信号与系统期末复习材料汇总.docx
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信号与系统期末复习材料汇总
信号与系统期末复习
一、基础知识点：
1.信号的频带宽度（带宽）与信号的脉冲宽度成反比，信号的脉冲宽度越宽，频带越窄；反之，信号脉冲宽度越窄，其频带越宽。
2.系统对信号进行无失真传输时应满足的条件：
1系统的幅频特性在整个频率范围（）内应为常量。
2系统的相频特性在整个频率范围内应与成正比，比例系数为-t0
3.矩形脉冲信号的周期与频谱线的间隔存在着倒数的关系。
4.零输入响应（ZIR）
从观察的初始时刻（例如t=0）起不再施加输入信号（即零输入），仅由该时刻系统本身具有的初始状态引起的响应称为零输入响应，或称为储能响应。
5.零状态响应（ZSR）
在初始状态为零的条件下，系统由外加输入（激励）信号引起的响应称为零状态响应，或称为受迫响应。
6.系统的完全响应也可分为：
完全响应=零输入响应+零状态响应
y（t）yzi（t）yzs（t）
7.阶跃序列可以用不同位移的单位阶跃序列之和来表示。
8.离散信号f（n）指的是：
信号的取值仅在一些离散的时间点上才有定义。
9.信号的三大分析方法：
①时域分析法②频域分析法③复频域分析法
10.信号三大解题方法
⑴傅里叶：
①研究的领域：
频域
②分析的方法：
频域分析法
⑵拉普拉斯：
①研究的领域：
复频域
②分析的方法：
复频域分析法
⑶Z变换：
主要针对离散系统，可以将差分方程变为代数方程，使得离散系统的分析简化。
11.采样定理（又称为奈奎斯特采样频率）
1
如果f（t）为带宽有限的连续信号，其频谱F（）的最高频率为fm，则以采样间隔Ts
2fm
对信号f（t）进行等间隔采样所得的采样信号fs（t）将包含原信号f（t）的全部信息，因而可
利用fs（t）完全恢复出原信号。
12.
2倍。
设脉冲宽度为1ms，频带宽度为1KHz，如果时间压缩一半，频带扩大
1ms
13.在Z变换中，收敛域的概念：
对于给定的任意有界序列f（n），使上式收敛的所有z值的集合称为z变化的收敛域。
根据
级数理论，上式收敛的充分必要条件
F（z）绝对可和，即|f（n）zn|
n0
14•信号的频谱包括：
①幅度谱②相位谱
15.三角形式的傅里叶级数表示为:
f（t）a0[ancos（n1t）bnsin（n1t）]
n1
当为奇函数时，其傅里叶级数展开式中只有
sinQnt分量，而无直流分量和cos分量。
16.离散线性时不变系统的单位序列响应是（n）。
17.看到这张图，直流分量就是4!
18.周期信号的频谱具有的特点：
1频谱图由频率离散的谱线组成，每根谱线代表一个谐波分量。
这样的频谱称为不连续频谱
或离散频谱。
②频谱图中的谱线只能在基波频率
1的整数倍频率上出现。
3频谱图中各谱线的高度，一般而言随谐波次数的增高而逐渐减小。
当谐波次数无限增高时,
谐波分量的振幅趋于无穷小。
19.信号频谱的知识点：
1非周期信号的频谱为连续谱。
2若信号在时域持续时间有限，则其频域在频域延续到无限。
20.根据波形，写出函数表达式f（t）（用（t）表示）：
21.（t）为冲激函数
①定义：
（t）（to）
o（to）
②特性：
（t）dt1
③与阶跃函数的关系：
（t）晋
④采样（筛选）性。
若函数f（t）在t=0连续，由于（t）只在t=0存在，故有：
f（t）（t）f（0）（t）若f（t）在tto连续，则有f（t）（tto）f（to）（tto）
上述说明，（t）函数可以把信号f（t）在某时刻的值采样（筛选）出来。
⑤重要积分公式：
f（t）（t）dtf（0）
f（t）（tto）dtf（to）
例题：
计算下列各式：
1t（t1）②t（ti）dt
③ocos（t
3）（t）dt
3
o3t
④oe（t）dt
二、卷积
1•定义：
y（t）
2.代数性质：
①交换律：
fi（t）*f2（t）f2（t）fi（t）
②结合律：
fi（t）*[f2（t）*f3（t）][fi（t）f2（t）]*f3（t）
③分配律：
[fi（t）f2（t）]*f3（t）fi（t）*f3（t）f2（t）*f3（t）
2.微分和积分特性
1微分特性：
fi（t）*f2（t）fi（t）*f2（t）
2积分特性：
f,（）*f2（t）fi（t）*f2（t）
3微积分特性：
