第二十五章解直角三角形24.docx

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第二十五章解直角三角形24

第二十五章解直角三角形

单元要点分析

内容简介

本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用．

相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础．

本章属于三角学中的最基础的部分内容，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．

考点目标及导学目标

1．知识与技能

（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值．

（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．

（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．

（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．

2．过程与方法

贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，再运用这些规律于实际生活中．

3．情感、态度与价值观

通过解直角三角形培养学生数形结合的思想．

导学重点与难点

1．重点

（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住．

（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题．

2．难点

（1）锐角三角函数的概念．

（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，解决问题的能力．

导学方法

在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解．讲课时应注意，只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形．故导学中应注意以下几点：

1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题．

2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，再加以探索认识．

3．对实际问题，注意联系生活实际．

4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，增加探索性问题的比重．

课时安排

本章共分9课时．

28．1锐角三角函数4课时

28．2解直角三角形4课时

小结1课时

28．1锐角三角函数

考点目标及导学目标

1．知识与技能

（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；

（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角．

2．过程与方法

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

3．情感、态度与价值观

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．

导学重点与难点

1．重点：

正弦、余弦；正切三个三角函数概念及其应用．

2．难点：

使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念．

导学方法

学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论．正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，导学中应十分重视．同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在导学中应作为难点处理．

第1课时正弦函数

复习引入

教师讲解：

杂志上有过这样的一篇报道：

始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜．1972年比萨发生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之分，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每年倾斜1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm．

根据上面的这段报道中，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？

这个问题涉及到锐角三角函数的知识．学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了!

探究新知

（1）问题的引入

教师讲解：

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？

教师提出问题：

怎样将上述实际问题用数学语言表达，要求学生写在纸上，互相讨论，看谁写得最合理，然后由教师总结．

教师总结：

这个问题可以归纳为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB（课本图28．1-1）．

根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即

＝

可得AB=2BC=70m，也就是说，需要准备70m长的水管．

教师更换问题的条件后提出新问题：

在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？

要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点．

教师引导学生得出这样的结论：

在上面求AB（所需水管的长度）的过程中，虽然问题条件改变了，但我们所用的定理是一样的：

在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于

．也是说，只要山坡的坡度是30°这个条件不变，那么斜边与对边的比值不变．

教师提出第2个问题：

既然直角三角形中，30°角的斜边与对边的比值不变，那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？

我们再换一个解试一试．如课本图28．1-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？

如果是，是多少？

教师要求学生自己计算，得出结论，然后再由教师总结：

在Rt△ABC中，∠C=90°由于∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，AB=

BC．

因此

=

，

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于

．

教师再将问题提升到更高一个层次：

从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于

，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于

，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：

当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

教师直接告诉学生，这个问题的回答是肯定的，并边板书，边与学生共同探究证明方法．这为问题可以转化为以下数学语言：

任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′（课本图28．1-3），使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么

有什么关系．

在课本图28．1-3中，由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，

，即

．

这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．

（二）正弦函数概念的提出

教师讲解：

在日常生活中和数学活动中上面所得出的结论是非常有用的．为了引用这个结论时叙述方便，数学家作出了如下规定：

如课本图28．1-4，在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA==

．

在课本图28．1-4中，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．

例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=

；

当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=

．

（三）正弦函数的简单应用

教师讲解课本第79页例题1．

例1如课本图28．1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．

教师对题目进行分析：

求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A对边的值，所以解题时应先求斜边的高．

做课本第79页练习．

课时总结

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，

导学反思______________________________________

_____________________________________________________________________

25.1.2余弦、正切函数（第2课时）

复习引入

教师提问：

我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？

为什么可以这样定义它．

学生回答后教师提出新问题：

在上一节课中我们知道，如课本图28．1-6所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：

其他边之间的比是否也确定了呢？

为什么？

探究新知

（一）余弦、正切概念的引入

教师引导学生自己作出结论，其证明方法与上一节课证明对边比斜边为定值的方法相同，都是通过两个三角形相似来证明．

学生证明过后教师进行总结：

类似于正弦的情况，在课本图28．1-6中，当锐角A的大小确定时，∠A的斜边与邻边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=

