四川省高一上学期数学期末考试试题.docx
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四川省高一上学期数学期末考试试题
高一数学试题
期末考试
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。
总分 150 分。
考试时间 120
分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分 60 分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考0.5用 米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是
否正确。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择0.5用 米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应
框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求）
1．已知集合 A = {x | x 2 - x = 0} ，集合 B = {x ∈ N | -1 ≤ x < 3} ，则下列结论正确的是
+
A．1 ⊆ （ A B）B．1∈ （ A B）C．A
B =∅ D． A B = B
2．若 sin α < 0 且 tan α > 0 ，则 α 是
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
3．下列函数中哪个与函数 y = x 相等
A．y = （ x ）2
B．y =
5 5
C．y = x2
D．y =
x3
x 2
4.设 f
（x ） = ⎧⎪2x-1, x < 2
2
，则 f （ f
（2）） 的值为
A．0B．1C.2D．3
13
5.若角 θ 的终边过点 （ , -
22
） ，则 sin θ 等于
A．
1 1 3 3
B． - C. - D．
2 2 2 2
6.下列说法不正确的是
A．方程 f （x ） = 0 有实根 ⇔ 函数 y = f （x ）有零点
B． - x2 + 3x + 6 = 0 有两个不同的实根
C.函数 y = f （x ）在 [a, b]上满足 f （a ）⋅ f （b ） < 0 ，则 y = f （x ）在 （a, b ）内有零点
D．单调函数若有零点，至多有一个
7.函数 f （ x） = 2sin（ ω x + ϕ） （ω > 0,| ϕ |< π
ω, ϕ 的值分别是
A． 2, -
π
π
π π
D． 4,
6 3
8.已知 cos（
π
12 - θ ） =
1 5π
，则 sin（
3 12
+ θ ） =
A． 1
3
2 2 2 2
B． C. - D． -
3 3
π1π
， sin（β -） =，且 α , β 均为锐角，则 sin（α +） =
5636
A． 8 2 - 3
15
8 2 - 4 8 - 4 2
B． C. D．
15 15
10. 将函数 f （ x） = cos（ x -
π
左平移
π
6
个单位，所得函数图象的一条对称轴是
πππ
462
11．若实数 x, y 满足 | x - 1| - ln 1 = 0 ，则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是
y
12.定义域为 R 的偶函数 f （ x） 满足对任意的 x ∈ R ，有 f （ x + 2） = f （ x） + f
（1）, 且当
x ∈ [2,3]时， f （ x） = -2 x 2+12 x - 18 ，若函数 y = f （ x） - log （ x + 1） 在 R 上恰有六个零
a
点，则实数 a 的取值范围是
A. （0,
5
5
） B. （
5 5 3 3
1） C. （ , ） D. （ ,1）
5 5 3 3
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二．填空题：
本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 函数 f （x ） = 1 + 2sin x 的最大值为.
14. 已 知 函 数 f （x ） = 2x2 - kx + 1 在 区 间 [1, 3 上 是 单 调 函 数 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围
为.
15. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬. 鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度 v 可以
表示为耗氧量 x 的函数 v = a log
x
2 10
. 若两岁燕子耗氧量达到 40 个单位时，其飞行速度
为 v = 10m / s ，则两岁燕子飞行速度为 25m / s 时，耗氧量达到_____________单位.
16.关于函数 f （ x） = ⎨1, x为有理数,
⎩ 0,x为无理数,
有以下四个命题：
①对于任意的 x ∈ R ，都有 f （ f （ x）） = 1 ；②函数 f （ x） 是偶函数；
③若 T 为一个非零有理数，则 f （ x + T ） = f （ x） 对任意 x ∈ R 恒成立；
④在 f （ x） 图象上存在三个点 A ， B ， C ，使得 ∆ABC 为等边三角形．其中正确命题的序
号是．
三.解答题：
本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（本小题满分 10 分）
1
⎝ 8 ⎭
2sin α - 3cosα
（Ⅱ） 已知 sin α = 2 cos α ，求的值。
18．（本小题满分 12 分）
已知下表为“五点法”绘制函数 f （ x） = Asin（ω x + ϕ） 图象时的五个关键点的坐标（其
中 A > 0,ω > 0, ϕ < π ）.
x
f （ x）
- π
6
0
π
12
2
π
3
0
7π
12
-2
5π
6
0
（Ⅰ） 请写出函数 f （ x） 的最小正周期和解析式；
（Ⅱ） 求函数 f （ x） 的单调递增区间；
（Ⅲ） 求函数 f （ x） 在区间 [0,
π
2
] 上的取值范围.
19.（本题满分 12 分）
已知定义域为 R 的单调减函数 f （ x） 是奇函数，当 x > 0 时， f （ x） =
x
3
- 2x .
（Ⅰ）求 f （0） 的值；
（Ⅱ）求 f （ x） 的解析式；
（Ⅲ）若对任意的 t ∈ R ，不等式 f （t 2 - 2t ） + f （2t 2 - k ） < 0 恒成立，求实数 k 的取值
范围.
