第五章第68节作三角形利用全等三角形测距离探索直角三角形全等的条件.docx
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第五章第68节作三角形利用全等三角形测距离探索直角三角形全等的条件
年级
初一
学科
数学
版本
北师大版
内容标题
第五章第6—8节作三角形及利用三角形全等测距离与探索直角三角形全等的条件
编稿老师
马改静
【本讲教育信息】
一、教学内容
作三角形及利用三角形全等测距离与探索直角三角形全等的条件
1、利用尺规作三角形.
2、全等三角形性质与判定的应用.
3、探索直角三角形全等的条件．
二、教学目标
1、在分别给出两角夹边，两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形．
2、能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系．
3、掌握“HL”公理，并能运用它证明两个直角三角形全等．
4、掌握证明两个直角三角形全等有五种判定方法，能灵活运用它们来证明和计算.
5、能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.
三、知识要点分析
1、作图中常用的语言（这是重点）
作图题是几何中的一种重要题型，有一定的规格要求．一般先要写出已知、求作，然后按要求作图，并在图形中保留作图痕迹，同时把操作过程按步骤用规范的语言写出来，这就是“作法”；
常用的作图语言如下：
（1）过点×、×作直线××，或作直线××；
（2）连结××，或连结××交××于点×；
（3）在××上截取××，使××＝××；
（4）延长××到点×，使××＝××；
（5）以点×为圆心，××为半径作圆（弧）；
（6）分别以点×和点×为圆心，××和××为半径作弧，两弧相交于点×、×。
2、利用全等三角形测量距离（这是重点、难点）
利用三角形全等测距离实际就是构造全等的两个三角形，通过全等三角形对应边相等这一性质，把较难测得长度的线段，转化为已知的或是较易得到结果的线段．
3、直角三角形的判定方法（这是重点、难点）
斜边、直角边公理：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
当两条直角边对应相等，再加上直角相等，恰满足“边角边”公理所需的条件，它们也是全等的；这说明，有两条边对应相等即可判定两个直角三角形全等，而不在乎它们是斜边、直角边，还是两条直角边，寻求证明的思路就变得简单得多．
【典型例题】
知识点一：
作三角形
例1.作图，请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边
．（要求：
用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）
已知：
求作：
【题意分析】本题是给出了一条线段，要求作一个等边三角形，使三角形的边长等于线段的长.
【思路分析】本题主要考查的是用尺规作等边三角形，解题时要注意要求.
解：
已知：
线段AB．
求作：
等边△ABC．
作图如下：
说明：
分别以A，B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，得到△ABC，△ABC即为所求.
解题后思考：
要想解决这类问题，需自己动手操作，寻找作图方法.
例2.已知两角和其中一角的对边，求作三角形．
已知：
∠α、∠β和线段a．
求作：
△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a．
【题意分析】题目给出了两个角和一条边，要求作一个三角形满足角与边的对应关系.
【思路分析】因为∠A的对边是BC，两个角与边的关系不是两角与夹边的关系，要想作出三角形，就得求出BC边上的另一个角∠C.
解：
作法：
（1）作直线MN，并在MN上取一点O；
（2）以ON为一边，在ON的同侧顺次作
∠NOP＝∠α，∠POQ＝∠β；
（3）作线段BC＝a；
（4）分别以B、C为顶点，在BC的同侧作∠CBD＝∠β，
∠BCE＝∠QOM，BD和CE相交于点A．
则△ABC即为所求作的三角形．
说明：
本题要求通过三个角的和是平角，得出第三个角的大小，通过两角与夹边的关系来作出三角形．
解题后思考：
作图的基本思路先画出草图，然后根据草图来画出图形并写出作法.
小结：
以上两个题目都是考查动手操作能力。
知识点二：
利用全等三角形测距离
例3.某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度．小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道的长度？
说明道理。
【题意分析】以建设铁路为实际背景，利用全等三角形来测量两点间的距离.