fi（t）*f2（t）fi（t）*f2（1}（t）f,1}（t）*f2（t）
*任意信号与（t）卷积又是f（t）即f（t）*（t）f（t）
由微分特性则：
f（t）*（t）f（t）
3.延时特性：
fi（tti）（tti）*f2（tt2）（tt2）y（ttit2）（ttit2）
4.重要卷积公式：
1f（t）*（t）f（t）
2（t）*（t）t（t）
12
3t（t）*（t）j2（t）
4eat（t）*（t）-（1eat）（t）
a
⑤e（t）*ea2t（t）
（e
ait
ea2t）（t）
a2）
例题：
求下列卷积
①（t3）*（t5）
②（t）*2
③tet（t）*（t）
三、傅里叶变换
1.周期信号的三角级数表示
f（t）a0Ancos（n
n1
1t
n）
【An
2
bn
arctan（乩）】
an
an
f（t）cos（n1t）dt
bn
T
of（t）sin（n1t）dt
其中:
2.周期信号的指数级数表示
1Tjt
Fn0f（t）eJn1dt
3.非周期信号的傅里叶变换
F（）
f（t）eJtdt
反变换：
f（t）
F（）ejtd
4.常用非周期信号的频谱①门函数
1（
at
1（出2）
G（t）2
0（|t|^）
2冲激信号（t）
3直流信号f（t）
4指数信号f（t）e
at
e（t）
5单位阶跃信号（t）
Sa（）
2
（t）1
）2（）
（a0,t0）
1
aj
1（t0）
0（t0）
（t）（）T
j
5.傅里叶变换的性质与应用①线性性质
a1f1（t）a2f2（t））a?
F2（）
②信号的延时与相位移动
f（tt。
）F（）e
3脉冲展缩与频带的变化
1
f（at）F（—）
|a|a
表明：
信号时域波形的压缩，对应其频谱图形的扩展；时域波形的扩展对应其频域图形的压缩，且两域内展缩的倍数是一致的。
④信号的调制与频谱搬移
f（t）ej0t
F（
o）
f（t）cos（ot）
o）
2f（o）
⑤周期信号的频谱函数
cos（ot）[
（
o）（
o）]
sin（ot）j
[（
o）（
o）]
F（）2
n
Fn（
ni）
⑥时域微分特性
dn
nf（t）（j
dt
）nF（
）
⑦时域积分特性
t
fi（）d
Fi（0）
（）,1j
-Fi（）
6.卷积定理及其应用
若fl（t）Fi（）；f2（t）F2（）
则fl（t）*f2（t）Fi（）F2（）
例题1:
试利用卷积定理求下列信号的频谱函数①f（t）Acos（ot）*（t）
②f（t）Asin（ot）*（t）
例题2:
若已知f（t）
F（）；求f（3t），f（t3）。
j2t
x（t）
cos20t，求F（）,X（）,Y（）
例题3:
如图所示已知f（t）
e
例题4:
如图所示周期锯齿波信号f（t），试求三角形式的傅里叶级数。
車f⑴
A
例题5:
设信号fl（t）cos（4t），f2（t）
1（|t|1）
0（|t|1）
at
例题6：
求f（t）eatsin（0t）（t）（a0）的频谱函数
2|t|
f（t）的积分。
例题7:
已知f（t）e11，用傅里叶性质，求f（t）一阶微分以及
四、拉普拉斯变换1•单边拉普拉斯的定义：
F（s）=f（t）estdt
0-
2.常用拉普拉斯变换
at
9D0111^l丿
（s
a）2
2
sa
⑨ecos（t）
、2
2
（s
a）
3.拉普拉斯变换的基本性质
①线性
a1f1（t）a2f2（t）
aFG）
a2F2（s）
at
teat
1
（sa）2
②
（t）
1
；
③
（t）
1
④
sin（
t）
s
22s
⑤
cos（t）
s
22
1
~2
s
⑥
t（t）
s
⑦
1e
at
a
s（sa）
①e
（t）s
1
A
1-
A-
s
s
t2（t）4
s
2时移性
f（tto）（tt。
）F（s）e
3比例性（尺度变换）
f（at）-FS
aa
4幅频移特性
f（t）es0tF（ss0）
5时域微分特性
竽sF（s）f（0）
d2f（t）
d2t
s2F（s）sf（0）f（0）
dnf（t）
dt
snF（s）sn1f（0）sn2f（0）
（n1）
（0）
6时域积分特性
f（）d
F（s）
s
4.求拉普拉斯反变换
1D（s）=0的根（不含重根）
Kn（S5厅（叭5
2D（s）=0仅含重根
1d*1
Kin—F【（SSn）mF（s）]Ss（n=1,2,3……m）
（n1）!