20.（本小题满分 12 分）
据市场调查发现，某种产品在投放市场的 30 天中，其销售价格 P（元）和时间 t （ t ∈ N （天）
的关系如图所示.
（I） 求销售价格 P（元）和时间 t（天）的函数关系式；
（II）若日销售量 Q（件）与时间 t（天）的函数关系式是 Q = -t + 40（0 ≤ t ≤ 30, t ∈ N ），问
该产品投放市场第几天时，
日销售额 y （元）最高，且最高为多少元？
P
40
30
20
O2030t
21.本小题满分 12 分）
1
3
g （a ） = M （a ） - N （a ） .
（ ）
（ ）（ ）
22.（本小题满分 12 分）
已知函数 f （ x） ，对于任意的 x, y ∈ R ，都有 f （ x + y） = f （ x） + f （ y） , 当 x > 0 时，
f （ x） < 0
，
且
1
2
（ I ） 求 f （0）, f （3） 的值；
（II） 当 -8 ≤ x ≤ 10 时，求函数 f （ x） 的最大值和最小值；
2
数 m 的取值范围.
数学试题答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
题号
答案
1
B
2
C
3
B
4
B
5
C
6
B
7
B
8
A
9
A
10
D
11
B
12
C
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13. 3
14. k ∈ （- ∞,4] 12,+∞）
15.320 16.①②③④
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.）
- 1
=2+1+1=4………………………………………………………………………..5 分
（2）解法一：
sin α = 2 cos α
∴ tan α = 2 …………………………………………………………………………..7 分
=…………………………………………………….9 分
4sin α - 9 cos α4 tan α - 9
= -1………………………………………………………………………………….10 分
解法二：
sin α = 2 cos α
4 cos α - 3cos α
==-1
4sin α - 9 cos α8cos α - 9 cos α
18．（本小题满分 12 分）
解:
（I） T =
5 π
6 6
即 T =
2π
ω
= π , 所以 ω = 2 .
又 A = 2 , f （ x） = 2sin（2 x + ϕ ） ,
将 （
π π π
2） 代入 f （ x） , 有 2sin（ + ϕ ） = 2 ，即 sin（ + ϕ ） = 1 .
12 6 6
π57πππ
因为 |ϕ | < π, 所以 ϕ +∈ （-π,π） ，因此ϕ +=，即 ϕ =.
666623
π
故 f （ x） = 2sin（2 x +） .………………………4 分
3
ππ
（II） 因为函数 y = sin x 的单调区间为 2kπ -< x < 2kπ +，
22
πππ
所以令 2kπ -< 2 x +< 2kπ +，
232
即2kπ -
5π π
< 2 x < 2kπ + ，
6 6
解得kπ -
5π π
< x < kπ + ，
12 12
所以 f （ x） 的增区间为 （kπ -
5π π
12 12
πππ 4π
（Ⅲ）因为 x ∈[0, ] ，所以有 2 x +∈ [ ,
2333
] ，
π
所以当 x =时 ，函数 f （ x） 取得最大值 2 ，
12
当 x = π 时，函数 f （ x） 取得最小值 - 3 ，
2
π
所以函数 f （ x） 在 [0, ] 上的取值范围为[- 3,2]………………………12
2
（19）解:
（Ⅰ）因为定义域为 R 的函数 f （ x） 是奇函数，
所以 f （0） = 0 .……………………………………2 分
（Ⅱ）因为当 x < 0 时， - x > 0 ，
所以 f （- x） = - x - 2- x .
3
又因为函数 f （ x） 是奇函数，所以 f （- x） = - f （ x） .
所以 f （ x） = x + 2- x .
3
⎧ x
⎪
综上， f （ x） = ⎨0,x = 0,……………………………………8 分
⎪ x
⎪ + 2- x , x < 0.
⎩ 3
（Ⅲ）由 f （t 2 - 2t ） + f （2t 2 - k ） < 0 得 f （t 2 - 2t ） < - f （2t 2 - k ） .
因为 f （ x） 是奇函数， 所以 f （t 2 - 2t ） < f （k - 2t 2 ） .又 f （ x） 在 R 上是减函数，所以
t 2 - 2t > k - 2t 2 .
即 3t 2 - 2t - k > 0 对任意 t ∈ R 恒成立.
1
3
【方法二】即 k < 3t 2 - 2t 对任意 t ∈ R 恒成立.令 g （t ） = 3t 2 - 2t ， t ∈ R
则 g （t ） = 3t 2 - 2t = 3（t 2 -
t ） = 3（t - ）2 - ≥ - ∴ k < -
3 3 3 3 3
1
故实数 k 的取值范围为 （-∞, - ） ．……………………………………12 分
3
20.（本小题满分 12 分）
解：
（I）①当 0 ≤ t < 20, t ∈ N 时，
⎧a = 1,
解得 ⎨
所以 P = t + 20（0 ≤ t < 20, t ∈ N ）.………………….3
分
②当 20 ≤ t ≤ 30, t ∈ N 时，
设 P = at + b, 将 （20, 40）,（30,30）代入，解得 ⎨a = -1,
⎩b = 60.