【思路分析】直接测量A、B两点间的距离有难度，因此，可利用山前面的空地，构造全等的两个三角形，使含AB的一对对应边相等，则测量出对应边的长，即可得AB的长．
解：
方法：
可在空地上取一个能直接到达A点、B点的点O，连接AO延长到D，使OD＝OA；连接BO延长到E，使OE＝OB.连结DE并测出它的长度，则DE的长就是A、B两点间的距离．如图所示：
∴△AOB≌△DOE（SAS）
∴AB＝DE．
说明：
利用三角形全等测距离实际就是构造全等的两个三角形，通过全等三角形对应边相等这一性质，把较难测得长度的线段，转化为已知的或是较易得到结果的线段．
解题后思考：
本题考查全等三角形在实际问题中的应用，主要体会如何构造两个全等三角形．
例4.如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法？
并说明这样做的合理性．
【题意分析】本题是测量一条河的实际宽度，直接测量当然是不可能的，只能通过构造全等三角形来测量河的宽度.
【思路分析】直接测量A、B间的距离有困难，而若用例3中的方法，则会出现这种情况：
得到的O点在河中间，很难取到；即使O点取好，而寻找的全等三角形中AB的对应边CD的两点仍然在河的两岸，与A、B的位置相同，因此此法不可取．要寻求另一种使对应边在岸上的方法．利用下面图示的方法就行了．
解：
方法：
在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。
过点D作BE的垂线DG，并在DG上取一点F，使A、C、F在一条直线上，这时测得的DF的长就是A、B间的距离．
理由：
∵AB⊥BE，DG⊥BE∴∠B＝∠BDF＝90°
∴△ABC≌△FDC（ASA）
∴AB＝DF（全等三角形对应边相等）．
说明：
要注意区分这两种情况，根据具体情况或题目的语言叙述来判断应选择的解题方法．最明显的区别是第一种没有垂直的情况，利用SAS证明三角形全等；而第二种有垂直的情况，利用ASA证明三角形全等．当然，若为特殊情况，则需具体分析。
解题后思考：
利用全等三角形来测量距离的关键是构造全等三角形，在构造的过程中要易操作，不制造不必要的麻烦．
小结：
由上述两例的解题过程可知，它们是两种不同的测量方法，但都是构造两个全等三角形，运用转化的数学思想方法，将不能直接测量的问题转化为可直接测量的问题.同学们在今后的学习中要注意思想方法的运用，生活中需要有心人哦！
知识点三：
直角三角形全等的判定
例5.如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，若BE=CD，再增加条件________，则△ABE≌△ECD.
【题意分析】本题是开放性的题目，给出了一对直角三角形的一组边相等，考查要说明两个三角形全等，还需要什么条件.
【思路分析】两个直角三角形全等的判定方法有五种，分别是ASA，AAS，SAS，SSS，HL，题目中给出的是直角边，可添加的条件有∠A=∠DEC，AB=EC，AE=DE等等．
解：
AE=DE（或∠AEB=∠D或∠A=∠DEC）．
说明：
答案不唯一，只要符合三角形全等的条件即可.
解题后思考：
对于开放性的题目，首先应确定题目中给出的条件，然后根据判定方法来确定所要添加的条件.
例6.如图，AE＝CF，AB∥DC，AE⊥BD，CF⊥BD，则图中共有_______对全等三角形，分别是____________．简要说明一下．
【题意分析】本题给出线段相等与垂直及平行的关系，根据这些关系来找出图形中的全等三角形并根据条件进行说明.
【思路分析】通过目测会发现有大小三对全等三角形，再进一步证明即可．需注意的是，已经证明得出的结论在以后的证明中可以当已知条件用，且若是证两个直角三角形全等，有5种方法可以用.
解：
3，分别是
（1）△ABE≌△CDF
（2）△ABD≌△CDB（3）Rt△AED≌Rt△CFB．
理由：
（1）∵AB∥CD∴∠1＝∠2
∵AE⊥BD，CF⊥BD∴∠AEB＝∠CFD＝90°
∴△AEB≌△CFD（AAS）
（2）∵△AEB≌△CFD∴AB＝CD
∴△ABD≌△CDB（SAS）
（3）∵△ABD≌△CDB∴AD＝BC
∵∠AED＝∠CFD＝90°
在
∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL）．
解题后思考：
直角三角形的判定方法有五种，它具备一般三角形的四种方法，还有一种特殊的判定方法就是HL．
例7.如图
（1），A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC．若AB=CD，试说明BD平分EF．若将△DEC的边DC沿AC方向移动变为图
（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？
请说明理由．
（1）
（2）
【题意分析】本题属于图形变换问题，两个图形之间发生了变换，但是要求说出同一个结论在图形变换后是否成立.
