第一章131132.docx

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第一章131132

1．3.1　且（and）

1．3.2　或（or）

学习目标

　1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．

知识点一　“且”

思考　观察三个命题：

①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？

从集合的角度如何理解“且”的含义．

答案　命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”，“同时”的意思．“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替．

梳理　

（1）一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．

（2）“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联想起集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足．

（3）我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p∧q的真与假．

（4）“且”这个逻辑联结词，它与日常语言中的“并且”“及”“和”的含义相当．

知识点二　“或”

思考　观察三个命题：

①3>2；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？

从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解．

答案　命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．

“或”：

从集合的角度看，可设A＝{x│x满足命题p}，B＝{x│x满足命题q}，则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B＝{x│x∈A或x∈B}．“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思，如“学习或休息”，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．“p或q”有三层意思：

要么只是p，要么只是q，要么是p和q,即两者中至少要有一个．

梳理　

（1）定义：

一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p或q”，用符号表示为“p∨q”．

（2）判断用“或”联结的命题的真假：

在两个命题p和q之中，只要有一个命题是真命题时，新命题“p或q”就是真命题；当两个命题p和q都是假命题时，新命题“p或q”就是假命题．

（3）对“或”的理解：

我们可联想集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x∉B，也可以是x∉A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.

（4）我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假.

类型一　用逻辑联结词构造新命题

例1　分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．

（1）p：

梯形有一组对边平行，q：

梯形有一组对边相等；

（2）p：

－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：

－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

解　

（1）p或q：

梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

p且q：

梯形有一组对边平行且有一组对边相等．

（2）p或q：

－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

p且q：

－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

反思与感悟　用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．

跟踪训练1　指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q.

（1）2≤2；

（2）30是5的倍数，也是6的倍数．

解　

（1）此命题为“p∨q”形式的命题，其中

p：

2<2；q：

2＝2.

（2）此命题为“p∧q”形式的命题，其中

p：

30是5的倍数；

q：

30是6的倍数．

类型二　“p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断

例2　分别指出“p∨q”“p∧q”的真假．

（1）p：

函数y＝sinx是奇函数；q：

函数y＝sinx在R上单调递增．

（2）p：

直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：

直线x＝

与圆x2＋y2＝1相交．

（3）p：

不等式x2－2x＋1>0的解集为R；q：

不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.

解　

（1）∵p真，q假，∴“p∨q”为真．“p∧q”为假．

（2）∵p真，q真，∴“p∨q”为真．“p∧q”为真．

（3）∵p假，q假，∴“p∨q”为假．“p∧q”为假．

反思与感悟　形如p∨q，p∧q，命题的真假根据真值表判定．如：

p

q

p∧q

p∨q

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

假

真

假

假

假

假

跟踪训练2　分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．

（1）p：

∅{0}，q：

0∈∅；

（2）p：

是无理数，q：

π不是无理数；

（3）p：

集合A＝A，q：

A∪A＝A；

（4）p：

函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：

方程x2＋3x－4＝0没有实数根．

解　

（1）∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．

（2）∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．

（3）∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真．

（4）∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假．

类型三　已知复合命题的真假求参数范围

例3　已知命题p：

方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：

只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．

解　由a2x2＋ax－2＝0，得（ax＋2）（ax－1）＝0.

显然a≠0，∴x＝－

或x＝

.若命题p为真，

∵x∈[－1,1]，故

≤1或

≤1，∴|a|≥1.

若命题q为真，即只有一个实数x满足不等式

x2＋2ax＋2a≤0，

即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点．

∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.

∵命题“p∨q”为假命题，∴q，p同时为假命题．

∴a的取值范围是{a|－1

反思与感悟　复合命题：

由简单命题与逻辑联结词（“或”“且”“非”）构成的命题叫做复合命题．

复合命题的真假已知时，可由真值表转化为简单命题的真假，再利用简单命题的真假求参数范围，必要时运用正难则反的解题策略．即p真不易求时，可先求p假时参数的范围，再求其在全集中的补集，从而得到p真时参数的范围．

跟踪训练3　已知c>0，设命题p：

函数y＝cx为减函数．命题q：

当x∈

时，函数f（x）＝x＋

>

恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．

解　由命题p为真知，0

由命题q为真知，2≤x＋

≤

，

要使此式恒成立，需

<2，即c>

，

若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

则p、q中必有一真一假，

当p真q假时，c的取值范围是0

；

当p假q真时，c的取值范围是c≥1.

综上可知，c的取值范围是0

或c≥1.

1．已知命题p、q，若p为真命题，则（　　）

A．p∧q必为真B．p∧q必为假

C．p∨q必为真D．p∨q必为假

答案　C

解析　p∨q，见真则真，故必有p∨q为真．

2．若命题p：

0是偶数，命题q：

2是3的约数，则下列判断正确的是（　　）

A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真

C．“p∧q”为真D．以上都不对

答案　B

解析　p真，q假，∴p∨q为真．故选B.

3．命题“xy≠0”是指（　　）

A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0

C．x、y至少有一个不为0D．不都是0

答案　A

解析　满足xy≠0，即x，y两个都不为0，故选A.

4．已知命题p：

函数f（x）＝（2a－1）x＋b在R上是减函数；命题q：

函数g（x）＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．

答案　[－2，

）

解析　命题p：

由函数f（x）在R上为减函数得2a－1<0，解得a<

，

命题q：

由函数g（x）＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，

得－

≤1，解得a≥－2.

