【解析】:
(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2)>0.
答案:
a1b1+a2b2>a1b2+a2b1
7.现给出三个不等式:
①a2+1>2a;②a2+b2>2;③+>+.其中恒成立的不等式共有________个.
【解析】:
因为a2-2a+1=(a-1)2≥0,所以①不恒成立;对于②,a2+b2-2a+2b+3=(a-1)2+(b+1)2+1>0,所以②恒成立;对于③,因为(+)2-(+)2=2-2>0,且+>0,+>0,所以+>+,即③恒成立.
答案 2
8.已知-1≤x+y≤4,且2≤x-y≤3,则z=2x-3y的取值范围是________(用区间表示).
【解析】:
∵z=-(x+y)+(x-y),
∴3≤-(x+y)+(x-y)≤8,
∴z∈[3,8].
答案 [3,8]
三、解答题
9.已知a∈R,试比较与1+a的大小.
【解析】:
-(1+a)=.
①当a=0时,=0,∴=1+a.
②当a<1且a≠0时,>0,∴>1+a.
③当a>1时,<0,∴<1+a.
综上所述,当a=0时,=1+a;
当a<1且a≠0时,>1+a;
当a>1时,<1+a.
10.已知f(x)=ax2-c且-4≤f
(1)≤-1,-1≤f
(2)≤5,求f(3)的取值范围.
【解析】:
由题意,得
解得
所以f(3)=9a-c=-f
(1)+f
(2).
因为-4≤f
(1)≤-1,所以≤-f
(1)≤,
因为-1≤f
(2)≤5,所以-≤f
(2)≤.
两式相加,得-1≤f(3)≤20,故f(3)的取值范围是[-1,20].
[二级目标]能力提升题组
1、选择题
1.若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( )
A.a+>b+B.>
C.a->b-D.>
答案:
A
【解析】:
取a=2,b=1,排除B与D;另外,函数f(x)=x-是(0,+∞)上的增函数,但函数g(x)=x+在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以,当a>b>0时,f(a)>f(b)必定成立,即a->b-⇔a+>b+,但g(a)>g(b)未必成立,故选A.
2.若a、b均为不等于零的实数,给出下列两个条件.条件甲:
对于区间[-1,0]上的一切x值,ax+b>0恒成立;条件乙:
2b-a>0,则甲是乙的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】:
当x∈[-1,0]时,恒有ax+b>0成立,
∴当a>0时,ax+b≥b-a>0,
当a<0时,ax+b≥b>0,∴b-a>0,b>0,∴2b-a>0,
∴甲⇒乙,乙推不出甲,例如:
a=b,b>0时,
则2b-a=b>0,
但是,当x=-1时,a·(-1)+b=-b+b=-b<0,
∴甲是乙的充分不必要条件.
答案 A
2、填空题
3.给出下列四个命题:
①若a>b>0,则>;②若a>b>0,则a->b-;
③若a>b>0,则>;④设a,b是互不相等的正数,则|a-b|+≥2.
其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上).
【解析】:
①作差可得-=,而a>b>0,则<0,此式错误.②a>b>0,则<,进而可得->-,所以可得a->b-正确.③-===<0,错误.④当a-b<0时此式不成立,错误.
答案 ②
三、解答题
4.
(1)设x≥1,y≥1,证明:
x+y+≤++xy;
(2)设1<a≤b≤c,证明:
logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.
证明:
(1)由于x≥1,y≥1,所以
x+y+≤++xy⇔xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.
将上式中的右式减左式,得
[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1).
既然x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,
从而所要证明的不等式成立.
(2)设logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得
logca=,logba=,logcb=,logac=xy.
于是,所要证明的不等式即为
x+y+≤++xy
其中x=logab≥1,y=logbc≥1.故由
(1)可知所要证明的不等式成立.
5.已知f(x)是定义在(-∞,4]上的减函数,是否存在实数m,使得f(m-sinx)≤
f对定义域内的一切实数x均成立?
若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】:
假设实数m存在,依题意,
可得
即
因为sinx的最小值为-1,且-(sinx-)2的最大值为0,要满足题意,必须有
解得m=-或≤m≤3.
所以实数m的取值范围是∪.
[高考链接]
1.(2016年全国高考1卷理8)若
则()
A.
B.
C.
D.
【解析】:
对于选项A,考虑幂函数
因为
所以
为增函数,又
所以
A错.对于选项B,
又
是减函数,所以B错.对于选项D,由对数函数的性质可知D错,故选C.
答案C
2.(2016年北京卷理5)已知
且
则()
A.
B.
C.
D.
【解析】:
因为函数
在R上单调递减,且
所以
.
答案C