dsn1SS1
5.微分方程的拉普拉斯变换解法例y（t）3y（t）3y（t）y（t）1
S3Y（s）S2y（0）Sy（0）y（0）3（S2Y（s）Sy（O）y（0））3（SY（s）y（0））丫（s）6.电路S域模型
1电阻R上的时域电压-电流关系为一代数方程
u（t）Ri（t）
两边取拉氏变换，就得到复频域（S域）中的电压-电流象函数关系为
U（s）RI（s）
2电容C上的时域电压-电流关系为
i（t）
CdUc（t）dt
两边取拉氏变换，利用微分性质得t0时的代数关系
I（s）sCUc（s）Cu/0）
或Uc（s）—I（s）Uc（0）
sCs
3电感L上的时域电压-电流关系为
diL（t）
U（t）需
两边取拉氏变换，就可得出s域内的电压-电流关系为
亠1iL（0）
U（s）sLIl（s）LiL（0）或Il（s）U（s）-
sLs
4KCL和KVL
i（t）0
u（t）0
分别取拉氏变换，可得基尔霍夫定律的s域形式
l（s）0
7.卷积定理
U（s）0
时域卷积变换到S域的特性
fl（t）f2（t）Fl（S）F2（S）
8.重要的函数
F（s）
H（s）为系统函数；s（t）阶跃响应S（s）；f（t）输入信号
yzs（t）LTI系统的零状态响应Yzs（s）
yzsf（t）*h（t）Yzs（s）F（s）H（s）
t1
s（t）oh（）d积分定理S（s）-H（s）
11
阶跃响应s（t）L1[H（s）]，则h（t）s（t）
S
例题1：
若已知f（t）F（s）；求f（3t），f（t3）。
例题2:
求下列函数的单边拉氏变换
e2tcost
①2et②（t）e3t③
例题3:
求下列象函数的拉氏反变换
①F（s）
s1
s25s6
②F（s）
2s2s2
s（s21）
③F（s）
1
s23s2
④F（s）
4
s（s2）2
s（t）和冲激
例题4:
已知LTI的微分方程y（t）5y（t）6y（t）3f（t），试求其阶跃响应
响应h（t）。
例题5:
已知f（n）
（n），零输入响应为y（n）2（10.5n）（n）,
若输入f（n）0.5n（n），求系统响应y（n）。
例题6:
如下图所示，已知
4
H1=；H2=
s2
1
2（s3）
H3=
求冲激响应
h（t）。
例题7：
已知f1的全响应为（2etcos2t）（t）；f2的全响应为（et2cos2t）（t），求冲激响应h（t）。
例题8：
设系统微分方程为y（t）4y（t）3y（t）2f（t）f（t），已知y（0）1，
2t
y（0）1，f（t）e2t（t），试用拉氏变换法求零输入响应和零状态响应。
五、Z变换
1•单边Z变换的定义:
F（z）f（n）z
n0
1n1
F（z）的反变换：
f（n）F（z）zdz
2jc
2.典型序列的Z变换
1单位序列
1（n0）
0（n0）
所以Z[（n）]1
2阶跃序列
1（n0）
0（n0）
所以Z[（n）]
z
Fl
③指数序列an（n）
所以Z[an（n）]
1
1（az1）
①
（n）
1
③
n
z
（z1）2
⑤
na
z
za
⑦
ane
z
ze'
3.常用序列的Z变换
（n）
④n2
z（z1）
（z
1）
⑥nan说F
⑧sin（on）
zsino
~2
z2zcos01
⑨cos（°n）
z（zcoso）
~2
z2zcos01
4.求Z反变换
1
Ki
F（z）仅含有一阶极点
Zi）
z召
n
f（n）ko（n）ki（z」n（n）
i1
②F（z）仅含有重极点
Km
1
（n1）!