【思路分析】要说明BD平分EF，得说明EG=FG，要说明EG=FG，得说明Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），所以BF=DE，再证△BGF≌△DEG（AAS），所以EG=GF，图
（2）也是采用同样的方法进行说明，结论仍然成立，所以无论怎样变，以上结论始终成立．
解：
（1）∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF．
∴AF=CE
∵DE⊥AC，BF⊥AC
∴∠AFB=∠CED=90º
在Rt△ABF和Rt△CDE中
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．
∴DE=BF．
在△BGF和△DEG中
∴△BGF≌△DEG（AAS）．
∴EG=GF
∴BD平分EF
（2）同
（1）说法，BD平分EF
解题后思考：
本题属于图形变换题。
对于图形变换题，其说明方法是一样的，只是图形发生了变化，故结论不变.
小结：
以上三个例题均属于全等三角形的性质和判定的应用问题。
通过题给条件来证明两个三角形全等，然后再根据三角形全等的性质来说明对应的角或线段相等.
【本讲涉及的数学思想和方法】
本讲主要讲述了作三角形、利用全等三角形测量距离和探索直角三角形全等的条件，本讲重点是全等三角形的判定与性质在几何作图及实际问题中的应用；涉及到的数学思想方法是转化的思想方法，通过转化把题目中的条件转化为判定两个三角形全等的条件，同时通过三角形全等来说明线段相等及角相等，更进一步说明线段的位置关系。
预习导学案
（第六章第1节—第2节小车下滑的时间及变化的三角形）
一、预习要点
1、变量与常量、函数的概念.
2、表示变量之间关系的式子.
二、预习导学
探究与反思
探究任务1：
变量与常量.
【反思】什么是变量，什么是常量？
探究任务2：
函数的概念.
【反思】自变量与因变量的关系？
三、牛刀小试
1.从空中落下一个物体，它降落的速度随着时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增加而逐渐增大，如果用t表示时间，v表示速度，则_________是自变量，_________是因变量。
2.小丽烧一壶水，发现在一定时间内温度随时间的变化而变化，即随着时间的增加，温度逐渐升高，如果用t表示时间，T表示温度，则_________是自变量，_________是因变量。
3.某人某天一段时间的体温统计数据如下
时间/时
4
5
6
7
体温/℃
36.4
36.48
36.56
36.9
（1）上表反映的是_____和_____之间的变化关系，其中_____是自变量，_____是因变量。
（2）当体温是36.48℃时，相应的时间是_____时，7时的体温是_____℃。
（3）此人_____时体温最高。
4.一克黄金96元，买x克黄金的总价y元的变量关系式为__________．
5.正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加y，其中自变量是_________，因变量为________，关系式为_________．
6.某地地面气温为12℃，每升高1km，气温下降6℃，则h（km）高度处的气温为t℃，关系式为_________；________km高度处气温为0℃．
7.三角形底边长为8cm，当它的高由小到大变化时，三角形的面积也随之发生了变化。
（1）在这个变化过程中，高是_________，三角形面积是_________。
（2）如果三角形的高为hcm，面积S表示为_________。
（3）当高由1cm变化到5cm时，面积从_________cm2变化到_________cm2。
（4）当高为3cm时，面积为_________cm2。
（5）当高为10cm时，面积为_________cm2。
【模拟试题】（满分100分，答题时间：
90分钟）
一、认认真真选（每题4分，共32分）
﹡1.利用尺规作图不能作出唯一的三角形的是（）．
A.已知三边B.已知两边及其夹角
C.已知两角及其夹边D.已知两边及其中一边的对角
﹡2.用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图法是（）．
A.作一个角等于已知角B.作已知直线的垂线
C.作一条线段等于已知线段D.作角的平分线
﹡3.已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC边上的中线AD=m，作法合理的顺序依次为（）．
①延长CD到B，使BD=CD；②连接AB；③作△ADC，使DC=
a，AC=b，AD=m．
A.③①②B.①②③C.②③①D.③②①
﹡4.如图所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出（）
A.2个B.4个C.6个D.8个
**5.把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（）．
A.4cmB.6cmC.8cmD.求不出来
﹡6.下列结论不正确的是（）．
A.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
B.一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
C.一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
D.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
﹡7.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（）．
A.SSSB.ASAC.SSAD.HL
﹡8.如图，AB=AC，AF⊥BC于F，D，E分别是BF，CF的中点，则图中全等三角形共有（）．
A.1对B.2对C.3对D.4对
二、仔仔细细填（每小题4分，共20分）
﹡9.利用全等三角形测距离，其结论依据是________．
﹡10.如图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是________．
﹡11.如图，∠C=∠D=90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC，并在添加的条件后的括号内写出判定全等的依据．
（1）________________（）；
（2）________________（）；
（3）________________（）；（4）________________（）．
﹡12.如图所示，A、B在一水池的两侧，若BE=DE，∠B=∠D=90°，CD=8m，则水池宽AB=________m.
