高三第一轮复习不等式的性质及简单应用.docx

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高三第一轮复习不等式的性质及简单应用

第4章不等式、线性规划及推理证明

[考纲解读]

1.不等关系

了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式（组）的实际背景.

2.一元二次不等式

①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.

②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。

3.绝对值不等式

①理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

②会利用绝对值的几何意义求以下类型的不等式：

4.基本不等式：

①了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

5.二元一次不等式组与简单线性规划问题

①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

第25讲不等式

第57课时不等式的性质及简单应用

（编者刘善兵审稿颜伟）

【提纲挈领】

主干知识归纳

1．两个实数比较大小的方法

（1）作差法（a，b∈R）；

（2）作商法（a∈R，b>0）．

2．不等式的基本性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

a>b⇔b

⇔

传递性

a>b，b>c⇒a>c

⇒

可加性

a>b⇔a＋c>b＋c

⇔

可乘性

⇒ac>bc

注意c的符号

⇒ac

同向可加性

⇒a＋c>b＋d

⇒

同向同正可乘性

⇒ac>bd

⇒

可乘方性

a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥1）

a，b同为正数

可开方性

a>b>0⇒>（n∈N，n≥2）

3.不等式的一些常用性质

（1）倒数的性质

①a>b，ab>0⇒

.

②a<0

.

③a>b>0,0

④0

.

（2）有关分数的性质

若a>b>0，m>0，则

①<；>（b－m>0）．

②>；<（b－m>0）．

方法规律总结

1．数或式的大小比较常见的思路：

一是采用作差（或作商）比较法；二是直接应用不等式的性质或基本不等式；三是利用函数的单调性．在不等关系的判断及数或式的大小比较过程中等价转化是关键．

2．由M1

[指点迷津]

[类型一]数与式的大小比较

【例1】：

（1）已知a1，a2∈（0,1），记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（　　）

A．MN

C．M＝ND．不确定

（2）若a＝，b＝，c＝，则（　　）

A．a

C．c

【解析】：

（1）M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）

＝a1a2－a1－a2＋1

＝a1（a2－1）－（a2－1）

＝（a1－1）（a2－1），

又∵a1∈（0,1），a2∈（0,1），

∴a1－1<0，a2－1<0.

∴（a1－1）（a2－1）>0，即M－N>0.∴M>N.

（2）方法一　易知a，b，c都是正数，＝

＝log8164<1，所以a>b；

＝＝log6251024>1，

所以b>c.即c

方法二　对于函数y＝f（x）＝，y′＝，

易知当x>e时，函数f（x）单调递减．因为e<3<4<5，所以f（3）>f（4）>f（5），

即c

答案:

（1）B　

（2）B

【例2】：

（1）如果a

A.

C．－ab<－a2D．－<－

（2）（2013·课标全国Ⅱ）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（　　）

A．a>c>bB．b>c>a

C．c>b>aD．c>a>b

【解析】：

（1）对于A项，由a0，ab>0，

故－＝>0，>，故A项错误；

对于B项，由a0，ab>b2，故B项错误；

对于C项，由a0，a2>ab，

即－ab>－a2，故C项错误；

对于D项，由a0，

故－－（－）＝<0，

－<－成立．故D项正确．

（2）因为log32＝<1，log52＝<1，又log23>1，所以c最大．又1，即a>b，所以c>a>b，选D.

答案:

（1）D　

（2）D

[类型二]不等式性质的简单应用

【例3】：

　已知a>b>0，给出下列四个不等式：

①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.

其中一定成立的不等式为（　　）

A．①②③B．①②④

C．①③④D．②③④

【解析】：

　方法一　由a>b>0可得a2>b2，①成立；

由a>b>0可得a>b－1，而函数f（x）＝2x在R上是增函数，

∴f（a）>f（b－1），即2a>2b－1，②成立；

∵a>b>0，∴>，

∴（）2－（－）2

＝2－2b＝2（－）>0，

∴>－，③成立；

若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，

a3＋b3<2a2b，④不成立．

故选A.

方法二　令a＝3，b＝2，

可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A.

答案:

　A

【例4】：

（1）设a，b是非零实数，若a

A．a2

C.

