有趣的斐波那契数列例子.docx
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有趣的斐波那契数列例子
斐波那契数列
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》（LiberAbacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：
1、1、2、3、5、8、13、21、……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列通项公式
通项公式
（见图）（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）
注：
此时a1=1，a2=1，an=a（n-1）+a（n-2）（n>=3,n∈N*）
通项公式的推导
斐波那契数列：
1、1、2、3、5、8、13、21、……
如果设F（n）为该数列的第n项（n∈N+）。
那么这句话可以写成如下形式：
F（0）=0，F
（1）=1，F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥2），
显然这是一个线性递推数列。
方法一：
利用特征方程（线性代数解法）
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=（1+√5）/2,，X2=（1-√5）/2。
则F（n）=C1*X1^n+C2*X2^n。
∵F
（1）=F
（2）=1。
∴C1*X1+C2*X2。
C1*X1^2+C2*X2^2。
解得C1=1/√5，C2=-1/√5。
∴F（n）=（1/√5）*{[（1+√5）/2]^（n+1）-[（1-√5）/2]^（n+1）}（√5表示根号5）。
方法二：
待定系数法构造等比数列1（初等待数解法）
设常数r，s。
使得F（n）-r*F（n-1）=s*[F（n-1）-r*F（n-2）]。
则r+s=1，-rs=1。
n≥3时，有。
F（n）-r*F（n-1）=s*[F（n-1）-r*F（n-2）]。
F（n-1）-r*F（n-2）=s*[F（n-2）-r*F（n-3）]。
F（n-2）-r*F（n-3）=s*[F（n-3）-r*F（n-4）]。
……
F（3）-r*F
（2）=s*[F
（2）-r*F
（1）]。
联立以上n-2个式子，得：
F（n）-r*F（n-1）=[s^（n-2）]*[F
（2）-r*F
（1）]。
∵s=1-r，F
（1）=F
（2）=1。
上式可化简得：
F（n）=s^（n-1）+r*F（n-1）。
那么：
F（n）=s^（n-1）+r*F（n-1）。
=s^（n-1）+r*s^（n-2）+r^2*F（n-2）。
=s^（n-1）+r*s^（n-2）+r^2*s^（n-3）+r^3*F（n-3）。
……
=s^（n-1）+r*s^（n-2）+r^2*s^（n-3）+……+r^（n-2）*s+r^（n-1）*F
（1）。
=s^（n-1）+r*s^（n-2）+r^2*s^（n-3）+……+r^（n-2）*s+r^（n-1）。
（这是一个以s^（n-1）为首项、以r^（n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。
=[s^（n-1）-r^（n-1）*r/s]/（1-r/s）。
=（s^n-r^n）/（s-r）。
r+s=1，-rs=1的一解为s=（1+√5）/2，r=（1-√5）/2。
则F（n）=（1/√5）*{[（1+√5）/2]^（n+1）-[（1-√5）/2]^（n+1）}。
方法三：
待定系数法构造等比数列2（初等待数解法）
已知a1=1,a2=1,an=a（n-1）+a（n-2）（n>=3）,求数列{an}的通项公式。
解:
设an-αa（n-1）=β（a（n-1）-αa（n-2））。
得α+β=1。
αβ=-1。
构造方程x^2-x-1=0,解得α=（1-√5）/2,β=（1+√5）/2或α=（1+√5）/2,β=（1-√5）/2。
所以。
an-（1-√5）/2*a（n-1）=（1+√5）/2*（a（n-1）-（1-√5）/2*a（n-2））=[（1+√5）/2]^（n-2）*（a2-（1-√5）/2*a1）`````````1。
an-（1+√5）/2*a（n-1）=（1-√5）/2*（a（n-1）-（1+√5）/2*a（n-2））=[（1-√5）/2]^（n-2）*（a2-（1+√5）/2*a1）`````````2。
由式1,式2,可得。
an=[（1+√5）/2]^（n-2）*（a2-（1-√5）/2*a1）``````````````3。
an=[（1-√5）/2]^（n-2）*（a2-（1+√5）/2*a1）``````````````4。
将式3*（1+√5）/2-式4*（1-√5）/2,化简得an=（1/√5）*{[（1+√5）/2]^n-[（1-√5）/2]^n}。
与黄金分割的关系
有趣的是：
这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。
而且当n无穷大时（an-1）/an越来越逼近黄金分割数0.618。
越到后面，这些比值越接近黄金比.