﹡13.如图所示，DE⊥BC，BE=CE，AB=10，AC=8，则△ADC的周长是________.
三、解答题（48分）
﹡14.（本题8分）如图所示，△ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，∠B=36°，∠C=
44°，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC全等的三角形，（把你能画的三角形全部画出，不写作法，但要在所画的三角形中标出用到的数据）
﹡15.（本题8分）已知∠α，线段a，求作△ABC，使∠ABC=
∠α，BC=
a，∠C=∠α.
﹡16.（本题10分）如图所示，在△MNP中，H是高MQ与NE的交点，且QN=QM，猜想PM与HN有什么关系？
试说明理由。
﹡17.（本题12分）如图，某人要测量河中浅滩B和对岸A的距离，先在岸边定出点C，使C，A，B在一直线上，再依AC的垂直方向在岸边画线段CD，取它的中点O，又画DF垂直CD，观测得E，O，B在一直线上，同时F，O，A也在一直线上，那么EF的长就是浅滩B和对岸A的距离，为什么？
**18.（本题10分）如图所示，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：
AD=BC．
【试题答案】
一、
1.D【思路分析】A，B，C中的三个条件都是全等三角形的判定条件，所以只能作出一个三角形，故答案是D.
2.C【思路分析】已知三边作三角形，用到的基本作图法为作一条线段等于已知线段.
3.A
4.B【思路分析】第三个点在DE的上方或下方各有两个.
5.C【思路分析】根据三角形全等有AE＝BD，AD＝CE，所以DE＝BD+CE＝5+3＝8.
6.A【思路分析】在A选项中没有边，所以无法判定两直角三角形全等.
7.D【思路分析】一直角边与一斜边对应相等.
8.D【思路分析】分别是△ABD≌△ACE，△ABF≌△ACF，△ABE≌△ACD，△ADF≌△AEF.
二、
9.全等三角形的对应边也相等
10.20cm【思路分析】过M作AB的垂线段MN，通过三角形全等说明MN=CM=20cm.
11.
（1）AD=BC（HL）；
（2）∠DAB=∠CBA（AAS）；（3）DB=CA（HL）；（4）∠DBA=∠CAB（AAS）【思路分析】根据全等三角形的判定方法来确定所需添加的边和角.
12.8【思路分析】利用“ASA”可得△ABE≌△CDE，所以AB=CD=8.
13.18【思路分析】BE=CE，DE=DE，所以△BDE≌△CDE，CD=BD，即△ADC的周长是AB+AC=10+8=18.
三、
14.解：
六种情况：
【思路分析】根据全等三角形的判定方法来确定所画的每一个三角形与原三角形全等.
15.解：
作法：
（1）作BC=
a
（2）分别以B、C为顶点，BC为边作∠MBC=
∠α，∠NCB=∠α相交于点A，则△ABC就是所求
【思路分析】利用基本作图法作出三角形．
16.解：
PM=HN.∵∠MEH=∠NQH=90°（平角定义），
∠MHE=∠NHQ（对顶角相等），
【思路分析】通过证两个三角形全等来说明MP=NH.
17.解：
∵CD⊥AC，CD⊥DF，∴∠C=∠D=Rt∠
在△ACO与△FDO中
∴△ACO≌△FDO（ASA），∴DF=AC
同理：
△BCO≌△EDO（ASA），∴BC=DE
∴AB=EF
【思路分析】证△BCO≌△EDO（ASA），△ACO≌△FDO（ASA），所以AC=DF，BC=DE，所以AC－BC=DF－DE，得AB=EF.
18.证明：
连接CD
∵AD⊥AC，BC⊥BD
∴∠DAC=∠CBD=90º
在Rt△ACD和Rt△BDC中
∴Rt△ACD≌Rt△BDC（HL）．
∴AD=BC．
【思路分析】连接CD，证Rt△ADC≌Rt△BCD，所以AD=BC.
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