4．如图甲所示，在以O为圆心，内外半径分别为R1和R2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U为常量，R1＝R0，R2＝3R0，一电荷量为＋q、质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力．
（1）已知粒子从外圆上以速度v1射出，求粒子在A点的初速度v0的大小．
（2）若撤去电场，如图乙所示，已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出，方向与OA延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间．
（3）在图乙中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？
∙
（1）电、磁场都存在时，只有电场力对带电粒子做功，由动能定理
qU＝
mv
－
mv
①
得v0＝
②
（2）由牛顿第二定律
qBv2＝
③
如图所示，由几何关系确定粒子运动轨迹的圆心O′和半径R
R2＋R2＝（R2－R1）2 ④
联立③④，得磁感应强度大小
B＝
⑤
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
T＝
⑥
由几何关系确定粒子在磁场中运动的时间
t＝
⑦
联立④⑥⑦式，得
t＝
⑧
（3）如图所示，为使粒子射出，则粒子在磁场内的运动半径应大于过A点的最大内切圆半径，该半径为
Rc＝
⑨
由③⑨得磁感应强度应小于
Bc＝
⑩
∙
（变式一）5．如图所示，在坐标系xoy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xoy面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E.一质量为
、带电量为
的粒子自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。
已知OP=d,OQ=2d,不计粒子重力。
（1）求粒子过Q点时速度的大小和方向。
（2）若磁感应强度的大小为一定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0；
（3）若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。
（1）
与x轴正方向夹角450
（2）
（3）
（变式二）6．如图所示，竖直平面（纸面）内有直角坐标系xOy，x轴沿水平方向。
在x≤O的区域内存在方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B1的匀强磁场。
在第二象限紧贴y轴固定放置长为l、表面粗糙的不带电绝缘平板，平板平行于x轴且与x轴相距h。
在第一象限内的某区域存在方向相互垂直的匀强磁场（磁感应强度大小为B2、方向垂直于纸面向外）和匀强电场（图中未画出）。
一质量为m、不带电的小球Q从平板下侧A点沿x轴正向抛出；另一质量也为m、带电量为q的小球P从A点紧贴平板沿x轴正向运动，变为匀速运动后从y轴上的D点进入电磁场区域做匀速圆周运动，经
圆周离开电磁场区域，沿y轴负方向运动，然后从x轴上的K点进入第四象限。
小球P、Q相遇在第四象限的某一点，且竖直方向速度相同。
设运动过程中小球P电量不变，小球P和Q始终在纸面内运动且均看
作质点，重力加速度为g。
求：
（1）匀强电场的场强大小，并判断P球所带电荷的正负；
（2）小球Q的抛出速度v0的取值范围；
（3）B1是B2的多少倍？
∙解：
（1）由题给条件，小球P在电磁场区域内做圆周运动，必有重力与电场力平衡，设所求场强大小为E，有
①
得
②
小球P在平板下侧紧贴平板运动，其所受洛伦兹力必竖直向上，故小球P带正电。
（2）设小球P紧贴平板匀速运动的速度为v，此时洛伦兹力与重力平衡，有
③
设小球P以速度v在电磁场区域内做圆周运动的半径为R，有
④
设小球Q与小球P在第四象限相遇点的坐标为x、y，有
，
⑤
小球Q运动到相遇点所需时间为
，水平方向位移为s，竖直方向位移为d，有
⑥
⑦
由题意得
，
⑧
联立相关方程，由题意可知v0＞0,得
0＜v0≤
⑨
（3）小球Q在空间做平抛运动，要满足题设要求，则运动到小球P穿出电磁场区域的同一水平高度时的W点时，其竖直速度
与竖直位移
必须满足
，
设小球Q运动到W点时间为t，由平抛运动，有
，
联立相关方程，解得
，即B1是B2的0.5倍。
7．如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为-q（q＞0）的粒子1在纸面内以速度
从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α=30°；质量为m、电荷量为+q的粒子2在纸面内以速度
也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β=60°角。
已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点（图中未画出），不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
（1）求两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；
（2）求两粒子进入磁场的时间间隔
；
（3）若MN下方有平行于纸面的匀强电场，且两粒子在电场中相遇，其中的粒子1做直线运动。
求电场强度E的大小和方向。
8．如图甲，空间存在—范围足够大的垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
让质量为m，电量为q（q<0）的粒子从坐标原点O沿加xoy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。
不计重力和粒子间的影响。
（1）若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求v1的大小：
（2）已知一粒子的初建度大小为v（v>v1）．为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角
（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？
并求出对应的sin
值：
（3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿x轴正向发射。
研究表明：
粒子在xoy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。
求该粒子运动过程中的最大速度值vm。
∙[解析]
（1）带电粒子以速率v在匀强磁场B中做匀速圆周运动，半径为R，有
①
当例子沿y轴正向入射，转过半个圆周至A点，该圆周半径为R1，有
②
由②代入①式得
③
（2）如图O、A两点处于同一个圆周上，且圆心在
的直线上，半径为R。
当给定一个初速率v时，有2个入射角，分别在第1、2象限，有
④
由①④式解得
⑤
升级会员 