB的中点，
所以MD∥BC，且MD
1
BC．·········5分
C
2
在三棱柱ABCA1B1C1中，B1EPBC，且B1E
1BC，
2
所以MD∥B1E，且MD=B1E，
所以四边形B1EDM是平行四边形，·······6分
所以DE∥MB1．····················7分
又MB1平面AA1B1B，DE平面AA1B1B，
所以DE//平面AA1BB．··············9分
法三：
取BC的中点M，连接MD、ME．
因为D、M分别是CA、CB的中点，
C1
E
B1
DA
M
B
A1
所以，DM//AB．·································5分
在三棱柱ABCA1B1C1中，BC//B1C1，BC
B1C1，
C1
因为E、M分别是C1B1和CB的中点，
E
B1
所以，MB//EB1，MB
EB1，
所以，四边形MBB1E是平行四边形，······6分
CDA
所以，ME//BB1．···················7分
M
B
A1
又因为MEIMDM，BB1IABB，
ME,MD
平面MDE，BB1,AB
平面AA1B1B，
所以，平面
MDE//平面AA1B1B．········8分
z
因为，DE
平面MDE，
C1
A1
E
所以，DE//平面AA1BB．
············9分
B1
（Ⅲ）在三棱柱
ABC
A1B1C1中，BC//B1C1
，
因为AC
B1C1，所以AC
BC．
C
D
y
A
在平面ACB1内，过点C作Cz//AB1，
B
因为，AB1
平面ABC，
x
所以，Cz
平面ABC．···············10分
建立空间直角坐标系
C-xyz，如图．则
C（0,0,0）,B（2,0,0）,B1（0,2,2）,C1（2,2,2）,D（0,1,0）,E（1,2,2）.
uuur
uuur
uuur
DE
（
1,1,2），CB（2,0,0）
，CB1
（0,2,2）．··············11分
设平面BB1C1C的法向量为n
（x,y,z），则
uuur
0
2x
0
nCB
uuur
，即
，
nCB1
0
2y
2z
0
得x
0
，令
y
1
，得z
1，故
n
（0,1,1）
．
··············
分
12
设直线
DE
与平面BB1C1C所成的角为
θ
，
uuur
uuur
n
则sinθ＝cos
DE
3，
DE,n
uuur
|n|
|DE|
6
所以直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦值为
3.
············14
分
6
18.（本小题共14分）
解：
（Ⅰ）在椭圆C：
x2
y2
1中，a
2，b
1，
4
所以c
a2
b2
3，·······························2分
故椭圆C
的焦距为
2c
2
3
，··························3分
离心率e
c
3．··································5分
a
2
（Ⅱ）法一：
设
P（x0,y0）（x0
0，y0
0），
y
则x02
x02
T
y02
1，故y02
1
．·········6分
4
4
2
2
2
2
2
3
2
O
所以|TP|
|OP|
|OT|x0
y0
1
4
x0，
所以|TP|
3x0，
··················8分
2
SOTP
1|OT|
|TP|
3x0．
······9分
2
4
又O（0,0）
，F（
3,0）
，故SOFP
1OF
y0
3y0．···········10分
2
2
因此S四边形OFPT
SOFP
SOTP
3
（x0
y0）
···············11分
2
2
3x02
x0y0
y02
3
1x0y0．
2
4
2
x02
2
1，得2
x2
2
1，即x0
y0
1，
由
4
y0
0
y0
4
所以S四边形OFPT
3
1
x0y0
6，·······················13
分
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