=

；

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=

=

．

教师讲解并板书：

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．

（二）余弦正切概念的应用

教师解释课本第80页例2题意：

如课本图28．1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=

，求cosA、tanB的值．

教师对解题方法进行分析：

我们已经知道了直角三角形中一条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．

教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．

随堂练习

学生做课本第81页练习1、2、3题．

课时总结

在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．

导学反思

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_____________________________________________________________________

25.1.3特殊角的三角函数值

（第3课时）

复习引入

教师提问：

一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？

在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：

两块三角尺中有几个不同的锐角？

是多少度？

分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．

提醒学生：

求时可以设每个三角尺较短的边长为1，利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值．

探究新知

（一）特殊值的三角函数

学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结．

30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：

30°

45°

60°

sinα

cosα

tanα

1

教师讲解上表中数学变化的规律：

对于正弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为

，

与

．对于余弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为

，

与

．对于正切，60度的正切值为

，当角度递减时，分别将上一个正切值除以

，即是下一个角的正切值．

要求学生记住上述特殊角的三角函数值．

教师强调：

（sin60°）2用sin260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）．

（二）特殊角三角函数的应用

1．师生共同完成课本第82页例3：

求下列各式的值．

（1）cos260°+sin260°．

（2）

-tan45°．

2．师生共同完成课本第82页例4：

教师解答题意：

（1）如课本图25．1-9

（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=

，BC=

，求∠A的度数．

（2）如课本图25．1-9

（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的

倍，求a．

教师分析解题方法：

要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．

教师提醒学生：

当A、B为锐角时，若A≠B，则

sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB．

随堂练习

学生做课本第83页练习第1、2题．

课时总结

学生要牢记下表：

30°

45°

60°

sinα

cosα

tanα

1

对于sina与tana，角度越大函数值也越大；对于cosa，角度越大函数值越小．

导学反思

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课本练习做课本第85页习题28．1复习巩固第3题．

25．1．4利用计算器求三角函数值

第4课时

复习引入

教师讲解：

通过上面几节的学习我们知道，当锐角A是30°、45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？

我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．

探究新知

（一）已知角度求函数值

教师讲解：

例如求sin18°，利用计算器的sin键，并输入角度值18，得到结果sin18°=0.309016994．

又如求tan30°36′，利用tan键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591398351．

利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同．

因为30°36′=30.6°，所以也可以利用tan键，并输入角度值30.6，同样得到答案0.591398351．

（二）已知函数值，求锐角

教师讲解：

如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已知sinA=0.5018；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：

依次按键2ndfsin，然后输入函数值0.5018，得到∠A=30.11915867°（如果锐角A精确到1°，则结果为30°）．

还可以利用2ndf°’”键进一步得到∠A=30°07′08．97″（如果锐角A精确到1′，则结果为30°8′，精确到1″的结果为30°7′9″）．

使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应的锐角．

教师提出：

怎样验算求出的∠A=30°7′9″是否正确？

让学生思考后回答，然后教师总结：

可以再用计算器求30°7′9″的正弦值，如果它等于0.5018，则我们原先的计算结果就是正确的．

随堂练习课本第84页练习第1、2题．

课时总结

已知角度求正弦值用sin键；已知正弦值求小于90°的锐角用2ndfsin键，对于余弦与正切也有相类似的求法．

导学反思

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

第4课时作业设计

课本练习

做课本第85页习题28．1复习巩固第4题，第5题．

25．2解直角三角形

考点目标及导学目标

1．知识与技能

理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想．

2．过程与方法

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

导学重点与难点

1．重点：

直角三角形的解法．

2．难点：

三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

导学方法

1．注意加强知识间的纵向联系

第24章“相似”是研究本章的基础，教科书利用相似三角形的有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性．导学中要注意加强两者之间的联系．全等三角形的有关理论有利于理解解直角三角形的相关内容．导学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移．