（2）已知a，b，c∈R，有以下命题：

①若a>b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b；③若a>b，则a·2c>b·2c.

其中正确的是________．（填上所有正确命题的序号）

【解析】：

（1）当a<0时，a2

因为ab2－a2b＝ab（b－a），

b－a>0，ab符号不确定，

所以ab2与a2b的大小不能确定，故B错．

因为－＝<0，

所以<，故C正确．

D项中与的大小不能确定．

（2）①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知成立．

答案:

（1）C　

（2）②③

[类型三]求字母或代数式范围问题

【例5】：

设f（x）＝ax2＋bx，若1≤f（－1）≤2,2≤f

（1）≤4，则f（－2）的取值范围是________．

【解析】：

　方法一　设f（－2）＝mf（－1）＋nf

（1）（m、n为待定系数），则4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b），

即4a－2b＝（m＋n）a＋（n－m）b，

于是得解得

∴f（－2）＝3f（－1）＋f

（1）．

又∵1≤f（－1）≤2,2≤f

（1）≤4，

∴5≤3f（－1）＋f

（1）≤10，即5≤f（－2）≤10.

方法二　由

得

∴f（－2）＝4a－2b＝3f（－1）＋f

（1）．

又∵1≤f（－1）≤2,2≤f

（1）≤4，

∴5≤3f（－1）＋f

（1）≤10，故5≤f（－2）≤10.

方法三　

由

确定的平面区域如图阴影部分，

当f（－2）＝4a－2b过点A（，）时，

取得最小值4×－2×＝5，

当f（－2）＝4a－2b过点B（3,1）时，

取得最大值4×3－2×1＝10，

∴5≤f（－2）≤10.

答案:

　[5,10]

【例6】：

（2010·辽宁）已知－1

【解析】：

设2x－3y＝λ（x＋y）＋μ（x－y）＝（λ＋μ）x＋（λ－μ）y，对应系数相等，

则⇒

从而2x－3y＝－（x＋y）＋（x－y）∈（3,8）．

[同步训练]

[一级目标]基础巩固组

一、选择题

1.已知

则（）

A.

B.

C.

D.

【解析】：

因为

都小于1且大于0,故排除C,D;又因为

都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以

故选B.

答案:

　B

2．设0

A．ab

b<

a<0

C．2b<2a<2D．a2

【解析】：

取a＝，b＝验证可得．

答案:

C

3．已知下列四个条件：

①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有（　　）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解析】：

　运用倒数性质，由a>b，ab>0可得<，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.

答案:

　C

4．如果a，b，c满足c

A．ab>acB．c（b－a）>0

C．cb2

【解析】：

　由题意知c<0，a>0，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时C不正确．

答案:

　C

5．若a＞0，b＞0，则不等式－b＜＜a等价于（　　）．

A．－＜x＜0或0＜x＜B．－＜x＜

C．x＜－或x＞D．x＜－或x＞

【解析】：

　由题意知a＞0，b＞0，x≠0，

（1）当x＞0时，－b＜＜a⇔x＞；

（2）当x＜0时，－b＜＜a⇔x＜－.

综上所述，不等式－b＜＜a⇔x＜－或x＞.

答案:

　D

二、填空题

6．若a1

【解析】：

（a1b1＋a2b2）－（a1b2＋a2b1）＝（a1－a2）（b1－b2）>0.

答案:

a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1

7．现给出三个不等式：

①a2＋1>2a；②a2＋b2>2；③＋>＋.其中恒成立的不等式共有________个．

【解析】：

　因为a2－2a＋1＝（a－1）2≥0，所以①不恒成立；对于②，a2＋b2－2a＋2b＋3＝（a－1）2＋（b＋1）2＋1>0，所以②恒成立；对于③，因为（＋）2－（＋）2＝2－2>0，且＋>0，＋>0，所以＋>＋，即③恒成立．

答案　2

8．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________（用区间表示）．

【解析】：

　∵z＝－（x＋y）＋（x－y），

∴3≤－（x＋y）＋（x－y）≤8，

∴z∈[3,8]．

答案　[3,8]

三、解答题

9．已知a∈R，试比较与1＋a的大小．

【解析】：

－（1＋a）＝.