证明:
a[n+2]=a[n+1]+a[n]。
两边同时除以a[n+1]得到：
a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。
若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x，
则lim[n->∞]（a[n+2]/a[n+1]）=lim[n->∞]（a[n+1]/a[n]）=x。
所以x=1+1/x。
即x²=x+1。
所以极限是黄金分割比。
奇妙的属性
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等，有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷，把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数。
比如钢琴上白键的8，黑键上的5都是斐波那契数，因该把它看做巧合还是规律呢
从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
（注：
奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）
多了的一在哪
如果你看到有这样一个题目：
某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故
作惊讶地问你：
为什么64=65其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：
5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积
确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f（n），f（0）=0，f
（1）=1，f
（2）=1，f（3）=2……）的其他性质：
1.f（0）+f
（1）+f
（2）+…+f（n）=f（n+2）-1。
2.f
（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=f（2n）。
3.f
（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）=f（2n+1）-1。
4.[f（0）]^2+[f
（1）]^2+…+[f（n）]^2=f（n）·f（n+1）。
5.f（0）-f
（1）+f
（2）-…+（-1）^n·f（n）=（-1）^n·[f（n+1）-f（n）]+1。
6.f（m+n-1）=f（m-1）·f（n-1）+f（m）·f（n）。
利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（logn）的程序。
怎样实现呢伪代码描述一下?
7.[f（n）]^2=（-1）^（n-1）+f（n-1）·f（n+1）。
8.f（2n-1）=[f（n）]^2-[f（n-2）]^2。
9.3f（n）=f（n+2）+f（n-2）。
10.f（2n-2m-2）[f（2n）+f（2n+2）]=f（2m+2）+f（4n-2m）[n〉m≥-1,且n≥1]
斐波那契数列
11.f（2n+1）=[f（n）]^2+[f（n+1）]^2.
在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列
将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
公式表示如下：
f
（1）=C（0,0）=1。
f
（2）=C（1,0）=1。
f（3）=C（2,0）+C（1,1）=1+1=2。
f（4）=C（3,0）+C（2,1）=1+2=3。
f（5）=C（4,0）+C（3,1）+C（2,2）=1+3+1=5。
f（6）=C（5,0）+C（4,1）+C（3,2）=1+4+3=8。
F（7）=C（6,0）+C（5,1）+C（4,2）+C（3,3）=1+5+6+1=13。
……
F（n）=C（n-1,0）+C（n-2,1）+…+C（n-1-m,m）（m<=n-1-m）
斐波那契数列的整除性与素数生成性
每3个数有且只有一个被2整除，
每4个数有且只有一个被3整除,
每5个数有且只有一个被5整除，
每6个数有且只有一个被8整除,
每7个数有且只有一个被13整除，
每8个数有且只有一个被21整除,
每9个数有且只有一个被34整除，
.......