本章所研究的锐角三角函数反映了锐角与数值之间的函数关系，这一次函数、反比例函数以及二次函数一样，都反映了变量之间的对应关系．因此导学时，要注意让学生体会这些不同函数之间的共同特征，更好地理解函数的概念．

2．注意数形结合，注意体现数与形之间的联系

第1课时解直角三角形引入

复习引入

教师讲解：

上一节我们介绍了直角三角函数．我们知道，一个直角三角形有许多元素的值，各三边的长，三个角的度数，三角的正弦、余弦、正切值．我们现在要研究的是，我们究竟要知道直角三角形中多少值就可以通过公式计算出其他值．

探究新知

概念的引入

教师讲解题目含意：

要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°（课本图28．2-1），现有一个长6m的梯子，问：

1．使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙（精确到0.1m）？

2．当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？

这时人是否能够安全使用这个梯子？

（课本图28．2-1）

教师对问题的解法进行分析：

对于问题1，当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．

教师要求学生将上述问题用数学语言表达，学生做完后教师总结并板书：

我们可以把问题1归结为：

在Rt△ABC中，已知∠A=75°，斜边AB=6，求∠A的对边BC的长（如课本图28．2-1）．

教师讲解问题1的解法：

教师分析问题2：

当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：

在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角a的度数（如课本图28．2-1）．

教师解题：

由于cosa=

=

=0.4，

利用计算器求得a≈66°．因此当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66°，由50°<66°<75°可知，这时使用这个梯子是安全的．

随堂练习

如下图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．

课时总结

利用三角函数解应用题时，首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角，然后再运用三角函数知识解题．

导学反思

_____________________________________________________________________第1课时作业设做课本第96页习题28．2复习巩固第1题、第2题．

第2课时解直角三角形

复习引入

教师讲解：

上一节课我们通过实例大致了解了通过已知条件来求三角形其他元素解法．这一节课我们将提出解直角三角形这一概念，并通过实例说明它的解法．

教师提出以下问题要求学生自行解答：

三角形有六个元素，分别是三条边和三个内角．在课本图28．2-1的Rt△ABC中，

1．根据∠A=75°，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？

2．根据AC=2．4，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？

学生解答完后教师给出解法．

探究新知

（一）什么是解直角三角形

教师讲解什么是解直角三角形．事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．

（二）解直角三角形用的知识

师生共同思考，在解直角三角形的过程中，要用到哪些已学过的知识．

教师总结：

如课本图28．2-2所示，解直角三角形时一般要用到下面的某些知识：

28．2-2

（1）三边之间的关系

a2+b2+c2（勾股定理）

（2）两锐角之间的关系

∠A+∠B=90°．

（3）边角之间的关系：

sinA=

=

，sinB=

=

cosA=

=

，cosB=

=

tanA=

=

，tanB=

=

（三）解直角三角形实例

1．教师解释例1题意：

例1如课本图28．2-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=

，BC=

，解这个直角三角形．

28．2-3

教师给出解法并板书．

解：

∵tanA=

=

，

∴∠A=60°．

∠B=90°-∠A=90°-60°=30°．

AB=2AC=2

．

2．教师讲解例2题意，解题并板书：

例2如课本图28．2-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形．（精确到0.1）

图28．2-4

解：

∠A=90°-∠B=90°-35°=55°．

∵tanB=

．

∴a=

≈28.6．

∵sinB=

，

∴c=

≈35.1．

（四）应用实例

现在我们来看本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题．

先看1972年的情形：

设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如课本图28．2-5），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．

图28．2-5

sin=

≈0.0954．

所以∠A≈5°08′．

教师要求学生求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．

随堂练习

课本第91页练习．

课时总结

解直角三角形就是已知直角三角形三