n1
d
nr[（z
dz
乙）
mF（z）]
z
（n=1,2,3
zzi
5.Z变换的主要性质
⑵移位特性
①对于双边序列:
⑴线性
afn）a?
f2（n）aF（z）a2F2（z）
m
f（nm）z-m[F（z）f（k）zk]
k1
例如:
■1
f（n1）zF（z）f
（1）
f（n2）z2F（z）z1f
（1）f
（2）
②对于单边序列:
f（nm）（nm）z-mF（z）
例如:
（nm）
（nm）
⑶比例性（尺度变换）
anf（n）
a
6.卷积定理
设f,n）F,z）；f2（n）F2（z）
则f,n）*f2（n）t（z）F2（z）
例题1:
求下列离散信号的z变换
①（n2）
②an（n）
③（扩（n
1）
例题2:
求下列F（z）的反变换f（n）
①F（z）
2z
（z1）（z2）
②F（z）
z
（z2）（z1）2
例题3:
用单边z变换解差分方程y（n）0.9y（n1）0.05（n）;y
（1）1
六、系统函数
1.系统框图：
H（s）等于两个子系统函数的乘
①当系统由两个子系统级联构成时，如下图所示，系统函数
积。
2当系统由两个子系统并联构成时，如下图所示，系统函数H（s）等于两个子系统函数的和。
IVI十r
Y洌
f:
±
③当两个子系统反馈连接时，如下图所示。
卜⑶
1干G（s）Hl（s^
■
4
□
►
十
——
1
2.系统函数的零、极点:
零点：
让系统函数分子的值为
0，所解出的点，在图中用“o”表示。
极点：
让系统函数分母的值为
0，所解出的点，在图中用“X”表示。
若为n重零点或极点，可在其旁注以"（n）”。
3.系统稳定的判断方法：
1稳定：
若H（s）的全部极点位于s的左半平面，则系统是稳定的。
2临界稳定：
若H（s）的虚轴上有s=0的单极点或一对共轭单极点，其余极点全在s左半平
面，则系统是临界稳定的。
3不稳定：
H（s）只要有一个极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶或二阶以上的重极点，则系统是不稳定的。
例题1：
已知52j3；p22j3；乙1；z22，求系统函数H（s），并判
断其稳定性。
例题2:
根据图，判断系统是否稳定。
-ji
-J2
lb}
例题3:
已知H（s）
s3
，求系统的冲激响应，阶跃响应，并画出零极点分布图，并判断
s2
其稳定性。
例题4:
已知H（s）—―s,f（t）1e2t（t），求其零状态响应yZs（t），并画出它
s3s22
的零点和极点，并判断其稳定性。
例题5:
已知连续系统由两个子系统级联而成，如图所示，若描述两个子系统的微分方程分
别为yi（t）yi（t）x（t）2x（t）；y（t）2y（t）y^t）。
求每个子系统的系统函数Hi（s）,
H2（s）及整个系统的单位冲激响应h（t）;画出系统的零极点图，判断系统的稳定性。
40-
川）_
IF心、
1MO
七、离散系统的稳定性
1.既是离散系统，又是因果系统，其稳定性的判断方法：
①稳定：
H（z）的所有极点全部位于单位圆内，则系统稳定。
②临界稳定：
H（s）的一阶极点（实极点或共轭复极点）位于单位圆上，单位圆外无极点，则系统为临界稳定。
3不稳定：
H（s）只要有一个极点位于单位圆外，或在单位圆上有重极点，则系统不稳定。
1）试求
例题1：
设有差分方程表示的系统y（n）0.1y（n1）0.2y（n2）f（n）f（n
系统函数H（z），并讨论系统的稳定性。
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