①当a＝0时，＝0，∴＝1＋a.

②当a＜1且a≠0时，＞0，∴＞1＋a.

③当a＞1时，＜0，∴＜1＋a.

综上所述，当a＝0时，＝1＋a；

当a＜1且a≠0时，＞1＋a；

当a＞1时，＜1＋a.

10．已知f（x）＝ax2－c且－4≤f

（1）≤－1，－1≤f

（2）≤5，求f（3）的取值范围．

【解析】：

　由题意，得

解得

所以f（3）＝9a－c＝－f

（1）＋f

（2）．

因为－4≤f

（1）≤－1，所以≤－f

（1）≤，

因为－1≤f

（2）≤5，所以－≤f

（2）≤.

两式相加，得－1≤f（3）≤20，故f（3）的取值范围是[－1,20]．

[二级目标]能力提升题组

1、选择题

1．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是（　　）

A．a＋>b＋B.>

C．a－>b－D.>

答案:

　A

【解析】：

取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f（x）＝x－是（0，＋∞）上的增函数，但函数g（x）＝x＋在（0,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，所以，当a>b>0时，f（a）>f（b）必定成立，即a－>b－⇔a＋>b＋，但g（a）>g（b）未必成立，故选A.

2．若a、b均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：

对于区间[－1,0]上的一切x值，ax＋b>0恒成立；条件乙：

2b－a>0，则甲是乙的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】：

　当x∈[－1,0]时，恒有ax＋b>0成立，

∴当a>0时，ax＋b≥b－a>0，

当a<0时，ax＋b≥b>0，∴b－a>0，b>0，∴2b－a>0，

∴甲⇒乙，乙推不出甲，例如：

a＝b，b>0时，

则2b－a＝b>0，

但是，当x＝－1时，a·（－1）＋b＝－b＋b＝－b<0，

∴甲是乙的充分不必要条件．

答案　A

2、填空题

3．给出下列四个命题：

①若a>b>0，则>；②若a>b>0，则a－>b－；

③若a>b>0，则>；④设a，b是互不相等的正数，则|a－b|＋≥2.

其中正确命题的序号是________（把你认为正确命题的序号都填上）．

【解析】：

　①作差可得－＝，而a>b>0，则<0，此式错误．②a>b>0，则<，进而可得－>－，所以可得a－>b－正确．③－＝＝＝<0，错误．④当a－b<0时此式不成立，错误．

答案　②

三、解答题

4．

（1）设x≥1，y≥1，证明:

x＋y＋≤＋＋xy；

（2）设1＜a≤b≤c，证明:

logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.

证明:

（1）由于x≥1，y≥1，所以

x＋y＋≤＋＋xy⇔xy（x＋y）＋1≤y＋x＋（xy）2.

将上式中的右式减左式，得

[y＋x＋（xy）2]－[xy（x＋y）＋1]＝[（xy）2－1]－[xy（x＋y）－（x＋y）]＝（xy＋1）（xy－1）－（x＋y）（xy－1）＝（xy－1）（xy－x－y＋1）＝（xy－1）（x－1）（y－1）．

既然x≥1，y≥1，所以（xy－1）（x－1）（y－1）≥0，

从而所要证明的不等式成立．

（2）设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得

logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.

于是，所要证明的不等式即为

x＋y＋≤＋＋xy

其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由

（1）可知所要证明的不等式成立．

5．已知f（x）是定义在（－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f（m－sinx）≤

f对定义域内的一切实数x均成立？

若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解析】：

　假设实数m存在，依题意，

可得

即

因为sinx的最小值为－1，且－（sinx－）2的最大值为0，要满足题意，必须有

解得m＝－或≤m≤3.

所以实数m的取值范围是∪.

[高考链接]

1.（2016年全国高考1卷理8）若

则（）

A.

B.

C.

D.

【解析】：

对于选项A,考虑幂函数

因为

所以

为增函数,又

所以

A错.对于选项B,

又

是减函数,所以B错.对于选项D,由对数函数的性质可知D错,故选C.

答案C

2.（2016年北京卷理5）已知

且

则（）

A.

B.

C.

D.

【解析】：

因为函数

在R上单调递减,且

所以

.

答案C