我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：
5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）
斐波那契数列的素数无限多吗
斐波那契数列的个位数：
一个60步的循环
11235,83145,94370,77415,61785.38190,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
斐波那契数与植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花
8………………………翠雀花
13………………………金盏
和玫瑰
21………………………紫宛
34、55、89……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。
叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。
叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。
多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
斐波那契—卢卡斯数列与广义斐波那契数列
斐波那契—卢卡斯数列
卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。
（我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推：
从第三项开始，每一项都等于前两项之和f（n）=f（n-1）+f（n-2））。
这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），F（n）*L（n）=F（2n），及L（n）=F（n-1）+F（n+1）
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
斐波那契数列F（n）
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
…
卢卡斯数列L（n）
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
…
F（n）*L（n）
1
3
8
21
55
144
377
987
2584
6765
…
类似的数列还有无限多个，我们称之为斐波那契—卢卡斯数列。
如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。
斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系
①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。
如：
F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1]（n-1），
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
F[1,4]n
1
4
5
9
14
23
37
60
97
157
…
F[1,3]n
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
…
F[1,4]n-F[1,3]n
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,4]n+F[1,3]n
2
7
9
16
25
41
66
107
173
280
…
②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
F[1,1]（n）
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
…
F[1,1]（n-1）
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,1]（n-1）
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,3]n
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
…
黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列
斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：
中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，
斐波那契数列：
|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1
卢卡斯数列：
|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5
F[1，4]数列：
|4*4-1*5|=11
F[2，5]数列：
|5*5-2*7|=11
F[2，7]数列：
|7*7-2*9|=31
斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。
卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。
前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。
而F[1，4]与F[2，5]的黄金特征都是11，是孪生数列。
F[2，7]也有孪生数列：
F[3，8]。
其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。
广义斐波那契数列
斐波那契数列的黄金特征1，还让我们联想到佩儿数列：
1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（该类数列的这种特征值称为勾股特征）。
佩尔数列Pn的递推规则：
P1=1，P2=2，Pn=P（n-2）+2P（n-1）.
据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：
f（n）=f（n-1）*p+f（n-2）*q，称为广义斐波那契数列。
当p=1，q=1时，我们得到斐波那契—卢卡斯数列。
当p=1，q=2时，我们得到佩尔—勾股弦数（跟边长为整数的直角三角形有关的数列集合）。
当p=-1，q=2时，我们得到等差数列。
其中f1=1，f2=2时，我们得到自然数列1，2，3，4…。
自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1（等差数列的这种差值称为自然特征）。
具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列p=±1。
当f1=1，f2=2，p=2，q=1时，我们得到等比数列1，2，4，8，16……
编辑本段相关的数学问题
1.排列组合
有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列：
登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种
答案是（1/√5）*{[（1+√5）/2]^（10+2）-[（1-√5）/2]^（10+2）}=144种。
2.数列中相邻两项的前项比后项的极限
当n趋于无穷大时，F（n）/F（n+1）的极限是多少
这个可由它的通项公式直接得到，极限是（-1+√5）/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。
3.求递推数列a
（1）=1，a（n+1）=1+1/a（n）的通项公式
由数学归纳法可以得到：
a（n）=F（n+1）/F（n），将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
3.兔子繁殖问题（关于斐波那契数列的别名）
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔民数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
幼仔对数
0
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
成兔对数
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
总体对数
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。
这个数列有关十分明显的特点，那是：
前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a（n+2）=an+a（n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：
an=（1/√5）*{[（1+√5）/2]^n-[（1-√5）/2]^n}（n=1,2,3.....）
数学游戏
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：
“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方
形地毯。
”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！
可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！
这真是不可思议的事！
亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢
实际上后来缝成的地毯有条细缝，面积刚好就是一平方英尺。
自然界中的巧合
斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。
例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。
所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。
这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。
这个规律，就是生物学上着名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：
3、5、8、13、21、……
斐波那契螺旋：
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。
这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。
叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。
向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
数字谜题
三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：
现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少
分析：
由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。
截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。
我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。
这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。
影视作品中的斐波那契数列
斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。
可见此数列就像黄金分割一样流行。
可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。
在电视剧中也出现斐波那契数列，比如：
日剧《考试之神》第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题~
编辑本段社会文明中的斐波那契数列
艾略特波浪理论
1946年，艾略特完成了关于波浪理论的集大成之作，《自然法则——宇宙的秘密》。
艾略特坚信，他的波浪理论是制约人类一切活动的普遍自然法则的一部分。
波浪理论的优点是，对即将出现的顶部或底部能提前发出警示信号，而传统的技术分析方法只有事后才能验证。
艾略特波浪理论对市场运作具备了全方位的透视能力，从而有助于解释特定的形态
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