高三第一轮复习不等式的性质及简单应用.docx

1、高三第一轮复习不等式的性质及简单应用第4章 不等式、线性规划及推理证明考纲解读1.不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。3.绝对值不等式理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：会利用绝对值的几何意义求以下类型的不等式：, , 4.基本不等式：了解基本不等式的证明过程。会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。5.二元一次不等式组与简单线性规划问

2、题会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。第25讲 不等式第57课时 不等式的性质及简单应用(编者 刘善兵 审稿 颜伟)【提纲挈领】主干知识归纳1两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)；(2)作商法 (aR，b0)2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符号acbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性

3、质ab，ab0.a0b0,0cd0axb或axbb0，m0，则(bm0)；0)方法规律总结1数或式的大小比较常见的思路：一是采用作差(或作商)比较法；二是直接应用不等式的性质或基本不等式；三是利用函数的单调性在不等关系的判断及数或式的大小比较过程中等价转化是关键2由M1f1(a，b)N1和M2f2(a，b)N2，求g(a，b)的取值范围，固然要将已知两个不等式相加，但不等式相加的次数应尽可能少，以免将取值范围扩大这时可以用所谓的“线性相关值”，令g(a，b)pf1(a，b)qf2(a，b)，用恒等关系求出待定系数p，q，于是一次相加，便可求到所需要的范围指点迷津类型一数与式的大小比较【例1】：

4、(1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNCMN D不确定(2)若a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbac【解析】：(1)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0. MN.(2)方法一易知a，b，c都是正数，log8164b；log6251 0241，所以bc.即cbe时，函数f(x)单调递减因为e34f(4)f(5)，即cba.答案:(1)B(2)B【例2】： (1)如果ab0，那么下列不等式成立的是()A. Babb2

5、Caba2 Dcb BbcaCcba Dcab【解析】：(1)对于A项，由ab0，ab0，故0， ，故A项错误；对于B项，由ab0，abb2，故B项错误；对于C项，由ab0，a2ab，即aba2，故C项错误；对于D项，由ab0，得ab0，故()0，成立故D项正确(2)因为log321，log521，所以c最大又1log23，即ab，所以cab，选D.答案:(1)D(2)D 类型二不等式性质的简单应用【例3】：已知ab0，给出下列四个不等式：a2b2；2a2b1；a3b32a2b.其中一定成立的不等式为()A BC D【解析】：方法一由ab0可得a2b2，成立；由ab0可得ab1，而函数f(x)

6、2x在R上是增函数，f(a)f(b1)，即2a2b1，成立；ab0，()2()222b2()0，成立；若a3，b2，则a3b335,2a2b36，a3b3b2，2a2b1，均成立，而a3b32a2b不成立，故选A.答案:A【例4】：(1)设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是()Aa2b2 Bab2a2bC. D.b，则ac2bc2；若ac2bc2，则ab；若ab，则a2cb2c.其中正确的是_(填上所有正确命题的序号)【解析】：(1)当a0时，a20，ab符号不确定，所以ab2与a2b的大小不能确定，故B错因为0，所以0知成立答案:(1)C(2) 类型三求字母或代数式范围问题【例5

7、】： 设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_【解析】：方法一设f(2)mf(1)nf(1) (m、n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，即5f(2)10.方法二由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法三由确定的平面区域如图阴影部分，当f(2)4a2b过点A(，)时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110，5f(

8、2)10.答案:5,10【例6】： (2010辽宁)已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围为_(答案用区间表示)【解析】： 设2x3y(xy)(xy)()x()y，对应系数相等，则从而2x3y(xy)(xy)(3,8)同步训练一级目标基础巩固组一、选择题1.已知则( )A. B. C. D. 【解析】： 因为,都小于1且大于0,故排除C,D;又因为都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以,故选B.答案:B2设0ba1，则下列不等式成立的是()Aabb21 Bba0C2b2a2 Da2ab0a，0ab，a0b，ab0，能推出b，ab0可得，、正确又正数大于负数，正确，错误，故选C.答

9、案:C4如果a，b，c满足cba，且acac Bc(ba)0Ccb2ab2 Dac(ac)0【解析】：由题意知c0，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b0时C不正确答案:C5若a0，b0，则不等式ba等价于()Ax0或0x BxCx或x Dx或x【解析】：由题意知a0，b0，x0，(1)当x0时，bax；(2)当x0时，bax.综上所述，不等式bax或x.答案:D二、填空题6若a1a2，b10.答案: a1b1a2b2a1b2a2b17现给出三个不等式：a212a；a2b22；.其中恒成立的不等式共有_个【解析】：因为a22a1(a1)20，所以不恒成立；对于，a2b22a2b3(a1)

10、2(b1)210，所以恒成立；对于，因为()2()2220，且0，0，所以，即恒成立答案28已知1xy4，且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(用区间表示)【解析】：z(xy)(xy)，3(xy)(xy)8，z3,8答案3,8三、解答题9已知aR，试比较与1a的大小【解析】：(1a).当a0时，0，1a.当a1且a0时，0，1a.当a1时，0，1a.综上所述，当a0时，1a；当a1且a0时，1a；当a1时，1a.10已知f(x)ax2c且4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范围【解析】：由题意，得,解得所以f(3)9acf(1)f(2)因为4f(1)1，所以f(1)，因为1f(2)5

11、，所以f(2).两式相加，得1f(3)20，故f(3)的取值范围是1,20二级目标能力提升题组1、选择题1若ab0，则下列不等式中一定成立的是()Aab B.Cab D.答案:A【解析】：取a2，b1，排除B与D；另外，函数f(x)x是(0，)上的增函数，但函数g(x)x在(0,1上递减，在1，)上递增，所以，当ab0时，f(a)f(b)必定成立，即abab，但g(a)g(b)未必成立，故选A.2若a、b均为不等于零的实数，给出下列两个条件条件甲：对于区间1,0上的一切x值，axb0恒成立；条件乙：2ba0，则甲是乙的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【

12、解析】：当x1,0时，恒有axb0成立，当a0时，axbba0，当a0，ba0，b0，2ba0，甲乙，乙推不出甲，例如：ab，b0时，则2bab0，但是，当x1时，a(1)bbbbb0，则； 若ab0，则ab；若ab0，则； 设a，b是互不相等的正数，则|ab|2.其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)【解析】：作差可得，而ab0，则b0，则，所以可得ab正确0，错误当ab0时此式不成立，错误答案三、解答题4 (1)设x1，y1，证明: xyxy；(2)设1abc，证明: logablogbclogcalogbalogcblogac.证明:(1)由于x1，y1，所以xyxyxy

13、(xy)1yx(xy)2.将上式中的右式减左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)既然x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立(2)设logabx，logbcy，由对数的换底公式得logca，logba，logcb，logacxy.于是，所要证明的不等式即为xyxy其中xlogab1，ylogbc1.故由(1)可知所要证明的不等式成立5已知f(x)是定义在(，4上的减函数，是否存在实数m，使得f(msin x) f对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】：假设实数m存在，依题意，可得即因为sin x的最小值为1，且(sin x)2的最大值为0，要满足题意，必须有解得m或m3.所以实数m的取值范围是.高考链接1.(2016年全国高考1卷理8)若则( )A. B. C. D. 【解析】：对于选项A,考虑幂函数,因为,所以为增函数,又,所以,A错.对于选项B,又是减函数,所以B错.对于选项D,由对数函数的性质可知D错,故选C.答案 C2.(2016年北京卷理5)已知且,则( )A. B. C. D. 【解析】： 因为函数在R上单调递减,且,所以.答案 C