由p∧q为真得p、q都为真，故a的取值范围为（－∞，

）∩[－2，＋∞），即为[－2，

）．

5．已知命题p：

函数f（x）＝（x＋m）（x＋4）为偶函数；命题q：

方程x2＋（2m－1）x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．

解　若命题p为真，则由f（x）＝x2＋（m＋4）x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4.

设g（x）＝x2＋（2m－1）x＋4－2m，其图象开口向上，

若命题q为真，则g

（2）<0，即22＋（2m－1）×2＋4－2m<0，解得m<－3.

由p∧q为假，p∨q为真，得p假q真或p真q假．

若p假q真，则m<－3且m≠－4；

若p真q假，则m无解．

所以m的取值范围为（－∞，－4）∪（－4，－3）．

1．判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：

弄清构成它的命题条件、结论；

2．对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假．

（1）“p∧q”形式的命题简记为：

同真则真，一假则假；

（2）“p∨q”形式的命题简记为：

同假则假，一真则真．

一、选择题

1．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　p∧q是真命题⇒p是真命题，且q是真命题⇒p∨q是真命题；p∨q是真命题

p∧q是真命题．

2．命题p：

若sinx>siny，则x>y；命题q：

x2＋y2≥2xy，下列命题为假命题的是（　　）

A．p∨qB．p∧q

C．qD．¬p

答案　B

解析　取x＝

，y＝

，可知命题p不正确；由（x－y）2≥0恒成立，可知命题q正确，故¬p为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题，故选B.

3．给出下列两个命题，命题p：

“x>3”是“x>5”的充分不必要条件；命题q：

函数y＝log2（

－x）是奇函数，则下列命题是真命题的是（　　）

A．p∧qB．p∨（¬q）

C．p∨qD．p∧（¬q）

答案　C

解析　由题意可知，命题p为假命题，命题q为真命题，从而p∨q为真命题．故选C.

4．给定下列三个命题：

p1：

函数y＝ax－a－x（a>0，且a≠1）在R上为增函数；

p2：

∃a，b∈R，a2－ab＋b2<0；

p3：

cosα＝cosβ成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β（k∈Z）．

则下列命题是真命题的是（　　）

A．p1∨p2B．p2∧p3

C．（¬p2）∧p3D．p1∨（¬p3）

答案　C

解析　对于p1：

当a>1时，y＝ax－a－x为增函数，当0

a2－ab＋b2＝（a－

b）2＋

b2≥0，所以p2为假命题；对于p3：

由cosα＝cosβ，可得α＝2kπ±β（k∈Z），所以p3是真命题，所以（¬p2）∧p3为真命题，故选C.

5．命题p：

点P在直线y＝2x－3上；q：

点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（　　）

A．（0，－3）B．（1,2）

C．（1，－1）D．（－1,1）

答案　C

解析　点（x，y）满足

解得P（1，－1）或P（－3，－9），故选C.

6．设命题p：

函数y＝sin2x的最小正周期为

；命题q：

函数y＝cosx的图象关于直线x＝

对称．则下列判断正确的是（　　）

A．p为真B．q为真

C．p∧q为假D．p∨q为真

答案　C

解析　利用含逻辑联结词命题的真值表求解．

p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．

二、填空题

7．若命题p∨q为假命题，则命题“p∧q”是________命题（用“真”“假”填空）．

答案　假

解析　因为p∨q为假命题，得p，q都是假命题，故p∧q必为假命题．

8．已知p：

x2－2x－3<0；q：

<0，若p且q为真，则x的取值范围是________．

答案　（－1,2）

解析　当p为真命题时，x2－2x－3<0，则－1

当q为真命题时，x－2<0，则x<2.

当p且q为真命题时，p和q均为真命题，

从而－1

9．设P：

关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}，Q：

函数y＝lg（ax2－x＋a）的定义域为R，如果P和Q有且仅有一个为真，则a的取值范围为______________．

答案　（0，

]∪[1，＋∞）

解析　若P真，则0

若P假，则a≥1或a≤0.

若Q真，有

⇒a>

.

若Q假，则a≤

，

又P和Q有且仅有一个为真，

∴当P真Q假时，0

，

当P假Q真时，a≥1，

综上所述，a∈（0，

]∪[1，＋∞）．

三、解答题

10．判断下列复合命题的真假．

（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；

（2）不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.

解　

（1）这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：

等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：

等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题．

（2）这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：

不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：

不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题．

11．已知p：

方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，q：

方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．

解　由题意知，p，q中有且仅有一个为真，一个为假，

若p为真，则其等价于

解可得，m>2；

若q为真，则其等价于Δ＝16（m－2）2－16<0，

即可得1

若p假q真，则

解可得1

若p真q假，则

解可得m≥3.

综上所述：

m∈（1,2]∪[3，＋∞）．

12．设p：

实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：

实数x满足

（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

解　

（1）由x2－4ax＋3a2<0，得：

（x－3a）（x－a）<0，

当a＝1时，解得1

即p为真时实数x的取值范围是1

由

解得：

2

即q为真时实数x的取值范围是2

若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2

（2）p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，

设集合A＝{x|p（x）}；集合B＝{x|q（x）}，则集合B是集合A的真子集，

又B＝（2,3]，

当a>0时，A＝（a,3a）；a<0时，A＝（3a，a）．

所以当a>0时，有

解得1

当a<0时，显然A∩B＝∅，不合题意，

所以实数a的取值范围是1