所以 P = -t + 60（20 ≤ t ≤ 30, t ∈ N）,………………….5
分
⎧t + 20（0 ≤ t < 20,t ∈N ）,
综上所述 P =⎨
⎩-t + 60（20 ≤ t ≤ 30,t ∈N ）.
………………….6
分
（II）依题意，有 y = P ⋅ Q,
得 y =⎨（t + 20）（-t + 40）（0 ≤ t < 20, t ∈ N）,
⎩（-t + 60）（-t + 40）（20 ≤ t ≤ 30, t ∈ N）.
………………….7 分
⎧⎪-t 2 + 20t + 800（0 ≤ t < 20, t ∈ N）,
化简得 y = ⎨
⎪⎩t 2 - 100t + 2400（20 ≤ t ≤ 30, t ∈ N）.
⎧⎪-（t - 10） 2 + 900（0 ≤ t < 20, t ∈ N）,
整理得y =⎨………………….9 分
⎪⎩（t - 50） 2 - 100（20 ≤ t ≤ 30, t ∈ N）.
① 当 0 ≤ t < 20, t ∈ N 时，由 y = -（t - 10）2 + 900可得，当 t = 10 时， y 有最大值 900
元.………10 分
② 当 20 ≤ t ≤ 30, t ∈ N 时，由 y = （t - 50）2 - 100 可得，当 t = 20 时， y 有最大值 800
元.…….11 分
因为 900 > 800 ，所以在第 10 天时，日销售额最大，最大值为 900 元.………………….12
分
21.解：
（Ⅰ）因为 f （ x） = a（ x - 1 ）2 + 1 -
a
1 1 1
，又 ≤ a ≤ 1 ，所以1 ≤ ≤ 3 .
a 3 a
当1 ≤
1 1
≤ 2 即 ≤ a ≤ 1时， M （a） = f （3） = 9a - 5 ，
a 2
11
N （a） = 1 -， g （a） = M （a） - N （a） = 9a +- 6 ；
aa
111
当 2 <≤ 3 ，即≤ a <时， M （a） = f
（1） = a - 1 ，
a32
11
N （a） = 1 -， g （a） = M （a） - N （a） = a +- 2 .
aa
⎧11
9a +- 6,≤ a ≤ 1
111
⎪a32
11
≤ a < a ≤ 1，则 g （a ） - g （a ） = 9a +- 6 - （9a +- 6） = 9（a - a ）
12121212
12
a a -
1 2
a a
1 2
1
1
2
1
设≤ a < a ≤
12
1
2
，则 g （a ） - g （a ） = a +
1 2 1
1 2 1 2
2 1 2
1 1 a a - 1
所以 g （a ）在 [1 , 1 ] 上为减函数.所以当 a =
3 2
1
2
时， g （ x）
1 1
min= g （ 2 2
.
22. 解：
（I）令 x = y = 0 得 f （0） = f （0） + f （0） ，得 f （0） = 0 .………………….1 分
令 x = y = 1,得 f
（2） = 2 f
（1）= -1 ，………………….2 分
3
2
x , x ∈ R, 且 x < x ， x - x > 0 ，
21221
因为
f （ x + y） - f （x） = f （ y）
，即 f （ x + y） - f （ x） = f [（x + y） - x] = f （ y）
，
则 f （ x ） - f （ x ） = f （ x - x ） .…………………4 分
2121
由已知 x > 0 时， f （ x） < 0 且 x - x > 0 ，则 f （ x - x ） < 0 ，
2121
所以 f （ x ） - f （ x ） < 0 ， f （ x ） < f （ x ） ，
2121
所以 函数 f （ x） 在 R 上是减函数，………………….5 分
故 f （ x） 在 [-8,10] 单调递减.
所以 f （ x）
max
= f （-8）, f （ x）
min
= f （10），
3
又 f （10） = 2 f （5） = 2[ f
（2） + f （3）] = 2（-1 - ） = -5 ，………………….6 分
2
由 f （0） = f （1- 1） = f
（1）+ f （-1） = 0 ，得 f （-1） =
1
2
，
f （-8） = 2 f （-4） = 4 f （-2） = 8 f （-1） = 8 ⨯ 1
故 f （x）
max
= 4, f （ x）
min
= -5
.
………………….7 分
（III） 令 y = - x, 代入 f （ x + y） = f （ x） + f （ y） ，
得 f （ x） + f （- x） = f （0） = 0 ，
所以 f （- x） = - f （ x） ，故 f （ x） 为奇函数.
g （ x） = f （ x2 - m） - 2 f （ x ）
= f （ x2 - m） + 2 f （- x ）
= f （ x2 - m） + f （- x ） + f （- x ）
= f （ x2 - 2 x - m）
令 g （ x） = 0 即 f （ x2 - 2 x - m） = 0 = （0），
因为 函数 f （ x） 在 R 上是减函数，
所以 x2 - 2 x - m = 0 ，即 m = x2 - 2 x ，
所以 当 m ∈ （-1,0 ） 时，函数 g （ x） 最多有 4 个零点.
………………….9 分
………………….10 分
………………….11 分
………………….112 分
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